計算機控制技術(shù)第7章ppt課件(全)

1、第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法7.1數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法7.2最小拍有波紋控制系統(tǒng)的設(shè)計7.3Z變換7.47.5 最小拍無波紋控制系統(tǒng)的設(shè)計 控制算法在計算機上的實現(xiàn)1/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法2/577.1 Z變換 線性系統(tǒng)的動態(tài)特性可用常系數(shù)線性微分方程來描述，并且可以用拉氏變換來分析它的暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)控制精度。計算機控制系統(tǒng)屬于離散系統(tǒng)，輸入與輸出之間的關(guān)系可用差分方程來描述，用Z變換解差分方程，用脈沖傳遞函數(shù)對離散系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)進行分析。Z變換是研究離散系統(tǒng)的重要數(shù)學工具。7.1.1 采樣函數(shù)的拉氏變換（7-1）（7-2）第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法3/

2、577.1.2 采樣函數(shù)的Z變換 式(7-2)中，s在指數(shù)里，給運算帶來許多困難。為此引進新的復變量z，令 z=eTs于是，式(7-2)變?yōu)镕(z)稱為采樣函數(shù) 的Z變換，記作： 一般，采樣函數(shù)的變量直接采用k表示，即 ，記作 ，所以 （7-3）（7-4）注意以下幾點：第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法4/57（1） 只有采樣函數(shù) f*(t)才能定義Z變換。（2） Z變換和離散序列之間有著非常明確的“幅值”和“定時”對應(yīng)關(guān)系。（3） Z變換由采樣函數(shù)決定的，它反映不了非采樣時刻的信息。 在圖7-1中 ， f(t)與g(t) 是兩個不同的連續(xù)函數(shù)，但是由于f*(t) 和 g*(t)相等，所以F(

3、z) 等于G(z) 。 0圖7-1 采樣值相同的兩個不同的連續(xù)函數(shù)第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法5/57解 令 f(t)=l(t)，則當|z|1 時，上式所示的無窮級數(shù)收斂（7-8） 由于Z變換僅是描述采樣時刻的特性，所以Z的反變換只能求出采樣函數(shù)脈沖序列的表達式，而不能求出它的連續(xù)函數(shù)的時間表達式。與連續(xù)函數(shù)的拉氏反變換表示法類似，Z反變換用如下符號表示例7-1 求單位階躍函數(shù)1(t)的Z變換。第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法6/5711表7-1 常用函數(shù)Z變換表第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法7/577.1.3 Z變換的性質(zhì)1線性定理 對于任何常數(shù) 和 ，若 ，有等式（7-9） 2

4、. 延遲定理 若則 即離散信號在時域內(nèi)延遲T，則其Z變換應(yīng)乘以z-1，所以z-1可看作是滯后一個采樣周期的算子。3. 超前定理若則（7-11）（7-10）第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法8/57特殊地，如果初始值為零，即（7-12） 由此，可以進一步明確算子 的物理意義：在滿足初始條件為零的前提下， 代表超前一個采樣周期。4. 復位移定理（7-13）5. 復微分定理（7-14）6. 初值定理若則（7-15）第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法9/577. 終值定理若則（7-16） 序 號 名 稱性 質(zhì)1線性定理2延遲定理3超前定理4復位移定理5復微分定理6初值定理7終值定理表7-2 Z變換重要

5、性質(zhì)第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法10/577.1.4 用Z變換解線性常系數(shù)差分方程1. 差分方程 在連續(xù)控制系統(tǒng)中遇到的都是連續(xù)信號，描述它們的內(nèi)在規(guī)律采用微分方程。設(shè)系統(tǒng)原為一階環(huán)節(jié)，其微分方程形式的數(shù)學模型為傳遞函數(shù)為（7-17）如圖7-2（a）所示。（a）（b）圖7-2 連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法 代入式(7-17)，即得或（7-18）即 即為所求的離散系統(tǒng)的差分方程。2. 用Z變換法解線性常系數(shù)差分方程例 7-5 用Z變換解下列差分方程 解的過程是先將差分方程經(jīng)Z變換后成為Z的代數(shù)方程，然后 求出未知序列的Z表達式C(z) ,最后查Z變換表或用其它方法求

6、得11/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法初始條件為：解 對上式進行Z變換得代入初始條件，并解得查表得7.1.5 Z反變換 1長除法 在“t”域中的采樣函數(shù)f*(t)和“Z”域中的Z變換F(z)之間，有著明確的一一對應(yīng)關(guān)系。因此，只要將 F(z)的解析式展開成關(guān)于12/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法z-1的冪級數(shù)，則F(z)中相應(yīng)于z-k的系數(shù)，就是f*(t)在第k個采樣時刻的值f(k) 。例7-6 設(shè) ,求f*(t)解13/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法所以可見2部分分式展開法解 F(z)的特征方程式為可見特征方程無重根，設(shè)所以 例 7-7 求 的Z反變換14/57第7章

7、 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法故其反變換為 也可寫為 式中 3. 留數(shù)法 實際遇到的Z變換式F(z)，除了有理分式外，也可能是超越函數(shù)，此時可以用留數(shù)法求Z反變換比較合適。對有理分式也使用。已知Z變換式F(z)，F(xiàn)(z)的Z反變換f(kT)值，可由下式計算（7-19）15/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法 其中的積分曲線C是包圍原點的反時針封閉曲線，它包圍F(z)zk-1 所有的極點。根據(jù)柯西留數(shù)定理，上式可以表示為（7-20） n表示極點個數(shù)，pi表示第i個極點。即f(kT)等于F(z)zk-1的全部極點的留數(shù)之和。（7-21）所以7.1.6 擴展Z變換 前面各節(jié)所討論的Z變換，只處理采

