(中心極限定理)

1、 3.6 3.6 中心極限定理中心極限定理3.6 中心極限定理中心極限定理【例【例3.30】大量的研究表明，誤差產(chǎn)生是由大量微小的】大量的研究表明，誤差產(chǎn)生是由大量微小的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素疊加而成的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素疊加而成的?？紤]一位操作工在機(jī)床上加工機(jī)械軸，要求其直徑應(yīng)符考慮一位操作工在機(jī)床上加工機(jī)械軸，要求其直徑應(yīng)符合規(guī)定要求。但加工后的機(jī)械軸與規(guī)定要求總會(huì)有一定合規(guī)定要求。但加工后的機(jī)械軸與規(guī)定要求總會(huì)有一定誤差，這是因?yàn)樵诩庸r(shí)受到一些隨機(jī)因素的影響：誤差，這是因?yàn)樵诩庸r(shí)受到一些隨機(jī)因素的影響：(1) 在機(jī)床方面有機(jī)床振動(dòng)與轉(zhuǎn)速的影響；在機(jī)床方面有機(jī)床振動(dòng)與轉(zhuǎn)速的影響；(2) 在刀

2、具方面有裝配與磨損的影響；在刀具方面有裝配與磨損的影響；(3) 在材料方面有鋼材的成分、產(chǎn)地的影響；在材料方面有鋼材的成分、產(chǎn)地的影響；(4) 在操作者方面有注意力集中程度、當(dāng)天情緒的影響；在操作者方面有注意力集中程度、當(dāng)天情緒的影響；(5) 在測(cè)量方面有度量工具誤差、測(cè)量技術(shù)的影響；在測(cè)量方面有度量工具誤差、測(cè)量技術(shù)的影響；3.6 中心極限定理中心極限定理【例【例3.22】大量的研究表明，誤差產(chǎn)生是由大量微小的】大量的研究表明，誤差產(chǎn)生是由大量微小的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素疊加而成的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素疊加而成的?？紤]一位操作工在機(jī)床上加工機(jī)械軸，要求其直徑應(yīng)符考慮一位操作工在機(jī)床上加工機(jī)械軸，要求

3、其直徑應(yīng)符合規(guī)定要求。但加工后的機(jī)械軸與規(guī)定要求總會(huì)有一定合規(guī)定要求。但加工后的機(jī)械軸與規(guī)定要求總會(huì)有一定誤差，這是因?yàn)樵诩庸r(shí)受到一些隨機(jī)因素的影響：誤差，這是因?yàn)樵诩庸r(shí)受到一些隨機(jī)因素的影響：(6)在環(huán)境方面有車間溫度、濕度、照明、工作電壓的影在環(huán)境方面有車間溫度、濕度、照明、工作電壓的影響；響；(7) 在具體場(chǎng)合還可列出許多其他影響因素在具體場(chǎng)合還可列出許多其他影響因素3.6 中心極限定理中心極限定理u由于這些獨(dú)立因素很多由于這些獨(dú)立因素很多u每個(gè)因素對(duì)加工精度的影響都是很微小的每個(gè)因素對(duì)加工精度的影響都是很微小的u每個(gè)因素的出現(xiàn)又都是人們無法控制的、隨機(jī)的、時(shí)有每個(gè)因素的出現(xiàn)又都是人

4、們無法控制的、隨機(jī)的、時(shí)有時(shí)無、時(shí)正時(shí)負(fù)的時(shí)無、時(shí)正時(shí)負(fù)的u這些因素的綜合影響最終使每個(gè)機(jī)械軸的直徑產(chǎn)生誤差這些因素的綜合影響最終使每個(gè)機(jī)械軸的直徑產(chǎn)生誤差YnuYn是隨機(jī)變量：是隨機(jī)變量：Yn = X1 + X2 + Xnu這里這里n是很大的，當(dāng)是很大的，當(dāng)n時(shí)時(shí)，Yn的分布是什么？的分布是什么？3.6 中心極限定理中心極限定理uYn = X1 + X2 + Xnu當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)n時(shí)時(shí)，Yn的分布是什么？的分布是什么？u當(dāng)然，可以考慮用卷積公式去計(jì)算當(dāng)然，可以考慮用卷積公式去計(jì)算Yn的分布的分布u但這樣的計(jì)算是相當(dāng)復(fù)雜的、不現(xiàn)實(shí)的，而且也是不易但這樣的計(jì)算是相當(dāng)復(fù)雜的、不現(xiàn)實(shí)的，而且也是不易實(shí)現(xiàn)的

