洗滌鉛華關(guān)注本質(zhì)

1、洗滌鉛華 關(guān)注本質(zhì)關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高中考總復(fù)習(xí)效率遂川縣教體局教研室 梁 靖隨著初中數(shù)學(xué)全部教學(xué)內(nèi)容的結(jié)束,中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)如期而至.無論是“杜郞口浪潮”，還是“揚(yáng)思風(fēng)暴”，對(duì)于總復(fù)習(xí)來說，似乎要就此告別了。我們普遍認(rèn)同的中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方式大同小異，很難越出知識(shí)梳理，示例和同步訓(xùn)練等一般方式，如此完成第一輪后，然后就是專題復(fù)習(xí)，反復(fù)的模擬考試.但從歷年中考的結(jié)果來看，復(fù)習(xí)的效果多是并不理想，考后再看看當(dāng)年的中考題，似乎中考復(fù)習(xí)根本用不了那么長(zhǎng)的時(shí)間，一些內(nèi)容的復(fù)習(xí)似乎白累了。從理論上說，中考總復(fù)習(xí)可較大幅度提高成績(jī)，但往往事與愿違.問題出在哪兒呢？是沒有領(lǐng)會(huì)命題的意圖而使復(fù)習(xí)方向錯(cuò)了，還有復(fù)習(xí)方法

2、不當(dāng)?是否存在一種事半功倍，讓學(xué)生減負(fù)，又可穩(wěn)步提高成績(jī)的方式？在此，我想從如何關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出中考數(shù)學(xué)核心知識(shí)內(nèi)容復(fù)習(xí)的角度出發(fā)，談點(diǎn)提高復(fù)習(xí)效率的建議。一、數(shù)學(xué)本質(zhì)任何事物都是現(xiàn)象和本質(zhì)的統(tǒng)一體，事物的本質(zhì)和規(guī)律存在于大量現(xiàn)象之中，只有通過現(xiàn)象認(rèn)識(shí)本質(zhì)才是解決問題的最佳方法。數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)的符號(hào)、文字和圖表語言好比現(xiàn)象，如果沒有認(rèn)識(shí)到它們之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，就很難找到解決問題的方法。數(shù)學(xué)教學(xué)也是如此，當(dāng)我們老師對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不足，那么在教學(xué)中必然導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解停留在表面，教師無論怎么講解，讓學(xué)生反反復(fù)復(fù)做大量的題目，都是收效甚微。因此，在中考總復(fù)習(xí)中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容對(duì)中考復(fù)習(xí)十分

3、重要是毋庸置言的。數(shù)學(xué)本質(zhì)是一個(gè)哲學(xué)問題,到目前為止還沒有一個(gè)統(tǒng)一的認(rèn)識(shí),對(duì)其認(rèn)識(shí)應(yīng)用變化的、發(fā)展的觀點(diǎn)來看待.就中學(xué)數(shù)學(xué)教育而言,數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵包括:數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系;數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程;數(shù)學(xué)思想方法的提煉;數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)等方面. 王尚志教授做的關(guān)于整體把握數(shù)學(xué)課程的報(bào)告中提出“數(shù)學(xué)教師、數(shù)學(xué)課要有數(shù)學(xué)味，我們?cè)诮虒W(xué)中要抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)”。其要義在于我們要整體把握數(shù)學(xué)課程，要為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展服務(wù)。在數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容中涵蘊(yùn)著豐富的思想，如因數(shù)與積的關(guān)系蘊(yùn)含著函數(shù)思想,簡(jiǎn)單的加法是從數(shù)數(shù)開始的，數(shù)數(shù)就蘊(yùn)含了一一對(duì)應(yīng)思想，將二元一次方程組通過消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程是一種轉(zhuǎn)化化歸的思想，一個(gè)分式等

