兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)和距離公式

1、解析幾何解析幾何3.3.1兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)復(fù)習(xí)提問(wèn)：復(fù)習(xí)提問(wèn)：1.1.設(shè)直線設(shè)直線l1 1、 l2 2的方程分別為的方程分別為 l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0，l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0，在什，在什么條件下有么條件下有l(wèi)1 1/l2 2？1221122112210,0(0)ABABCACBCBC且A或2.2.設(shè)直線設(shè)直線l1 1、 l2 2的方程分別為的方程分別為 l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0，l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0，在什

2、，在什么條件下有么條件下有l(wèi)1 1l2 2？A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0=0練習(xí)：課本練習(xí)：課本109頁(yè)頁(yè)2，3直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)xy直線的方程就是直線上直線的方程就是直線上每一點(diǎn)坐標(biāo)每一點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足滿(mǎn)足的一個(gè)的一個(gè)關(guān)系式關(guān)系式lP(x,y)230 xy1 5(1)點(diǎn)（ ，）在直線上嗎？2 7(2)點(diǎn)（ ，）在直線上嗎？3 8(3)點(diǎn)（ ， ）在直線上嗎？?,0 : 0: 22221111的坐標(biāo)如何求這兩條直線交點(diǎn)相交已知兩條直線CyBxAlCyBxAl11122200AxB yCA xB yC利用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，能否判斷兩條利用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，能否判斷兩條直線的

3、位置關(guān)系？直線的位置關(guān)系？11122200A xB yCA xB yC將兩條直線的方程聯(lián)立將兩條直線的方程聯(lián)立方程組有唯一解方程組有唯一解方程組無(wú)解方程組無(wú)解兩條直線相交兩條直線相交兩條直線平行兩條直線平行方程組有無(wú)數(shù)解方程組有無(wú)數(shù)解兩條直線重合兩條直線重合 例例1：判斷下列直線的位置關(guān)系。：判斷下列直線的位置關(guān)系。如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)1:0lxy2:33100lxy（1）解：解方程組解：解方程組033100 xyxy5353xy得得直線直線l1與與l2的交點(diǎn)是的交點(diǎn)是5 5( , )3 3M12kk12ll 和 相交1: 3440lxy2:6210lxy （2）解

4、：解：34406210 xyxy 另一方面另一方面無(wú)解無(wú)解1234kk12bb所以所以l1/l2直線直線l1與與l2的無(wú)交點(diǎn)的無(wú)交點(diǎn)所以所以l1/l21: 3450lxy2:68100lxy（3）2: 3450lxy直線直線l1與與l2重合重合例2：求直線3x+4y2=0和2x+y+2=0的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，并證明方程3x+4y2+（2x+y+2）=0（為任意常數(shù)）表示過(guò)M點(diǎn)的所有直線（不包括直線2x+y+2=0）。證明：聯(lián)立方程3x+4y2=02x+y+2=0解得：x=-2y= 2代入：3x+4y2+（2x+y+2）= 0得 0+0=0M點(diǎn)在直線上A1x+B1y+C1+（ A2x+B2y+C2）

5、=0是過(guò)直A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程。M（-2，2）即oxy(-2, 2)M直線系方程的定義直線系方程的定義直線系：直線系：具有某種共同性質(zhì)的所有具有某種共同性質(zhì)的所有直線的集合直線的集合. .它的方程叫它的方程叫直線系方程。直線系方程。練習(xí)1：求經(jīng)過(guò)兩條直線x+2y1=0和2xy7=0的交點(diǎn)，且垂直于直線x+3y5=0的直線方程。解法一：解方程組x+2y1=0，2xy7=0得x=3y= 1這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1）又直線x+2y5=0的斜率是1/3所求直線的斜率是3所求直線方程為y+1=3（x3）即 3xy10=0解法二：所求直線在直線系2x

6、y7+（x+2y1）=0中經(jīng)整理，可得（2+）x+（21）y7=0 =32+21解得 = 1/7因此，所求直線方程為3xy10=0直線系方程的應(yīng)用直線系方程的應(yīng)用: :直線系方程的應(yīng)用直線系方程的應(yīng)用: :練習(xí)練習(xí)2. 求證：無(wú)論求證：無(wú)論m m取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒過(guò)定點(diǎn)，恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。0) 1yx(m11y3x解法解法1： 將方程變?yōu)椋簩⒎匠套優(yōu)椋航獾茫?1yx011y3x25y27x即：故直線恒過(guò)故直線恒過(guò)25,27練習(xí)練習(xí)2. 求證：無(wú)論求證：無(wú)論m m取

7、何實(shí)數(shù)時(shí)，直線取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒過(guò)定點(diǎn)，恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。014x4010y4解法解法2：令令m=1，m= -3代入方程，得：代入方程，得：25y27x解得：解得：25y27x解得：解得：所以直線恒過(guò)定點(diǎn)所以直線恒過(guò)定點(diǎn)25,27又因?yàn)橛忠驗(yàn)? 2.5( (m-1)- m-1)- 3.5(m+3)-(m-11)=0(m+3)-(m-11)=0若證明一條直線恒過(guò)定點(diǎn)或求一條直線必若證明一條直線恒過(guò)定點(diǎn)或求一條直線必過(guò)定點(diǎn)，通常有兩種方法：過(guò)定點(diǎn)，通常有兩種方法：方法小結(jié)：方法小結(jié)：