5、實(shí)現(xiàn)的u即使能寫出即使能寫出Yn的分布，但由于其形式復(fù)雜而無法使用的分布，但由于其形式復(fù)雜而無法使用本節(jié)研究本節(jié)研究u在相當(dāng)一般的條件下，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的和的分在相當(dāng)一般的條件下，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的和的分布的收斂問題布的收斂問題.3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理【定理定理3.1】（獨(dú)立同分布的中心極限定理）設(shè)（獨(dú)立同分布的中心極限定理）設(shè)X1，X2，Xn，為相互獨(dú)立、服從同一分布的隨機(jī)變量為相互獨(dú)立、服從同一分布的隨機(jī)變量序列，且序列，且E(Xi) = ，D(Xi) = 2 0（i = 1，2，），則），則對(duì)于任意對(duì)于任意x

6、，有，有u林德伯格林德伯格-萊維萊維(Lindeberg-Levy)定理定理u該定理是這兩位學(xué)者在上世紀(jì)該定理是這兩位學(xué)者在上世紀(jì)20年代證明的年代證明的)(21lim212xdtexnnXPxtniin 5.2 中心極限定理中心極限定理林德伯格林德伯格(Lindeberg , 1876-1932)u芬蘭數(shù)學(xué)家，因中心極限定理而著名芬蘭數(shù)學(xué)家，因中心極限定理而著名u林德貝格就讀于赫爾辛基大學(xué)林德貝格就讀于赫爾辛基大學(xué)u早期對(duì)偏微分方程和積分變換感興趣早期對(duì)偏微分方程和積分變換感興趣u從從1920年開始轉(zhuǎn)向概率統(tǒng)計(jì)，當(dāng)年發(fā)表了第一篇中心極年開始轉(zhuǎn)向概率統(tǒng)計(jì)，當(dāng)年發(fā)表了第一篇中心極限定理的論文限定

7、理的論文u兩年后，他用同樣的方法得到了更進(jìn)一步的結(jié)論兩年后，他用同樣的方法得到了更進(jìn)一步的結(jié)論林德貝格條件林德貝格條件5.2 中心極限定理中心極限定理林德伯格林德伯格(Lindeberg , 1876-1932)u瑞典數(shù)學(xué)家克拉美瑞典數(shù)學(xué)家克拉美1922年結(jié)識(shí)了林德貝格，后來克拉美年結(jié)識(shí)了林德貝格，后來克拉美曾向人講起關(guān)于林德貝格和他的美麗農(nóng)場(chǎng)的故事：曾向人講起關(guān)于林德貝格和他的美麗農(nóng)場(chǎng)的故事：u當(dāng)有人責(zé)備林德貝格沒有充分開展科學(xué)研究的時(shí)候，林當(dāng)有人責(zé)備林德貝格沒有充分開展科學(xué)研究的時(shí)候，林德貝格就說德貝格就說“我其實(shí)是個(gè)農(nóng)夫我其實(shí)是個(gè)農(nóng)夫”u當(dāng)有人提及他的農(nóng)場(chǎng)不適合種植的時(shí)候，他就會(huì)說當(dāng)有人

8、提及他的農(nóng)場(chǎng)不適合種植的時(shí)候，他就會(huì)說“當(dāng)當(dāng)然，我真正的工作是當(dāng)教授然，我真正的工作是當(dāng)教授” 5.2 中心極限定理中心極限定理萊維萊維(Levy，1886-1971)u法國(guó)數(shù)學(xué)家，現(xiàn)代概率論開拓者之一法國(guó)數(shù)學(xué)家，現(xiàn)代概率論開拓者之一u曾在巴黎圣艾蒂安礦業(yè)學(xué)校、巴黎綜合工曾在巴黎圣艾蒂安礦業(yè)學(xué)校、巴黎綜合工科學(xué)校任教科學(xué)校任教.u主要研究概率論和泛函分析主要研究概率論和泛函分析u他引入分布律的萊維距離、散布函數(shù)和集結(jié)函數(shù)、鞅、他引入分布律的萊維距離、散布函數(shù)和集結(jié)函數(shù)、鞅、局部時(shí)等概念，對(duì)極限理論和隨機(jī)過程理論作出了重要局部時(shí)等概念，對(duì)極限理論和隨機(jī)過程理論作出了重要貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)3.6 中心極限定