4、于零要考慮分式為零，分母不為零度，這是一種分類討論的思想，函數(shù)的性質(zhì)通常通過描述其圖像來直觀地進(jìn)行研究，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。我們?nèi)杖崭诺臄?shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中充滿并閃爍著思想的精華，關(guān)注了這些精華才能使我們的數(shù)學(xué)課真正有“數(shù)學(xué)味”，而且使我們教學(xué)的對(duì)象學(xué)生更深刻地把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，獲得終生學(xué)習(xí)、生活、發(fā)展所倚重的思想方法。數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)的靈魂,是數(shù)學(xué)教育追求的核心目標(biāo),是課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的“課程基本理念”中的重要內(nèi)容,自然也是中考所重點(diǎn)考查的主要目標(biāo).傳統(tǒng)數(shù)學(xué)考試注重對(duì)知識(shí)的單純形式化記憶的考查,過分地著眼于形式和機(jī)械化的操作,使得我們的教學(xué)行為與思想觀念上沉積了太多的鉛華，這些偏離新程理念的教學(xué)方式很

5、大程度上弱化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，且長(zhǎng)期左右著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和潛能的發(fā)揮. 新課程以來的中考則更強(qiáng)調(diào)體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查,使學(xué)生既能熟練、準(zhǔn)確地用形式化語言來表述數(shù)學(xué)內(nèi)容并解決數(shù)學(xué)問題,又能做到對(duì)數(shù)學(xué)過程與本質(zhì)的理解,已成為中考命題的重要課題.在中考總復(fù)習(xí)中，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)是極為重要的問題，只是總復(fù)習(xí)的教學(xué)內(nèi)容和采取的方法策略與平常的教學(xué)略有不同而已.總復(fù)習(xí)課同樣需要有“數(shù)學(xué)味”，既使課堂深入數(shù)學(xué)本質(zhì)，又精練高效。從這個(gè)角度提高數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)課的效率不僅是個(gè)十分值得探討的問題，而且顯得更為重要而迫切。二、中考數(shù)學(xué)考查的本質(zhì)內(nèi)容 中考作為初中義務(wù)教育階段的終結(jié)性考試,其本質(zhì)上是“全面、準(zhǔn)確地反映

6、初中畢業(yè)生在學(xué)科學(xué)習(xí)方面所達(dá)到的水平；旨在全面了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師的教學(xué)。”因此，中考首先突出的是基礎(chǔ)性，即重點(diǎn)考查初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的基礎(chǔ)與本質(zhì)內(nèi)容。初中數(shù)學(xué)主要由數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四大板塊內(nèi)容組成（來自數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿），某種程度上，對(duì)于這些內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)左右著我們?cè)谥锌紡?fù)習(xí)中，能否正確把握中考命題方向，決定我們了應(yīng)當(dāng)選取哪些復(fù)習(xí)內(nèi)容、精選講解與訓(xùn)練哪些試題，甚至采取怎樣的復(fù)習(xí)方法等。就中考試題而言，數(shù)學(xué)的本質(zhì)首先體現(xiàn)在所考查的數(shù)學(xué)的核心概念和思想方法。新課下的歷年中考試題大都圍繞數(shù)與式的運(yùn)算和化簡(jiǎn)、解方程與不等式、概率初步等內(nèi)容展

7、開，同時(shí)將歸納、演繹以及觀察、試驗(yàn)、特殊化等數(shù)學(xué)思維方法，以及等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想等作為數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)容蘊(yùn)含在試題中。以近三年江西省中考試題為例，可感受到對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查的重要性。2009年至2011年江西省中考數(shù)學(xué)考查項(xiàng)目統(tǒng)計(jì)表考查內(nèi)容2009年2010年2011年課程標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)編號(hào)課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容名稱一1（1）（2）有理數(shù)、實(shí)數(shù)1、11,12（）1、71、2、9一1（3）（4）代數(shù)式2、18、2、9、254、10、11、17、25一2（1）方程（組）4、10、21、2513、17、18、216、12、20一2（2）不等式（組）145、23