8、 法二：從特殊到一般，先由其中的兩條特法二：從特殊到一般，先由其中的兩條特殊直線求出交點(diǎn)，再證明其余直線均過(guò)此殊直線求出交點(diǎn)，再證明其余直線均過(guò)此交點(diǎn)。交點(diǎn)。法一法一: :分離系數(shù)法，即將原方程改變成：分離系數(shù)法，即將原方程改變成：f(x, y)+mg(x,yf(x, y)+mg(x,y)=0)=0的形式，此式的成立與的形式，此式的成立與m m的取值無(wú)關(guān)，故從而解出定點(diǎn)。的取值無(wú)關(guān)，故從而解出定點(diǎn)。兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)間距離公式xyP1(x1,y1)P2(x2, y2)Q(x2,y1)O221| |PQyy121| |PQxxx2y2x1y1兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)間距離公式xyP1(x1,y1)P2

9、(x2,y2)Q(x2,y1)O22122121|()()PPxxyy221| |PQyy121| |PQxx兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)間距離公式xyP (x,y)O(0,0)22|OPxy|y|x|數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合.|,|,),7, 2(),2 , 1( 3的值并求得使軸上求一點(diǎn)在已知點(diǎn)例PAPBPAPxBA解：設(shè)所求點(diǎn)為解：設(shè)所求點(diǎn)為P(x,0)，于是有，于是有11114x4xx x) )7 7(0(02)2)(x(x| |PBPB| |5 52x2xx x2)2)(0(01)1)(x(x| |PAPA| |2 22 22 22 22 22 211114x4xx x5 52x2xx x 得得| |

10、PBPB| | |PAPA| |由由2 22 2解得解得x=1，所以所求點(diǎn)，所以所求點(diǎn)P(1,0)222 22 22)2)(0(01)1)(1(1| |PAPA| |例例4.4.證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和。角線的平方和。證明：以證明：以A A為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，ABAB為為x x軸軸 建立直角坐標(biāo)系。建立直角坐標(biāo)系。xyABCD(0,0)(a,0)(b,c)(a+b,c)則四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為則四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)22|ABa22

11、|CDa222|()ACabc222|ADbc222|BCbc222|()BDbac2222222|2()ABCDADBCabc22222|2()ACBDabc222222|ABCDADBCACBD因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和。的平方和。坐標(biāo)法坐標(biāo)法第二步第二步: :進(jìn)行有進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算關(guān)代數(shù)運(yùn)算第三步第三步: :把代數(shù)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果翻譯成運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系。幾何關(guān)系。第一步第一步: :建立坐建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量示有關(guān)的量。第一步：建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；第一步：建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)

12、的量；第二步：進(jìn)行有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算；第二步：進(jìn)行有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算；第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”所幾何關(guān)系所幾何關(guān)系. .作業(yè)作業(yè)nA：小結(jié)：小結(jié)nB：P106 練習(xí)練習(xí)2題題 兩條直線的交點(diǎn)兩條直線的交點(diǎn)幾何元素及關(guān)系幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示代數(shù)表示點(diǎn)點(diǎn)A直線直線l點(diǎn)點(diǎn)A在直線在直線l上上直線直線l1與與l2的交點(diǎn)是的交點(diǎn)是A( , )A a b:0lAxByC:0lAaBbCA A的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程A A的坐標(biāo)是方程組的解的坐標(biāo)是方程組的解11122200AxB yCA xB yC已知平面上兩點(diǎn)已知平面上兩點(diǎn)P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )， P

13、 P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )，如何求，如何求P P1 1 P P2 2的距離的距離| P| P1 1 P P2 2 | |呢呢? ?兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離Q(x(x2 2,y,y1 1) )22| :),(,yxOPyxPO的距離與任一點(diǎn)原點(diǎn)特別地21221221)()(|yyxxPPyxoP1P2(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2,y,y2 2) )兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離yxoP1P2yxoP2P1|1221xxPP|1221yyPP例例4、證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角、證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和。線的平方和。yxo(b,

14、c)(a+b,c)(a,0)(0,0)解：如圖，以頂點(diǎn)解：如圖，以頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，AB所在直線為所在直線為x軸，建立軸，建立直角坐標(biāo)系，則有直角坐標(biāo)系，則有A(0,0)設(shè)設(shè)B(a,0),D(b,c),由平行四邊形由平行四邊形的性質(zhì)可得的性質(zhì)可得C(a+b,c)2 22 22 22 2a a| |CDCD| | , ,a a| |ABAB| |2c2 22 22 22 22 2b b| |BCBC| | , ,c cb b| |ADAD| |2 22 22 22 22 22 2c ca)a)- -(b(b| |BDBD| | , ,c cb)b)(a(a| |ACAC| |2 22 22 22 22 22 2| |BDBD| | |ACAC| | |BCBC| | |ADAD| | |CDCD| | |AB