數(shù)學(xué)建模講座(一)什么是數(shù)學(xué)建模？

1、數(shù)學(xué)建模講座第一講第一講 什么是數(shù)學(xué)模型什么是數(shù)學(xué)模型玩具、照片 實(shí)物模型實(shí)物模型風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型物理模型地圖、電路圖 符號(hào)模型符號(hào)模型模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物。模型模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見(jiàn)的模型什么是數(shù)學(xué)模型什么是數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型“航行問(wèn)題航行問(wèn)題” 甲乙兩地相距750 公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0 小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50 小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少。用x表示船速，y表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx求解得到 x=20, y=

2、5,答：船速每小時(shí)答：船速每小時(shí)2020公里公里航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號(hào)表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）； 回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20公里）。數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型: :對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象對(duì)象，為了一個(gè)特定目的目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具，得到的一

3、個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)建模：建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程全過(guò)程（包括建立、求解、分析、檢驗(yàn)）。數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 的的 重重 要要 意意 義義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)如虎添翼如虎添翼知識(shí)經(jīng)濟(jì)建模示例 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)？問(wèn)題椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？1.椅子四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面接觸處可視為一個(gè)點(diǎn)，四腳的連線呈正方形；2.地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷（沒(méi)有像臺(tái)階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面；3.對(duì)于椅腳的間距和椅腿的長(zhǎng)度

4、而言，地面是相對(duì)平坦的，使椅子的任何位置至少有三只腳同時(shí)著地。模型假設(shè)ABCDtABCDOx模型構(gòu)成椅腳連線為正方形ABCD(如右圖)。t 椅子繞中心點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角度f(wàn)(t)A,C兩腳與地面距離之和g(t)B,D兩腳與地面距離之和 f(t), g(t) 0模型構(gòu)成由假設(shè)1，f和g都是連續(xù)函數(shù)由假設(shè)3，椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地：對(duì)任意t ，f(t)和g(t)中至少有一個(gè)為0。當(dāng)t=0時(shí),不妨設(shè)g(t)=0,f(t)0,原題歸結(jié)為證明如下的數(shù)學(xué)命題：已知f(t)和g(t)是t的連續(xù)函數(shù),對(duì)任意t, f(t) g(t)=0,且g(0)=0,f(0)0。則存在t0，使f(t0)= g(t0)=0

5、模型求解OxABCDABCDt最后，因?yàn)閒(t) g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。令h(t)= f(t)-g(t),則h(0)0和h( ) 0，由f和g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在t0 （0t00可知g( )0,f( )=022建模示例建模示例 商人們?cè)鯓影踩^(guò)河商人們?cè)鯓影踩^(guò)河問(wèn)題(智力游戲) 3名商人 3名隨從河小船(至多2人)隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析多步?jīng)Q策過(guò)程決策決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求要求在安全的前提下(兩

6、岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河模型構(gòu)成xk第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)過(guò)程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合uk第k次渡船上的商人數(shù)vk第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S按按轉(zhuǎn)移律轉(zhuǎn)移律由由s1=(3,3)到達(dá)

7、到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問(wèn)題模型求解xy3322110 窮舉法 編程上機(jī)圖圖解解法法狀態(tài)s=(x,y) 16個(gè)格點(diǎn) 10個(gè) 點(diǎn)允許決策D 移動(dòng)1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考表格化方法表格化方法, , 易于推廣易于推廣考慮考慮4名商人各帶一隨從的情況名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)SS=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2D=(u , v) u+v=1, 2 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10

8、20 30 40 50 60世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995人口(億) 3 4.7 6 7 10.1 11.3 12研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)控制人口過(guò)快增長(zhǎng)建模示例建模示例 如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型常用的計(jì)算公式kkrxx)1 (0馬爾薩斯（1766-1834）提出的指數(shù)增長(zhǎng)模型(1798)x(t) 時(shí)刻t人口r 人口(相對(duì))增長(zhǎng)率(常數(shù))ttrxtxttx)()()(今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率 rk年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0

9、trx)1 (0隨著時(shí)間增加人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)隨著時(shí)間增加人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性 與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律 不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長(zhǎng)模型 (Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假定：) 0,()(srsxrxrr固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)1 ()(mxx

10、rxrr是x的減函數(shù)mxrs 0)(mxr阻滯增長(zhǎng)模型 (Logistic模型)rxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110 tx0 x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2模型的參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或 r, xm 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位百萬(wàn)）1790 1800 1810 1820 1830 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 150.7 179.3 204.0 226.5r=0.207

11、2, xm=464 專(zhuān)家估計(jì)模 型 檢 驗(yàn)用模型預(yù)報(bào)1990年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較/ )1980(1)1980()1980()1980()1990(mxxrxxxxx實(shí)際為251.4 (百萬(wàn))5 .250)1990(x模 型 應(yīng) 用人 口 預(yù) 報(bào)用美國(guó)17901990年人口數(shù)據(jù)重新估計(jì)參數(shù)r=0.2083, xm=457.6x(2000)=275.0 x(2010)=297.9Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)基本方法機(jī)理分析機(jī)理分析測(cè)試分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將研究對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究 (Case Studies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析二者結(jié)合二者結(jié)合 機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),測(cè)試分析確定模型參數(shù) 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 的的 一一 般般 步步 驟驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型