8、11、25一3（1）（2）規(guī)律探索、一般函數(shù)22、25258、11、15、20、25一3（3）一次函數(shù)21175、14、一3（4）反比例函數(shù)16619一3（5）二次函數(shù)2423、2424二1（1）（2）（3）點(diǎn)、線、面、角、平行線3、221225二1（4）三角形及其全等3、7、24、254、8、16、23、24、257、13、15、16、25二1（5）四邊形、多邊形15、24、258、22、23、2514、19、二2（4）相似比例、三角函數(shù)2311、16、2316、21、22、25二1（6）圓及其性質(zhì)13、2314、15、2213、20、21二1（8）空間圖形、視圖與投影93、163二2（1）

9、（2）（3）圖形與變換5、2216、24、2515、二3圖形與坐標(biāo)16、21、2415、2415、19二4證明與推理（能力）7、22、24、2516、22、24、257、16、21、22三1統(tǒng)計(jì)意識(shí)6、202023三2隨機(jī)觀念191918數(shù)學(xué)思想與能力函數(shù)與方程10、21、2516、21、23、248、14、20、24轉(zhuǎn)化與化歸23、2514、1613、15、21、24、25分類討論5、8、9、254、6、247、24數(shù)形結(jié)合8、16、216、14、158、14、24動(dòng)手操作能力23、24、258、10、16、23、24、2515、24、25探究創(chuàng)造能力22、23、2516、21、22、242

10、4、25運(yùn)算能力2、12（）、17、18、20、23、241、2、7、10、114、9、17應(yīng)用意識(shí)10、15、21、2312、13、20、21、238、20、22 從上表的對(duì)比分析可看出，我省近三年對(duì)中考本質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行了突出的考查。1.對(duì)課標(biāo)規(guī)定的二級(jí)指標(biāo)達(dá)到了全面覆蓋，即突出對(duì)初中數(shù)學(xué)主干內(nèi)容的全面考查。如數(shù)的基本概念,式的基本運(yùn)算,解方程(組)與解不等式(組),直線型的基本性質(zhì),視圖與投影,統(tǒng)計(jì)與概率等題型與教材中的例習(xí)題相似,且多是容易或中檔的常規(guī)題. 2.對(duì)數(shù)學(xué)中的最為本質(zhì)的內(nèi)容數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行有針對(duì)性的重點(diǎn)考查.從表中反映出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查不僅滲透在客觀題中的代數(shù)與幾何的主干知識(shí)

11、考查中，而且在作為體現(xiàn)中考選拔性質(zhì)的大題壓軸題中，進(jìn)行穿插、綜合考查，利于展示學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)的成果和區(qū)分較高的思維能力水平。 3.重視通知題型的運(yùn)用與創(chuàng)新,以能力立意,引導(dǎo)教學(xué)努力向突出課程本質(zhì)、數(shù)學(xué)本質(zhì)，以及為學(xué)生發(fā)展的教學(xué)本質(zhì)轉(zhuǎn)變。主要體現(xiàn)在對(duì)動(dòng)手操作能力、數(shù)學(xué)在不同情景中應(yīng)用意識(shí)、探究創(chuàng)造能力等考查的題型進(jìn)行了重點(diǎn)考查和適度的創(chuàng)新。如在三年中的大題中都以動(dòng)手操作為問題形成的基礎(chǔ)，2009年的23題的操作測(cè)量，24、25題的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)；2010的24、25題平移與旋轉(zhuǎn)、2011年的24題拋物線翻折、平移與25題擺放小棒；再如三年中的情景應(yīng)用題均以現(xiàn)實(shí)生活中鮮活的、學(xué)生熟識(shí)的情境為背景，構(gòu)