9、理中心極限定理3.6.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理【定理定理3.1】含義：含義：u記記 ， 為為Yn的分布函數(shù)，則的分布函數(shù)，則u這表明，當(dāng)這表明，當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，u從而當(dāng)從而當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)， nnXYniin 1)(xFnY)(21lim212xdtexnnXPxtniin )()(limxxFnYn )1, 0(1NnnXYniin近近似似 ),(21 nnNXnii近似近似 3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理【定理定理3.1】 u上式說明，不論上式說明，不論X1，X2，Xn服從什么分布，只要

10、滿服從什么分布，只要滿足定理的條件足定理的條件,當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí),就可以把就可以把 近似地作為正近似地作為正態(tài)隨機(jī)變量處理態(tài)隨機(jī)變量處理u將上述結(jié)論稍作變形，還可以得到定理結(jié)論的另外表現(xiàn)將上述結(jié)論稍作變形，還可以得到定理結(jié)論的另外表現(xiàn)形形式),(21 nnNXnii近似近似 )1 , 0(1NnnXnki近近似似 niiX13.6 中心極限定理中心極限定理3.6.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理【定理定理3.1】 【推論推論3.1】設(shè)設(shè)X1 ,X2,Xn獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布,其均值為其均值為 ，方差，方差為為 2 0，則當(dāng)，則當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí),有有其中其中),(2

11、1 nnNXnii近似近似 )1 , 0(1NnnXnki近近似似 niiXnX11)1 , 0( NnX近近似似 ),(2nNX 近似近似3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理【定理定理3.1】 【推論推論3.1】u由推論可知由推論可知,無論無論X1,X2,Xn是服從什么分布是服從什么分布,只要滿足一只要滿足一定條件，當(dāng)定條件，當(dāng)n充分大時(shí)，其算術(shù)平均值總是近似服從正態(tài)充分大時(shí)，其算術(shù)平均值總是近似服從正態(tài)分布分布.u這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本理論的基礎(chǔ)這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本理論的基礎(chǔ).),(21 nnNXnii近似近似 )1 , 0

12、(1NnnXnki近近似似 )1 , 0( NnX近近似似 ),(2nNX 近似近似3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理【例例3.21】設(shè)某種型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴请S機(jī)變量，期設(shè)某種型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴请S機(jī)變量，期望是望是20g，標(biāo)準(zhǔn)差是，標(biāo)準(zhǔn)差是5g，求一盒，求一盒(100個(gè)個(gè))螺絲釘?shù)目傊亓柯萁z釘?shù)目傊亓砍^超過2.1kg的概率的概率.解：解：設(shè)盒中第設(shè)盒中第i個(gè)螺絲釘?shù)膬糁貫閭€(gè)螺絲釘?shù)膬糁貫閄i克克, X1, X2, Xn是是100個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且u由中心極限定理由中心極限定理u即即 ,)(

13、,)(252 iiXDXE0 00 00 02 21 11 , i),(25121近似1 0 00 00 00 00 00 00 01 1NXii),(2近似50 02 20 00 00 02 20 00 01 1NXii 3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理【例例3.21】設(shè)某種型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴请S機(jī)變量，期設(shè)某種型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴请S機(jī)變量，期望是望是20g，標(biāo)準(zhǔn)差是，標(biāo)準(zhǔn)差是5g，求一盒，求一盒(100個(gè)個(gè))螺絲釘?shù)目傊亓柯萁z釘?shù)目傊亓砍^超過2.1kg的概率的概率.解：解：由中心極限定理由中心極限定理 u所以，所以， 00002

14、 21 100002 22002001 100001 1111 iiiiXPXP 5015012000200000002 2200020001 100001 1iiXP27577250 02 20 09 90 01 1. ),(2近似150020020000001 1NXii )(2 21 1 3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理【例例3.21】設(shè)某種型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴请S機(jī)變量，期設(shè)某種型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴请S機(jī)變量，期望是望是20g，標(biāo)準(zhǔn)差是，標(biāo)準(zhǔn)差是5g，求一盒，求一盒(100個(gè)個(gè))螺絲釘?shù)目傊亓柯萁z釘?shù)目傊亓砍^超過2.1kg的概率

