高中數(shù)學(xué)同步指導(dǎo)試卷蘇教版（2019）必修第二冊立體幾何初步1

1、試卷第 =page 6 6頁，共 =sectionpages 6 6頁試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁必修第二冊立體幾何初步一、單選題1某幾何體的三視圖如圖所示，則該兒何體的體積為（）A8B16C24D322四氯化碳是一種有機(jī)化合物，分子式為，是一種無色透明液體，易揮發(fā)，曾作為滅火劑使用四氯化碳分子的結(jié)構(gòu)為正四面體結(jié)構(gòu)，四個氯原子（Cl）位于正四面體的四個頂點(diǎn)處，碳原子（C）位于正四面體的中心則四氯化碳分子的碳氯鍵（C-Cl）之間的夾角正弦值為（）ABCD3在棱長為6的正方體內(nèi)有一個正四面體，該四面體外接球的球心與正方體的中心重合，且該四面體可以在正方體內(nèi)

2、任意轉(zhuǎn)動，則該四面體的棱長的最大值為（）AB4CD4在正方體中，E為棱的中點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為（）ABC4D5如圖，正三棱錐 中，該三棱錐外接球的表面積為，則正三棱錐的體積為（）A2BCD6設(shè)m，n，l是三條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列四個命題，其中正確的是（）A若，l，m，則lm；B若，l，m，則lm；C若l，l，則；D若l，lm，ln，m，n，則.7某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：）是（）A8BCD8已知一個圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐的體積為（）ABCD二、多選題9（多選）已知A，B，C表示不同的點(diǎn)，l表示直線，表

3、示不同的平面，則下列推理正確的是（）A，B，C，D，10若m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的有（）A若，則B若，則C若，則D若，則11如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）AB平面C與所成的角的余弦值為D點(diǎn)到平面的距離為12某藝術(shù)比賽提倡能力均衡發(fā)展，特別將水晶獎杯設(shè)計(jì)成具有對稱美的形狀其形如圖所示，是將棱長為的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)，作平行于底面的截面得到所有棱長均為的空間幾何體，則下列說法正確的是（）A該幾何體的體積為B該幾何體的外接球表面積為C該幾何體的表面積為D該幾何體中，二面角的余弦值為第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、填空題

4、13已知三棱錐的所有棱長均為，點(diǎn)分別為中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平面上，則的最小值為_14已知A、B、C、D為空間不共面的四個點(diǎn)，且，則當(dāng)三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為_15三棱錐中，與均為邊長為的等邊三角形，平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為_16如圖，在正四棱錐中，為棱PB的中點(diǎn)，為棱PD的中點(diǎn)，則棱錐與棱錐的體積之比為_四、解答題17用斜二測畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖：(1)邊長為的正三角形；(2)邊長為的正方形；(3)邊長為的正八邊形18如圖甲，在 中，B=90，BC=1，AB=2，D、E分別是AB、AC邊上的動點(diǎn)（除去端點(diǎn)），滿足，.現(xiàn)將 沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A

5、的位置，連接AB，AC得到如圖乙所示的四棱錐A-DBCE.(1)設(shè)l為平面ADE與平面的交線，求證：l/平面DBCE；(2)若ADBD，則當(dāng)為何值時，四棱錐A-DBCE的體積最大？19某型號氧氣瓶形狀如圖所示，可看作是由一個圓柱和一個圓臺組合而成（設(shè)氧氣瓶中氧氣已充滿，圖中所給尺寸是氧氣瓶的內(nèi)徑尺寸）某潛水員身背該型號氧氣瓶潛入水深am的湖底進(jìn)行某項(xiàng)工作，其勻速下潛和上浮的速度均為v m/min該潛水員下潛時每分鐘耗氧量與其下潛速度的平方成正比，經(jīng)測驗(yàn)，當(dāng)其下潛速度為1 m/min時，每分鐘耗氧0.2 L；在湖底工作時，每分鐘耗氧0.4 L；上浮時，每分鐘耗氧0.2 L若下潛與上浮時，他的速度