12、建應(yīng)用方程、函數(shù)或三角形、四邊形等主干知識(shí)的靈活應(yīng)用的問題。這些試題意在引導(dǎo)初中數(shù)學(xué)教學(xué)重視知識(shí)的形成過程的教學(xué)，讓初中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的教學(xué)從形式走向本質(zhì)，使數(shù)學(xué)探究活動(dòng)更加科學(xué)有效,教師應(yīng)在材料選擇、情境創(chuàng)設(shè)、問題(活動(dòng))設(shè)計(jì)、組織形式、過程展開等方面,更多關(guān)注探究活動(dòng)的本質(zhì)意義,讓學(xué)生在理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí),其發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力得到必要的發(fā)展，為學(xué)生的未來的發(fā)展與終身學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)相關(guān)聯(lián)的，這些也恰是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)意義所在。三、對(duì)本質(zhì)內(nèi)容考查的中考試題例析 怎樣的試題能突出了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容的考查？以下從考查“雙基”的試題、考查數(shù)學(xué)思想方法

13、、考查核心知識(shí)與能力，及探索型等綜合型試題三大類題型進(jìn)行簡(jiǎn)要分析。同時(shí)從2012年樣卷中抽取部分試題，以體現(xiàn)近年我省中考命題在體現(xiàn)新課程思想理念的大方向的一貫做法與導(dǎo)向。 1.對(duì) “雙基”內(nèi)容的考查例析例1 題1（2009 第1題）的絕對(duì)值是（ ）A B CD 題2 （2011 第2題）根據(jù)2010年第六次全國(guó)人口普查主要數(shù)據(jù)公報(bào)，江西省常住人口約為4456萬人這個(gè)數(shù)據(jù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.4.456107人B.4.456106人 C.4456104人D.4.456103人 題3 (2011 第4題)下列運(yùn)算正確的是（ ）.A.a+b=ab B. a2a3=a5 C.a2+2abb2=

14、(ab)2 D.3a2a=1題4 (2010 第9題)因式分解：2a28 題5 (2011 第17題)先化簡(jiǎn)，再求值，其中. 簡(jiǎn)析:以上各題考查是數(shù)與式中的核心概念和基本運(yùn)算,都屬卷中的容易題, 且與教材中的試題形式無異,三年的考查方式也基本相似.中考的這一命題導(dǎo)向一方面體現(xiàn)了中考試題的水平性考試的性質(zhì),另一方面旨在引導(dǎo)教學(xué)重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué),不必人為地給學(xué)生加碼,增加負(fù)擔(dān),只要在雙基訓(xùn)練上適當(dāng)抓好落實(shí)即可. 教學(xué)建議：從以上示例可看出，中考對(duì)“雙基”的考查方式是基礎(chǔ)與核心并重，其題型一般是客觀題，及放在較前位置的解答題，形式與教材上的例習(xí)題一致。因此，我們提倡在“雙基”復(fù)習(xí)時(shí)，要做

15、到如下幾點(diǎn)：（1）回歸課本，加強(qiáng)“雙基”教學(xué)，全面系統(tǒng)復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)。這是對(duì)復(fù)習(xí)基本方式的一個(gè)基本定位，提倡的是關(guān)注中考試題60%左右的基礎(chǔ)、常規(guī)題，以及中一些中檔題、綜合性試題的第一問，大約近20分的分值。要力求避免的是，丟開教材，依賴于一本資料。一般多數(shù)資料條理性強(qiáng)，突出中考考點(diǎn)，且能精選近年中考試題，用起來的確方便，但為減少篇幅，一般起點(diǎn)較高，所選試題多數(shù)偏重綜合性，知識(shí)點(diǎn)的歸納極其精要，不可能再現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的形成過程，面向的是城區(qū)的中等以上學(xué)生，不適應(yīng)基礎(chǔ)較弱、理解力較差、思維常跟不上，容易“斷電”和有知識(shí)缺陷的學(xué)生。（2）精選精編試題，巧妙編排，以點(diǎn)帶面，講練結(jié)合。提倡按每節(jié)課內(nèi)容知識(shí)形

