自動控制課件第4章根軌跡

1、14.5 廣義（參數(shù)）根軌跡前面討論的都是以系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益 為參數(shù)的根軌跡，實際上，也可以繪制除 以外的任何參變量的根軌跡。 在繪制廣義根軌跡時可將閉環(huán)特征方程式進行等效變換，寫成類似標準形式。將特征方程式變換：2例7：設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中開環(huán)增益可自行選定。試分析時間常數(shù) 對系統(tǒng)性能的影響。解：閉環(huán)特征方程要繪制參數(shù)根軌跡，首先要求出等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點3例8 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制以a為參變量的參數(shù)根軌跡的大致圖形4解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)P116 例題4.9 已知具有兩個負反饋回路系統(tǒng)如圖所示，試以反饋系數(shù)為參變量 繪制根軌跡。將特征方程式變換：5求分

2、離點或會合點6可以證明，該系統(tǒng)的根軌跡是一段以原點為圓心，半徑為3的圓弧。71.增加開環(huán)極點： 重心向右移，相對穩(wěn)定性變差。2.增加開環(huán)零點： 重心向左移，相對穩(wěn)定性變好。4.6 增加開環(huán)零極點對根軌跡的影響83.增加開環(huán)偶極子： 在原點附近增加開環(huán)偶極子，系統(tǒng)的動態(tài)性能變化不大，穩(wěn)態(tài)性能得到提高。根軌跡局限: (1)無閉環(huán)零點信息 (2)表達穩(wěn)態(tài)誤差不直觀910(1) 附加適當?shù)拈_環(huán)零點可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設開環(huán)傳遞函數(shù)為 是附加的開環(huán)實數(shù)零點，其值可在s左半平面內(nèi)任意選擇，當 時，表明不存在有限零點。令 為不同的數(shù)值，對應的根軌跡見P.118 圖4-17所示：（a）無開環(huán)零點；（b） ；

3、（c）（d）1、附加開環(huán)零點的作用1112(2) 附加開環(huán)零點的目的，除了改善系統(tǒng)穩(wěn)定性之外，還可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。結論：只有當附加零點相對原有系統(tǒng)開環(huán)極點的位置選配適當，才有可能使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能同時得到明顯的改善。13 應用根軌跡法，可以迅速確定出系統(tǒng)在某一可變參數(shù)值下的閉環(huán)零、極點位置，得到相應的閉環(huán)傳遞函數(shù)。根據(jù)閉環(huán)零極點分布，確定（估計）系統(tǒng)的性能。1.閉環(huán)零極點分布與單位階躍響應的定性分析設閉環(huán)傳遞函數(shù)：4-7 用根軌跡分析系統(tǒng)性能14結論（1）Sk都具有負實部（在S左半平面），系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）Sk遠離虛軸， 衰減快，上升快，調(diào)整短。（3）Sk共軛極點位于射線 ，超調(diào)量小

4、。（4）Ak小，動態(tài)過程短，15已知系統(tǒng)的閉環(huán)零點、極點定性地分析或定量地估算系統(tǒng)的性能。閉環(huán)零極點與時間響應的關系 設系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)極點單位階躍響應近似結果主導極點非主導極點162. 閉環(huán)主導極點與閉環(huán)偶極子閉環(huán)主導極點（一個或一對）：在閉環(huán)極點中離虛軸最近，而且附近無零點、極點，對穩(wěn)定系統(tǒng)動態(tài)性能的影響最大，起著主要作用。系統(tǒng)降階（一、二階）。閉環(huán)偶極子：閉環(huán)極點和零點相距最近。影響小忽略。17閉環(huán)極點閉環(huán)零點一對偶極子實數(shù)偶極子 、復數(shù)偶極子。如果這對偶極子不十分靠近坐標原點和其他極點，則它們對動態(tài)性能的影響可以忽略不計。 偶極子 一對相距很近的閉環(huán)零點、極點。18如果偶極子