15、的概率.解：解：設(shè)盒中第設(shè)盒中第i個(gè)螺絲釘?shù)膬糁貫閭€(gè)螺絲釘?shù)膬糁貫閄i克克, X1, X2, Xn是是100個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且u由中心極限定理由中心極限定理u即即 ,)(,)(252 iiXDXE0 00 00 02 21 11 , i),(25121近似1 0 00 00 00 00 00 00 01 1NXii)20000,20000(2001NXii近似近似 3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理【例例3.22】用機(jī)器包裝味精，每袋凈重為隨機(jī)變量，期用機(jī)器包裝味精，每袋凈重為隨機(jī)變量，期望值為

16、望值為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克，一箱內(nèi)裝克，一箱內(nèi)裝200袋味精，求袋味精，求一箱味精凈重大于一箱味精凈重大于20400克的概率克的概率解：解：設(shè)箱中第設(shè)箱中第i袋味精的凈重為袋味精的凈重為Xi克克, X1, X2, Xn是是200個(gè)個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且u由中心極限定理由中心極限定理u即即 ,100)(,100)( iiXDXE200, 2 , 1 i)100200,100200(2001 NXii近似近似)20000,20000(2001NXii近似近似 3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限

17、定理【例例3.22】用機(jī)器包裝味精，每袋凈重為隨機(jī)變量，期用機(jī)器包裝味精，每袋凈重為隨機(jī)變量，期望值為望值為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克，一箱內(nèi)裝克，一箱內(nèi)裝200袋味精，求袋味精，求一箱味精凈重大于一箱味精凈重大于20400克的概率克的概率解：解：由中心極限定理由中心極限定理 u所以，所以， 2040012040020012001 iiiiXPXP 200002000020400200002000012001iiXP0023. 09977. 01 )20000,20000(2001NXii近似近似 )83. 2(1 3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.2 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似二項(xiàng)分

18、布的正態(tài)近似【定理定理3.2】（棣莫弗（棣莫弗拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）設(shè)設(shè) n（n = 1，2，）服從參數(shù)為）服從參數(shù)為n，p（0 p 1）的二）的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)項(xiàng)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有，有 u這個(gè)定理表明，當(dāng)這個(gè)定理表明，當(dāng)n充分大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變充分大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量量 n的標(biāo)準(zhǔn)化變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即有的標(biāo)準(zhǔn)化變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即有 ，即，即)(21)1(lim22xdtexpnpnpPxtnn )1 , 0()1(Npnpnpn近似近似 )1(,(pnpnpNn 近似近似 3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.2 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似二項(xiàng)分

19、布的正態(tài)近似u一般，當(dāng)一般，當(dāng)n較大時(shí)，二項(xiàng)分布的概率計(jì)算起來非常復(fù)雜較大時(shí)，二項(xiàng)分布的概率計(jì)算起來非常復(fù)雜u這時(shí)可用正態(tài)分布來近似二項(xiàng)分布，使概率計(jì)算得到簡(jiǎn)這時(shí)可用正態(tài)分布來近似二項(xiàng)分布，使概率計(jì)算得到簡(jiǎn)化對(duì)于任意正數(shù)化對(duì)于任意正數(shù)n1和和n2，有，有)1(2121 nnknknkknnnPppC )1()1(12pnpnpnpnpnpn )1()1()1(21pnpnpnpnpnppnpnpnPn 3.6 中心極限定理中心極限定理棣莫弗棣莫弗(1667-1754)u法國(guó)裔英國(guó)藉數(shù)學(xué)家法國(guó)裔英國(guó)藉數(shù)學(xué)家.u自幼接受父親的教育，稍大后進(jìn)入當(dāng)?shù)匾蛔杂捉邮芨赣H的教育，稍大后進(jìn)入當(dāng)?shù)匾凰熘鹘虒W(xué)校念