16、成的順序，從最基本的小題出發(fā)，逐步變式，按知識(shí)網(wǎng)絡(luò)一一牽出知識(shí)，融知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)歸納與應(yīng)用于一身。題量依學(xué)生基礎(chǔ)的不同而略有增減，步步為營(yíng),層層遞進(jìn)，講練結(jié)合,既再現(xiàn)知識(shí)的形成過程，又逐步加深對(duì)知識(shí)的理解，且形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，一舉數(shù)得。如反比例函數(shù)一節(jié)課可設(shè)計(jì)如下梯次的試題：1.已知反比例函數(shù)y=，則下列點(diǎn)中在這個(gè)反比例函數(shù)圖象的上的是（ ）意在揭示反比例函數(shù)的兩變量之積為非零的常數(shù).A（2，1） B.（1，-2） C.（-2，-2） D.（1，2）2.已知函數(shù)是反比例函數(shù)，且圖像在第二、四象限內(nèi)，則的值是（ ）yoABxA2BCD（或，= ）意在引出復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的概念.3.已知如圖,A是反比例函

17、數(shù)的圖像上的一點(diǎn),ABx軸于點(diǎn)B,且ABO的面積是3,則k的值是( )A.3 B.-3 C.6 D.-6 意在揭示反比例函數(shù)與圖像上的點(diǎn)有關(guān)的三角形面積的聯(lián)系.4.函數(shù) , 的圖象如圖所示，則結(jié)論： 兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3 ,3 ) 當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，BC = 8 當(dāng)逐漸增大時(shí)，隨著的增大而增大，隨著 的增大而減小其中正確結(jié)論的序號(hào)是 . 意在引出反比例函數(shù)的性質(zhì)的復(fù)習(xí).5.如圖,反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，則下列一次函數(shù)中，能使線段AB最長(zhǎng)的是（ ）A. B. C. D.意在復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的對(duì)稱性與一次函數(shù)的關(guān)系.6.如圖，四邊形ABCD為菱形，已知A（0，4），B（

18、-3，0）.求點(diǎn)D的坐標(biāo)；求經(jīng)過點(diǎn)C的反比例函數(shù)解析式. 意在復(fù)習(xí)圖形(四邊形)與坐標(biāo)及反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用. 這些試題在課堂上應(yīng)預(yù)先考慮呈現(xiàn)方式和順序,在板書的位置出要安排好,因?yàn)槊恳活}牽涉到的知識(shí)點(diǎn)都要集中書寫在醒目位置,最一題可在啟發(fā)思考確定解題方法后,老師示范或?qū)W生獨(dú)立完成,教師個(gè)別點(diǎn)拔,或采取板演,學(xué)生集體評(píng)價(jià)解題過程.解答題的規(guī)范書寫要盡可能在每節(jié)課中進(jìn)行訓(xùn)練,學(xué)生書寫不規(guī)范或過程凌亂在中考網(wǎng)上閱卷評(píng)分時(shí)很易丟分. 在完成這些試題后,一定要安排3-5分鐘的小結(jié),可學(xué)老師引學(xué)生小結(jié)，關(guān)鍵的是要揭示各題之間知識(shí)與解題方法的內(nèi)在本質(zhì)的聯(lián)系。實(shí)際上這些試題無論結(jié)合的是什么知識(shí),以什么形式呈

19、現(xiàn)，都與第一題“兩變量之積為非零的常數(shù)”這個(gè)重要結(jié)論密切相關(guān)。三角形的面積是兩變量之積的一半（k值），雙曲線的對(duì)稱性及其它一些性質(zhì)都可此結(jié)論產(chǎn)生的，從這個(gè)角度小結(jié)解題方法起到畫龍點(diǎn)睛的作用。這種小結(jié)比忙于多做一兩道題作用和效果好得多。 2.對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查例析 （1）數(shù)學(xué)思想方法考查舉例例2 題1（2010 第14題）如圖所示，半圓AB平移到半圓CD的位置時(shí)所掃過的面積為_ 題2 （2011 第14題）將完全相同的平行四邊形和完全相同的菱形鑲嵌成如圖所示的圖案設(shè)菱形中較小角為x度，平行四邊形中較大角為y度，則y與x的關(guān)系式是 題3 （2011 第24）將拋物線c1：y=沿x軸翻折，得拋物線