6、均不能超過pm/min，試問：該潛水員在湖底最多能工作多長時間（取3.14，氧氣瓶體積計(jì)算精確到1 L，a，p為常數(shù)）？20如圖，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，點(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn).(1)證明：平面PBE；(2)求三棱錐P-BDF的體積與四棱錐P-ABCD的體積之比.21如圖，在長方體的各面所在的平面中，分別寫出與直線AB，AD平行的平面.22如圖，在三棱錐中，平面平面，且，(1)求證：；(2)求直線與所成角的余弦值答案第 = page 19 19頁，共 = sectionpages 19 19頁答案第 = page 1 1頁，共 = sectionpages 2 2頁參考答

7、案：1B【解析】【分析】首先還原幾何體，再利用錐體的體積公式，即可求解.【詳解】由題意可知幾何體的形狀如圖：是矩形，所以幾何體的體積為.故選：B2D【解析】【分析】將四面體放入正方體中進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合正方體和正四面體的幾何特點(diǎn)，借助余弦定理即可容易求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，正方體的棱長為a，正四面體的棱長為，又該正方體的體對角線長度為，故，根據(jù)題意可知，所求夾角為，在中，由余弦定理可得：，故，即四氯化碳分子的碳氯鍵（C-Cl）之間的夾角正弦值為.故選：D3D【解析】【分析】結(jié)合正方體的內(nèi)切球及其內(nèi)切球的正四面體的結(jié)構(gòu)特征，利用勾股定理求得所求的最大棱長.【詳解】由題意得，該正四面體在正方體的內(nèi)

8、切球內(nèi)，故該四面體內(nèi)接于球時棱長最大正方體的內(nèi)切球半徑為，如圖，記正四面體為，棱長為a，O為底面ABC的中心，四面體外接球的球心為，連接PO，OC，則PO底面ABC，在中，解得故選：D4D【解析】【分析】先作出平面截正方體的截面，再求出截面的高，由梯形面積公式得出截面面積.【詳解】取的中點(diǎn)為M，連接EM，則，且，則又正方體中，所以，因此，所以平面截正方體所得的截面為等腰梯形，因此該等腰梯形的高為，所以該截面的面積為故選：D5B【解析】【分析】根據(jù)三棱錐的幾何特點(diǎn)，結(jié)合正方體外接球的球半徑公式，求得三棱錐的棱長，再根據(jù)棱錐體積的計(jì)算公式，代值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槿忮F為正三棱錐，所以，又因?yàn)椋?/p>

9、所以三條側(cè)棱AB，AD，AC兩兩垂直，不妨設(shè)，則三棱錐外接球即為棱長為a的正方體的外接球，且球的直徑為又三棱錐外接球的表面積為，即外接球的直徑為，即，所以正三棱錐的體積.故選：B【點(diǎn)睛】本題考察三棱錐的外接球半徑的求解，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特點(diǎn)將其轉(zhuǎn)化為求正方體外接球的半徑，屬中檔題.6C【解析】【分析】對于選項(xiàng)A，B，D，舉出符合選項(xiàng)條件的事例判斷；對于C，推理說明判斷作答.【詳解】對于A，在長方體中，令平面為平面，平面為平面，如圖，直線AB為直線l，直線為直線m，滿足，而l與m不垂直，A不正確；對于B，在A選項(xiàng)的長方體中，令平面為平面，平面為平面，直線AB為直線l，直線為直線m，滿