20、書所天主教學(xué)校念書.u學(xué)校不重視數(shù)學(xué)，但棣莫弗常常偷偷地學(xué)習(xí)學(xué)校不重視數(shù)學(xué)，但棣莫弗常常偷偷地學(xué)習(xí).u在早期所學(xué)的數(shù)學(xué)著作中，他最感興趣的是惠更斯關(guān)于在早期所學(xué)的數(shù)學(xué)著作中，他最感興趣的是惠更斯關(guān)于賭博的著作，特別是惠更斯于賭博的著作，特別是惠更斯于1657年出版的年出版的論賭博中論賭博中的機(jī)會(huì)的機(jī)會(huì)一書，啟發(fā)了他的靈感一書，啟發(fā)了他的靈感.u1686年時(shí)棣莫弗到了英國(guó)他對(duì)數(shù)學(xué)的所有貢獻(xiàn)全是在年時(shí)棣莫弗到了英國(guó)他對(duì)數(shù)學(xué)的所有貢獻(xiàn)全是在英國(guó)做出的英國(guó)做出的3.6 中心極限定理中心極限定理棣莫弗棣莫弗(1667-1754)u1692年，棣莫弗拜會(huì)了英國(guó)皇家學(xué)會(huì)秘書年，棣莫弗拜會(huì)了英國(guó)皇家學(xué)會(huì)秘書E

21、哈雷哈雷u(yù)哈雷將棣莫弗的重要著作哈雷將棣莫弗的重要著作機(jī)會(huì)的學(xué)說機(jī)會(huì)的學(xué)說呈送牛頓，牛呈送牛頓，牛頓對(duì)棣莫弗十分欣賞頓對(duì)棣莫弗十分欣賞u據(jù)說，后來遇到學(xué)生向牛頓請(qǐng)教概率方面的問題時(shí)，他據(jù)說，后來遇到學(xué)生向牛頓請(qǐng)教概率方面的問題時(shí)，他就說：就說：“這樣的問題應(yīng)該去找棣莫弗，他對(duì)這些問題的這樣的問題應(yīng)該去找棣莫弗，他對(duì)這些問題的研究比我深入得多研究比我深入得多”u1735年，棣莫弗被選為柏林科學(xué)院院士年，棣莫弗被選為柏林科學(xué)院院士u棣莫弗首次發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)分布的極限形式為正態(tài)分布棣莫弗首次發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)分布的極限形式為正態(tài)分布3.6 中心極限定理中心極限定理棣莫弗棣莫弗(1667-1754)u后來，拉普拉斯對(duì)

22、棣莫弗的結(jié)果進(jìn)行推廣，得到了今天后來，拉普拉斯對(duì)棣莫弗的結(jié)果進(jìn)行推廣，得到了今天的棣莫弗的棣莫弗-拉普拉斯極限定理拉普拉斯極限定理.u棣莫弗在棣莫弗在87歲時(shí)患上了嗜眠癥，每天睡覺長(zhǎng)達(dá)歲時(shí)患上了嗜眠癥，每天睡覺長(zhǎng)達(dá)20小時(shí)小時(shí).當(dāng)達(dá)到當(dāng)達(dá)到24小時(shí)長(zhǎng)睡不起時(shí)，他在貧寒中離開了人世小時(shí)長(zhǎng)睡不起時(shí)，他在貧寒中離開了人世 u關(guān)于棣莫弗的死有一個(gè)頗具數(shù)學(xué)色彩的神奇?zhèn)髡f：關(guān)于棣莫弗的死有一個(gè)頗具數(shù)學(xué)色彩的神奇?zhèn)髡f：u在臨終前若干天，棣莫弗發(fā)現(xiàn)，他每天需要比前一天多在臨終前若干天，棣莫弗發(fā)現(xiàn)，他每天需要比前一天多睡睡1/4小時(shí)，那么各天睡眠時(shí)間將構(gòu)成一個(gè)算術(shù)級(jí)數(shù)，當(dāng)小時(shí)，那么各天睡眠時(shí)間將構(gòu)成一個(gè)算術(shù)級(jí)數(shù)

23、，當(dāng)此算術(shù)級(jí)數(shù)達(dá)到此算術(shù)級(jí)數(shù)達(dá)到24小時(shí)時(shí)，棣莫弗就長(zhǎng)眠不醒了小時(shí)時(shí)，棣莫弗就長(zhǎng)眠不醒了. 3.6 中心極限定理中心極限定理拉普拉斯拉普拉斯(1749-1827)u法國(guó)著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家法國(guó)著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家u天體力學(xué)的主要奠基人，天體演化學(xué)的天體力學(xué)的主要奠基人，天體演化學(xué)的創(chuàng)立者之一，分析概率論的創(chuàng)始人，應(yīng)用數(shù)創(chuàng)立者之一，分析概率論的創(chuàng)始人，應(yīng)用數(shù)學(xué)的先軀學(xué)的先軀u他發(fā)表的天文學(xué)、數(shù)學(xué)和物理學(xué)的論文有他發(fā)表的天文學(xué)、數(shù)學(xué)和物理學(xué)的論文有270多篇，專多篇，專著合計(jì)有著合計(jì)有4006多頁(yè)多頁(yè)u其中最有代表性的專著有其中最有代表性的專著有天體力學(xué)天體力學(xué)、宇宙體系論宇宙體系論和和概率分析理