20、c2，如圖所示.（1）請(qǐng)直接寫出拋物線c2的表達(dá)式；（2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A，B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸交點(diǎn)從左到右依次為D，E；當(dāng)B，D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.yxOc1c2yxO備用圖 簡(jiǎn)析:本例題1意在考查轉(zhuǎn)化化歸思想,題2重在考查函數(shù)思想,題4意在考查在規(guī)律探索中考查分類討論與方程思想.這些試題構(gòu)建問題簡(jiǎn)明、自然，涉及的知識(shí)都是主干核

21、心知識(shí)，運(yùn)算解決問題過程并不復(fù)雜，重在分析能力與數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用。題3更是由已知簡(jiǎn)單的拋物線分別進(jìn)行軸對(duì)稱變換得到兩個(gè)拋物線、再將兩個(gè)拋物線分別向左右平移變換，入手易，層次分明，問題的形成自然。從新的角度考查了方程思想、分類討論思想。在平移的動(dòng)態(tài)變化中，通過設(shè)置問題：“當(dāng)B，D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值”，產(chǎn)生出問題的多樣性，有效地考查了分別討論思想，學(xué)生在此處只有具備較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，通過畫圖數(shù)形結(jié)合地分析，較全面、嚴(yán)密的思維能力才能發(fā)現(xiàn)問題要從兩種情況進(jìn)行討論求解。在求解的過程中，又要建立方程模型，這樣同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論和方程思想，而且對(duì)于特殊四邊形、勾股定理等空間與圖

22、形核心內(nèi)容進(jìn)行了有效考查。（2）初中數(shù)學(xué)思想方法的要點(diǎn)數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容之一。初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法很多,最基本最主要的有:轉(zhuǎn)化的思想方法,數(shù)形結(jié)合的思想方法,分類討論的思想方法,函數(shù)與方程的思想方法等。轉(zhuǎn)化的思想方法：就是人們將需要解決的問題,通過某種轉(zhuǎn)化手段,歸結(jié)為另一種相對(duì)容易解決的或已經(jīng)有解決方法的問題,從而使原來的問題得到解決。初中數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的思想方法。如化繁為簡(jiǎn)、化難為易,化未知為已知等,它是解決問題的一種最基本的思想方法。數(shù)形結(jié)合的思想方法：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué),因而研究總是圍繞著數(shù)與形進(jìn)行的?！皵?shù)”就是代數(shù)式、函數(shù)、不等式等表達(dá)式,

23、“形”就是圖形、圖象、曲線等。數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間的本質(zhì)上的聯(lián)系,以形直觀地表達(dá)數(shù),以數(shù)精確地研究形。函數(shù)與方程的思想方法：是客觀世界中事物運(yùn)動(dòng)變化,相互聯(lián)系,相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的反映,它的本質(zhì)是變量之間的對(duì)應(yīng)。用變化的觀點(diǎn),把所研究的數(shù)量關(guān)系,用函數(shù)的形式表示出來,然后用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究,使問題獲解。如果函數(shù)的形式是用解析式的方法表示出來的,那么就可以把函數(shù)解析式看作方程,通過解方程和對(duì)方程的研究,使問題得到解決,這就是方程的思想。在初中數(shù)學(xué)教材中,其它的思想方法都是隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)里,沒有單獨(dú)提出來,而函數(shù)與方程的思想方法,其內(nèi)容和名稱形式一致,單獨(dú)作為章節(jié)系統(tǒng)學(xué)習(xí)。 分類討

24、論的思想方法：就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn),將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類是以比較為基礎(chǔ)的,它能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律,有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí),解決數(shù)學(xué)問題。初中數(shù)學(xué)從整體上看分為代數(shù)、幾何兩大類,采用不同方法進(jìn)行研究,就是分類思想的體現(xiàn)。具體來說,實(shí)數(shù)的分類,方程的分類、三角形的分類,函數(shù)的分類等,都是分類思想的具體體現(xiàn)。（3）復(fù)習(xí)建議全面把握整個(gè)中考命題范圍內(nèi)的有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的知識(shí)內(nèi)容。如轉(zhuǎn)化思想方法涉及的主要內(nèi)容：代數(shù)式中加法與減法的轉(zhuǎn)化,乘法與除法的轉(zhuǎn)化,換元法解方程,解二元一次方程組時(shí)，經(jīng)消元后轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，幾何中添加輔助線等等,都體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的