10、足，而，B不正確；對于C，過l作平面，如圖，因，則，又，而，于是得，所以，C正確； 對于D，在A選項(xiàng)的長方體中，令平面為平面，平面為平面，直線AB為直線l，直線AD，BC分別視為m，n，滿足，而，D不正確.故選：C7B【解析】【分析】根據(jù)三視圖，還原幾何體，再根據(jù)棱柱和棱錐的體積公式求組合體的體積即可.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體如下：直棱柱底面是為直角的等腰直角三角形，且，高；棱錐和棱柱同底，且高，故該組合體的體積.故選：B.8C【解析】【分析】設(shè)圓錐的高為h，母線長為l，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)圓錐的高為h，母線長為l，則圓錐的

11、側(cè)面積，故，故圓錐的體積故選：C9ABD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可得到答案.【詳解】根據(jù)公理1可知A正確；根據(jù)公理3可知B正確；易知D正確；點(diǎn)A可以為的交點(diǎn)，C錯誤.故選：ABD.10AC【解析】【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系的相關(guān)定理依次判斷各個選項(xiàng)，即可求得答案.【詳解】對于A，由面面平行性質(zhì)：兩平面平行，在一平面內(nèi)的任意直線與另一平面平行.而，故，A正確；對于B，此時m有可能在平面內(nèi)，故不能得到，B錯誤；對于C，由于，則可經(jīng)平移到與重合的位置而平移不改變直線與平面是否直，故，C正確；對于D，當(dāng)，過上一點(diǎn)作直線，此時，不能得到，D錯誤.綜上，AC正確.故選：AC.11

12、AD【解析】【分析】根據(jù)線線垂直、線面平行、線線角、點(diǎn)面距等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng):取中點(diǎn)為，則易得：，故與，可得平面，又平面，故，A正確；B選項(xiàng)：若平面，則平面或在平面內(nèi)，顯然不成立，B錯誤；C選項(xiàng)：取中點(diǎn)為，則即為所求角，故，D錯誤；D選項(xiàng)：三棱錐中，等邊三角形的外接圓半徑為，所以到平面的距離為，D正確.故選：AD12AB【解析】【分析】補(bǔ)全幾何體為棱長為3a的正三棱錐，應(yīng)用棱錐體積、表面積的求法求幾何體的體積、表面積，再由幾何法求幾何體外接球的半徑，進(jìn)而求外接球面積，根據(jù)四面體的性質(zhì)判斷二面角與棱錐側(cè)面夾角的關(guān)系，通過求棱錐側(cè)面夾角余弦值求二面角的余弦值.【

13、詳解】補(bǔ)全幾何體為棱長為3a的正三棱錐，如下圖示，幾何體體積，故A正確；若分別是面、底面的中心，由題設(shè)易知：，若幾何體外接球半徑，則，即，解得，則幾何體的外接球表面積，故B正確.幾何體的表面積，故C錯誤；由正四面體的性質(zhì)及圖知：二面角為正四面體相鄰兩個面夾角的補(bǔ)角，而正四面體相鄰兩個面夾角的余弦值為，則二面角的余弦值為，故D錯誤；故選：AB.13【解析】【分析】根據(jù)題意，作出圖像，可得點(diǎn)到平面的距離就是的最小值，由題意計(jì)算，從而得，可得，利用計(jì)算出的最小值.【詳解】如圖所示，由題意可得平面，取中點(diǎn)，把平面圍繞直線旋轉(zhuǎn)到與平面重合，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線平面，所以點(diǎn)到平面的距離就是的最小值，且

14、，又點(diǎn)分別為中點(diǎn)，三棱錐的所有棱長均為，所以，可得，所以，所以故答案為：.14【解析】【分析】由題可得當(dāng)BA、BC、BD兩兩垂直時，三棱錐的體積最大，將三棱錐補(bǔ)形為一個長寬高分別為，的長方體，即得.【詳解】當(dāng)BA、BC、BD兩兩垂直時，如圖三棱錐的底面的面積和高同時取得最大值，則三棱錐的體積最大，此時將三棱錐補(bǔ)形為一個長寬高分別為，的長方體，長方體的外接球即為三棱錐的外接球，球的半徑，表面積為故答案為：.15【解析】【分析】計(jì)算出外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】等邊三角形、等邊三角形的高為，等邊三角形、等邊三角形的外接圓半徑為，設(shè)分別是等邊三角形、等邊三角形的中心，設(shè)是三棱錐的外