5、十分接近原點，即因此，靠近坐標原點的偶極子對動態(tài)性能的影響必須考慮。偶極子的確定：閉環(huán)零、極點之間的距離比它們到其他極點的距離及其自身的模值小一個數(shù)量級，這對閉環(huán)零、極點構成偶極子。19閉環(huán)傳遞函數(shù)單位階躍輸入的響應：203.主導極點法估算系統(tǒng)性能從閉環(huán)零、極點分布，系統(tǒng)性能的定量估算錯誤簡化后21P123例4.11（1）根軌跡圖見P1021.3例4.1，穩(wěn)定范圍：0K322P124例4.12P124例4.13(閉環(huán)偶極子，相消)23系統(tǒng)性能的定性分析 了解閉環(huán)零點和閉環(huán)實數(shù)主導極點對系統(tǒng)性能的影響非常重要。 取Td0.824閉環(huán)零點的存在，將使得系統(tǒng)的峰值時間提前，這相當與減少了閉環(huán)系統(tǒng)的阻

6、尼，從而使得系統(tǒng)的超調(diào)量加大。25（4）調(diào)節(jié)時間：主要取決于閉環(huán)復數(shù)主導極點的實部絕對值 ，如果是實數(shù)極點距虛軸最近，附近沒有實數(shù)零點，取決于該極點的模值。（1）穩(wěn)定性：閉環(huán)極點全部位于左半S平面系統(tǒng)穩(wěn)定性與閉環(huán)極點有關，與閉環(huán)零點無關。（2）運動形式：閉環(huán)系統(tǒng)無零點，且閉環(huán)極點均為實數(shù)，時間響應一定是單調(diào)的；若閉環(huán)極點均為復數(shù)，時間響應一般是振蕩的。（3）超調(diào)量：超調(diào)量主要取決于閉環(huán)復數(shù)主導極點的衰減率 并與其它閉環(huán)零、極點接近坐標的程度有關。閉環(huán)系統(tǒng)零、極點位置對時間響應性能指標的影響，歸納為：26（5）實數(shù)零、極點影響：零點減小系統(tǒng)阻尼，使得峰值時間提前，超調(diào)量增大；實數(shù)極點增大系統(tǒng)阻尼

7、，使峰值時間推遲，超調(diào)量減小。（6）偶極子及其處理。遠離原點及其他極點的偶極子，其影響可以忽略；但靠近原點的偶極子，其影響必須考慮。（7）主導極點。比主導極點的實部大6倍以上的其它閉環(huán)零、極點，其影響可以忽略。27習題4-9 設反饋控制系統(tǒng)中 要求：(1)概略繪出系統(tǒng)根軌跡圖，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；(2)如果改變反饋通路傳遞函數(shù)，使 ，試判斷 改變后的系統(tǒng)穩(wěn)定性，研究由于 改變所產(chǎn)生的效應。 28-4系統(tǒng)始終不穩(wěn)定！29時穩(wěn)定304-15 設系統(tǒng)如圖所示，試作閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡，并分析K值變化對系統(tǒng)在階躍擾動作用下響應c(t)的影響。310k1系統(tǒng)穩(wěn)定，c(t)振蕩收斂4-15: (1)繪制 系統(tǒng)根軌跡圖開環(huán)傳遞函數(shù)為實軸上根軌跡：(- ,0根軌跡與虛軸交點：由閉環(huán)特征方程列勞思表當 K*=1時，勞思表中出現(xiàn)全零行由輔助方程得根軌跡與虛軸交點處324-14 設控制系統(tǒng)如圖所示，其中Gc(s)為改善系統(tǒng)性能而加入的校正裝置。若Gc(s)可從 三種傳遞函數(shù)中任選一種，你選擇哪一種？為什么？3334主導極點離虛軸太近！35作業(yè) P1251294.2、 4.5（1） 4.74.10、4.12、 4.14（1）4.15、4.16、 4.1936P125 習題4.2用解析法繪制根軌跡圖37P126 習題4.5(1)會合點（分離點）求出射角：38P126