25、思想方法。初中數(shù)學(xué)中涉及分類討論的主要內(nèi)容：代數(shù)中的含字母的式子的絕對(duì)值、方程的概念、分式方程的根、一元二次方程的根的情況、函數(shù)的定義、坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置的討論等；幾何中的圖形之間位置的討論（如點(diǎn)與圓，直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系）、未明確對(duì)應(yīng)關(guān)系或不提供圖形的圖形求解問題等。以及還有一些創(chuàng)新發(fā)生性的其他問題都有可能涉及分類討論思想。在相關(guān)內(nèi)容復(fù)習(xí)時(shí)，選取典型例題穿插進(jìn)行訓(xùn)練。如分類討論思想方法的訓(xùn)練,在數(shù)與式的內(nèi)容中可選取如下試題:若分式的值為零，則x等于（ ）A.2 B.-2 C. D.0在數(shù)軸上,若點(diǎn)M表示的數(shù)是1,點(diǎn)N表示的數(shù)是x,兩點(diǎn)之間的距離是5,則x的值為 .（2010 云南紅河）如

26、果 與是同類項(xiàng),則m與n的值為( )A.3和-2 B.-3和2 C.3和2 D.-3和-2（2010江蘇淮安）下面四個(gè)數(shù)中與最接近的數(shù)是( ) A2 B3 C4 D5實(shí)際上,在初中數(shù)學(xué)的各板塊內(nèi)容中,蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法問題,在一些知識(shí)的交匯處,也可創(chuàng)新設(shè)計(jì)出不少有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用的試題.對(duì)于這些試題,在復(fù)習(xí)中要分類穿插滲透在訓(xùn)練題中. 3.探索題等綜合型試題例析（1）探索性等綜合試題考查舉例 例3 題1 （2009 第23題） 問題背景 在某次活動(dòng)課中，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對(duì)校園中一些物體進(jìn)行了測(cè)量.下面是他們通過測(cè)量得到的一些信息：甲組：如圖1，測(cè)得一根直立于平

27、地，長(zhǎng)為80cm的竹竿的影長(zhǎng)為60cm.乙組：如圖2，測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900cm.丙組：如圖3，測(cè)得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì)）的高度為200cm，影長(zhǎng)為156cm.任務(wù)要求（1）請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖3，設(shè)太陽光線與0相切于點(diǎn).請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑（友情提示：如圖3，景燈的影長(zhǎng)等于線段的影長(zhǎng)；需要時(shí)可采用等式）.DDFE900cm圖2BCA60cm80cm圖1GHNE156cmMEOE200cm圖3KE（例3題1）題2 （2010 第23題）圖1所示的遮陽傘，傘柄垂直于水平地面，其示意圖如圖2當(dāng)傘收緊時(shí)

28、，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合；當(dāng)傘慢慢撐開時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P由A向B移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B時(shí)，傘張得最開已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN=CM=CN=60分米，CE=CF=18.0分米，BC=20分米設(shè)AP=x分米（1）求x的取值范圍；（2）若CPN=60，求x的值；（3）設(shè)陽光直射時(shí)，傘下的陰影（假定為圓面）面積為y，求y關(guān)于x的關(guān)系式（結(jié)果保留） 題3 某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：設(shè)BAC=（090）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB，AC上.活動(dòng)一： 如圖甲所示，從點(diǎn)A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點(diǎn)處互相垂直. （A1A2為第1根小棒）數(shù)學(xué)思考：（1）小棒