24、論概率分析理論3.6 中心極限定理中心極限定理拉普拉斯拉普拉斯(1749-1827)u因研究太陽(yáng)系穩(wěn)定性的動(dòng)力學(xué)問題被譽(yù)為法國(guó)的牛頓和因研究太陽(yáng)系穩(wěn)定性的動(dòng)力學(xué)問題被譽(yù)為法國(guó)的牛頓和天體力學(xué)之父天體力學(xué)之父.u18歲時(shí)離家赴巴黎，決定從事數(shù)學(xué)工作歲時(shí)離家赴巴黎，決定從事數(shù)學(xué)工作.u帶著一封推薦信去找當(dāng)時(shí)法國(guó)著名學(xué)者達(dá)朗貝爾，但被帶著一封推薦信去找當(dāng)時(shí)法國(guó)著名學(xué)者達(dá)朗貝爾，但被后者拒絕接見，后寄去一篇力學(xué)方面的論文給達(dá)朗貝爾后者拒絕接見，后寄去一篇力學(xué)方面的論文給達(dá)朗貝爾.u這篇論文出色至極，以至達(dá)朗貝爾忽然高興得要當(dāng)他的這篇論文出色至極，以至達(dá)朗貝爾忽然高興得要當(dāng)他的教父，并使拉普拉斯被推薦到

25、軍事學(xué)校教書教父，并使拉普拉斯被推薦到軍事學(xué)校教書.u以他的名字命名的重要結(jié)論和方法頗多：以他的名字命名的重要結(jié)論和方法頗多：如拉普拉斯變換、拉普拉斯方程等等如拉普拉斯變換、拉普拉斯方程等等.3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.2 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似二項(xiàng)分布的正態(tài)近似【例例3.23】設(shè)電路供電網(wǎng)內(nèi)有設(shè)電路供電網(wǎng)內(nèi)有10000盞相同的燈，夜間每盞相同的燈，夜間每一盞燈開著的概率為一盞燈開著的概率為0.8，假設(shè)各燈的開關(guān)彼此獨(dú)立，計(jì)，假設(shè)各燈的開關(guān)彼此獨(dú)立，計(jì)算同時(shí)開著的燈數(shù)在算同時(shí)開著的燈數(shù)在7800與與8200之間的概率之間的概率解：解：記同時(shí)開著的燈數(shù)為記同時(shí)開著的燈數(shù)為X，則，則XB(

26、10000，0.8)，于是由棣莫弗，于是由棣莫弗-拉普拉斯定理，有拉普拉斯定理，有82007800 XP11)5(2)5()5( )160080007800()160080008200( )1600,8000( NX近似近似3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.2 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似二項(xiàng)分布的正態(tài)近似【例例3.24】某單位內(nèi)部有某單位內(nèi)部有260部電話分機(jī)，每個(gè)分機(jī)有部電話分機(jī)，每個(gè)分機(jī)有4%的時(shí)間要與外線通話，可以認(rèn)為每個(gè)電話分機(jī)用不的時(shí)間要與外線通話，可以認(rèn)為每個(gè)電話分機(jī)用不同的外線是相互獨(dú)立的，問總機(jī)需備多少條外線才能以同的外線是相互獨(dú)立的，問總機(jī)需備多少條外線才能以95%的概率滿足每

27、個(gè)分機(jī)在用外線時(shí)不用等候的概率滿足每個(gè)分機(jī)在用外線時(shí)不用等候?解：解：設(shè)設(shè) 表示同時(shí)使用外線的分機(jī)數(shù)表示同時(shí)使用外線的分機(jī)數(shù), 則則 B(260，p)，其中其中p = 0.04根據(jù)題意應(yīng)確定最小的根據(jù)題意應(yīng)確定最小的x使使成立由棣莫弗成立由棣莫弗拉普拉斯定理，有拉普拉斯定理，有%95 xP )1(260260)1(260260pppxpppPxP )1(260260(pppx )1(260,260(pppN 3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.2 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似二項(xiàng)分布的正態(tài)近似【例例3.24】某單位內(nèi)部有某單位內(nèi)部有260部電話分機(jī)，每個(gè)分機(jī)有部電話分機(jī)，每個(gè)分機(jī)有4%的時(shí)間要與外線