15、接球的球心，是外接球的半徑，則，所以外接球的表面積為.故答案為：16【解析】【分析】根據(jù)圖形可求出與棱錐的體積之比，即可求出結(jié)果【詳解】如圖所示：棱錐可看成正四棱錐減去四個小棱錐的體積得到，設(shè)正四棱錐的體積為，為PB的中點(diǎn)，為PD的中點(diǎn)，所以，而，同理，故棱錐的體積的為，即棱錐與棱錐的體積之比為故答案為：.17(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)作圖見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)斜二測畫法，作出平面圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出對應(yīng)斜二測坐標(biāo)系，確定多邊形各頂點(diǎn)在直觀圖中對應(yīng)的頂點(diǎn)，連線可得直觀圖；（2）根據(jù)斜二測畫法，作出平面圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出對應(yīng)斜二測坐標(biāo)系，確定多邊形各頂

16、點(diǎn)在直觀圖中對應(yīng)的頂點(diǎn)，連線可得直觀圖；（3）根據(jù)斜二測畫法，作出平面圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出對應(yīng)斜二測坐標(biāo)系，確定多邊形各頂點(diǎn)在直觀圖中對應(yīng)的頂點(diǎn)，連線可得直觀圖.(1)解：如圖所示，以邊所在的直線為軸，以邊的高線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的軸、軸，使，在軸上截取，在軸上截取，連接、，則即為等邊的直觀圖，如圖所示.(2)解：如圖所示，以、邊所在的直線分別為軸、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的軸、軸，使，在軸上截取，在軸上截取，作軸，且，連接，則平行四邊形即為正方形的直觀圖，如圖所示.(3)解：如圖所示，畫正八邊形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直

17、角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)、在軸上的射影點(diǎn)分別為、，畫對應(yīng)的軸、軸，使，在軸上截取，在軸上截取，作軸且，作軸，且，作軸，且，作軸，且，作軸，且，連接、，則八邊形為正八邊形的直觀圖，如圖所示.18(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）先證明線線平行，再證明線面平行即可；（2）根據(jù)四棱錐體積公式求出四棱錐A-DBCE的體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值.(1)由題意可知，而 ,故 ,則 ，且 ,而平面平面平面平面平面 ,而平面平面平面；(2)由（1）知，B=90，故 ,由此可知,又平面 , 在上為正，在上為負(fù),在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)所以當(dāng)時四棱錐體積最大.19當(dāng)p1時，潛水員在湖底最多能工作42.5

18、-a分鐘；當(dāng)p1時，潛水員在湖底最多能工作分鐘.【解析】【分析】先求出氧氣瓶中氧氣的體積.設(shè)潛入水下a米過程中的每分鐘需氧量為Q，則.計(jì)算出k=0.2，得到來回途中需氧量為和在湖底的工作時間為由此能夠求出潛水員在湖底最多工作時間.【詳解】氧氣瓶中氧氣的體積.設(shè)潛入水下a米過程中的每分鐘需氧量為Q，則.因當(dāng)速度為1m/min時，每分鐘需氧量0.2L，所以k=0.2，故來回途中需氧量為，則在湖底的工作時間為.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以當(dāng)p1時，的最大值是42.5-a.當(dāng)p1時，因?yàn)椋?，即當(dāng)時，在湖底的工作時間的最大值為分鐘.因此，當(dāng)p1時，潛水員在湖底最多能工作42.5-a分鐘；當(dāng)p1時，潛水員在湖底最多能工作分鐘.20(1)證明過程見解析；(2)【解析】【分析】（1）作出輔助線，證明出平行四邊形，得到線線平行，進(jìn)而證明線面平行；（2）由中點(diǎn)關(guān)系及正方