29、能無限擺下去嗎？答： .(填“能”或“不能”)（2）設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1.=_度；A1A2ABCA3A4A5A6a1a2a3圖甲若記小棒A2n-1A2n的長(zhǎng)度為an（n為正整數(shù)，如A1A2=a1，A3A4=a2，）， 求出此時(shí)a2，a3的值，并直接寫出an（用含n的式子表示）. 活動(dòng)二：如圖乙所示，從點(diǎn)A1開始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第一根小棒，且A1A2=AA1.數(shù)學(xué)思考：（3）若已經(jīng)擺放了3根小棒，則1 =_，2=_， 3=_；（用含 的式子表示）（4）若只能擺放4根小棒，求的范圍.簡(jiǎn)析：本例題1既是課題學(xué)習(xí)題，又是操作型試題，以三種有內(nèi)在聯(lián)系的測(cè)量問題為背景

30、，有效地考查了投影、三角形相似和圓的性質(zhì)，以及數(shù)據(jù)處理能力、動(dòng)手操作能力和分析解決實(shí)際問題的能力，從題中似乎可感受到學(xué)校學(xué)習(xí)研究之風(fēng)的濃厚和校園文化之美；題2直接取材于街頭常見的遮陽傘，將其數(shù)學(xué)化，試題配以文字，同時(shí)展示原景與抽象后的幾何圖形，圖文并茂，考查了心智操作中綜合利用菱形、相似形，方程解決問題的能力，更為重要的是考查學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)無所不在；情景題3的擺小棒中學(xué)生基本經(jīng)歷過中的游戲中，探索規(guī)律，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，在層層深入的活動(dòng)中不斷深化數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和在玩中用數(shù)學(xué)，發(fā)展思維、體驗(yàn)數(shù)學(xué)有用、有趣、有意義。 (2)復(fù)習(xí)建議 在復(fù)習(xí)中，如果

31、只停留在知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，要想挑戰(zhàn)優(yōu)異的成績(jī)，還在于提高綜合利用知識(shí)分析解決問題的能力。因此，我們要做到選題抓住核心內(nèi)容，從訓(xùn)練思維的有序性切入，逐步提升學(xué)生的思維水平，這是復(fù)習(xí)課的難點(diǎn)也是關(guān)鍵點(diǎn)。 由于初中生年齡特點(diǎn)及認(rèn)知水平的限制，多數(shù)學(xué)生表現(xiàn)出思維的無序性，停留在就題論題的階段，缺乏深入思考。因此，在選取綜合性試題時(shí)，既有考慮試題突出核心內(nèi)容與重要思想方法的考查，又要在講解中把自己猜測(cè)、推理的心理活動(dòng)揭示給學(xué)生，又要給學(xué)生思考的空間和機(jī)會(huì)，以暴露學(xué)生的思維過程，這樣才能逐步使學(xué)生的思考問題的方式變無序?yàn)橛行?，變偶然為必然，達(dá)到提高學(xué)生的邏輯思維水平和認(rèn)知能力的目的，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的掌

32、握深入本質(zhì)，數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用的有質(zhì)的飛躍。如探索性試題的復(fù)習(xí)中，以考查二次函數(shù)為主的探索性試題是必選的。二次函數(shù)是整個(gè)初中教學(xué)內(nèi)容的核心，命題創(chuàng)新空間大，如果將代數(shù)與幾何分別比作“長(zhǎng)江”與黃河，那么二次函數(shù)就是它們奔騰交匯一起注入的大海，二次函數(shù)的特點(diǎn)使得初中學(xué)生的所有重要內(nèi)容很容易聯(lián)系在一起，成為學(xué)生能力水平得以展示的廣闊天空與海洋。因各省市中考命題皆比較青睞，二次函數(shù)的探索性試題常用為壓軸題。例4 （2011北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=mx2+（m3）x3（m0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)ABC=45時(shí)，求m的值；（3）已知一次函數(shù)y=kx+b，點(diǎn)P（n，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，過點(diǎn)P垂直于x軸的直線交這個(gè)一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)M，交二次函數(shù)y=mx2+（m3）x3（m0）的圖象于N若只有當(dāng)2n2時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式本題將二次函數(shù)與含字母的一元