28、通話，可以認(rèn)為每個(gè)電話分機(jī)用不的時(shí)間要與外線通話，可以認(rèn)為每個(gè)電話分機(jī)用不同的外線是相互獨(dú)立的，問總機(jī)需備多少條外線才能以同的外線是相互獨(dú)立的，問總機(jī)需備多少條外線才能以95%的概率滿足每個(gè)分機(jī)在用外線時(shí)不用等候的概率滿足每個(gè)分機(jī)在用外線時(shí)不用等候?解：解：應(yīng)確定最小的應(yīng)確定最小的x使使u令令 查得查得%95 xP )1(260260)1(260260pppxpppPxP )1(260260(pppx %,95)1(260260( pppx95. 09505. 0)65. 1( 3.6 中心極限定理中心極限定理3.6.2 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似二項(xiàng)分布的正態(tài)近似【例例3.24】某單位內(nèi)部有某單位內(nèi)

29、部有260部電話分機(jī)，每個(gè)分機(jī)有部電話分機(jī)，每個(gè)分機(jī)有4%的時(shí)間要與外線通話，可以認(rèn)為每個(gè)電話分機(jī)用不的時(shí)間要與外線通話，可以認(rèn)為每個(gè)電話分機(jī)用不同的外線是相互獨(dú)立的，問總機(jī)需備多少條外線才能以同的外線是相互獨(dú)立的，問總機(jī)需備多少條外線才能以95%的概率滿足每個(gè)分機(jī)在用外線時(shí)不用等候的概率滿足每個(gè)分機(jī)在用外線時(shí)不用等候?令令 查得查得u故取故取u于是于是%,95)1(260260( pppx95. 09505. 0)65. 1( 65. 1)1(260260 pppxpppx260)1(26065. 1 61.1504. 026096. 004. 026065. 1 所以需要所以需要16條外線

30、！條外線！3.6中心極限定理中心極限定理【吸煙率調(diào)查問題解答吸煙率調(diào)查問題解答】某衛(wèi)生組織為確定某城市成年男子的吸煙率某衛(wèi)生組織為確定某城市成年男子的吸煙率p，將被調(diào)，將被調(diào)查的成年男子中吸煙的頻率作為查的成年男子中吸煙的頻率作為p的估計(jì)，現(xiàn)在要保證的估計(jì)，現(xiàn)在要保證有有90%以上的把握，使得調(diào)查對(duì)象吸煙者的頻率與該城以上的把握，使得調(diào)查對(duì)象吸煙者的頻率與該城市成年男子的吸煙率市成年男子的吸煙率p之間的差異不大于之間的差異不大于5%，問至少要，問至少要調(diào)查多少對(duì)象？調(diào)查多少對(duì)象？解：解：設(shè)共調(diào)查設(shè)共調(diào)查n個(gè)成年男子，記個(gè)成年男子，記u則則Xi獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布un個(gè)調(diào)查對(duì)象中吸煙的人數(shù)個(gè)調(diào)查

31、對(duì)象中吸煙的人數(shù)., 2 , 1, 1niiiXi 個(gè)個(gè)成成年年男男子子不不吸吸煙煙，第第，個(gè)個(gè)成成年年男男子子吸吸煙煙，第第0 0),(1pnBXXnii 3.6 中心極限定理中心極限定理【吸煙率調(diào)查問題解答吸煙率調(diào)查問題解答】要保證有要保證有90%以上的把握，使得調(diào)查對(duì)象吸煙者的頻率以上的把握，使得調(diào)查對(duì)象吸煙者的頻率與該城市成年男子的吸煙率與該城市成年男子的吸煙率p之間的差異不大于之間的差異不大于5%，問，問至少要調(diào)查多少對(duì)象？至少要調(diào)查多少對(duì)象？解：解：吸煙的人數(shù)為吸煙的人數(shù)為X，則有，則有u由大數(shù)定理知，當(dāng)由大數(shù)定理知，當(dāng)n很大時(shí)，頻率很大時(shí)，頻率X/n與概率與概率p很接近，很接近，可用頻率作為可用頻率作為p的估計(jì)的估計(jì)依題意，要保證依題意，要保證u而而),(1pnBXXnii 0