8、樣時刻的信息，無法求出控制系統(tǒng)的輸出量或某個環(huán)節(jié)的輸出量在兩次采樣之間的過渡過程；另外，控制對象往往包含延遲環(huán)節(jié)，如果延遲時間是采樣周期的整數(shù)倍，可以借助延遲定理處理。但是16/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法如果延遲時間不是采樣周期的整數(shù)倍，前面介紹的Z變換法也就無能為力了。所以有必要對Z變換進行改進，這就是擴展Z變換。 1對象具有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的Z變換 這里所討論的具有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，是指延遲環(huán)節(jié)的延遲時間不是采樣周期的整數(shù)倍的系統(tǒng)。 例7-10 求圖所示系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。T圖7-4 例7-10的系統(tǒng)圖解 現(xiàn)在求17/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法 由于l=0.3，所以

9、m=0.7 ，因此是求 ， ，m=0.7的擴展Z變換，可查表，從而所以 2連續(xù)環(huán)節(jié)采樣時刻之間的輸出 為了求取采樣瞬間之間的信息，在輸出端加上一個假想的延遲環(huán)節(jié)e-lTs如圖7-5所示，使輸出c(t)產(chǎn)生延遲，成為c(t-lT)，于是在采樣時刻得到的信號，不再是A、B、.點的值c(T)、c(2T)、 ，而是對應(yīng)于 的值，顯然是輸出信號在采樣瞬間之間的信息。若延遲時間 改為 ，則可獲得 、 、的信息如圖7-6所示。當 從0變到1時，則可以獲得采樣瞬間的全部信息。18/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法TT圖7-5 例7-5計算采樣瞬間之間的輸出響應(yīng)的方塊圖CBAt3T2TT0（a）沒有延遲(

10、b)產(chǎn)生延遲圖7-6 輸出 產(chǎn)生延遲19/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法20/577.2 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法7.2.1 離散化設(shè)計方法 所謂數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法，是指從被控對象的特性出發(fā)，把計算機控制系統(tǒng)變成純粹的離散系統(tǒng)，直接根據(jù)采樣系統(tǒng)理論來設(shè)計數(shù)字控制器，這種方法稱為離散化設(shè)計方法，也稱為直接設(shè)計方法。與之對應(yīng)的模擬化設(shè)計方法也稱為間接設(shè)計方法。7.2.2 離散化設(shè)計法的基本原理 假設(shè)被控對象的傳遞函數(shù)為： ，零階保持器的傳遞函數(shù)為： ，廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為： ，數(shù)字控制器為： ，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為： 。系統(tǒng)的標準框架如圖7-8所示。第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)

11、計方法圖7-8 采樣控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖則，閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：（7-27） 系統(tǒng)的設(shè)計目標，是設(shè)計一個數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù) D(z)，利用它來控制被控對象，達到期望的性能指標。由 解得 為（7-28）21/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法7.2.3 設(shè)計步驟 設(shè)計步驟如下： （1）求廣義被控對象的脈沖傳遞函數(shù) 。 （2） 根據(jù)系統(tǒng)的性能指標要求以及實現(xiàn)的約束條件構(gòu)造閉環(huán)脈 沖傳遞函數(shù) 。 （3） 確定數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù) 。 （4） 由 確定控制算法并編制程序。7.2.4 系統(tǒng)的性能指標 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)決定著系統(tǒng)的性能，而性能可以用性能指標來描述，性能指標就是系統(tǒng)性能的量的

12、度量。因此說，數(shù)字控制器能夠改變系統(tǒng)性能的根本原因就在于它改變了對象的特性，即改變了對象的數(shù)學模型，從而改變了性能指標。 將系統(tǒng)的性能指標描述成：22/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法7.3 最小拍有波紋控制系統(tǒng)設(shè)計 最小拍系統(tǒng)，是指系統(tǒng)在典型的輸入信號作用下能在最少個采樣周期內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)無靜差的系統(tǒng)。23/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法7.3.1 確定閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) WB(z)的方法假定廣義被控對象的脈沖傳遞函數(shù) W1(z)是穩(wěn)定的，滿足如下的三個假設(shè)條件：（1）在z單位圓上或圓外極點，而且沒有純滯后。（2）在z單位圓上或圓外無零點。（3）沒有純滯后。對最小拍系統(tǒng)設(shè)計性能指標要

13、求為：1.由準確性要求確定WB(z) 偏差的Z變換為：（7-29）從Z變換終定理，得出：（7-30） 由此無穩(wěn)態(tài)誤差的條件是上式為零。要想求出 ，還和輸入信號的性質(zhì)有關(guān)，下面我們分析計算不同的輸入信號R(z)時的WB(z)。24/57WB(z)。第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法 1）單位階躍輸入（7-31）很明顯，時，上式等于零，由此得出無穩(wěn)態(tài)誤差的條件為：（7-32）現(xiàn)在考察穩(wěn)態(tài)誤差：由上式可知，誤差只差一拍，即調(diào)整時間為一個采樣周期 T，在25/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法 第二個采樣周期以后誤差恒等于零。單位階躍輸入時誤差的波形如圖7-9所示，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖7-10所示。

14、 2）單位速度輸入圖7-9 單位階躍輸入時誤差的波形（7-33）26/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法當時，上式為零，得出無穩(wěn)態(tài)誤差的條件為（7-34）此時e(t)誤差 的Z變換為：單位速度輸入時誤差的波形如圖7-3所示。圖7-10 單位速度輸入時誤差的波形27/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法 3）單位加速度輸入（7-35）當，上式為零，因此無穩(wěn)態(tài)誤差的條件為：（7-36）此時誤差e(t)的Z變換為：單位加速度輸入時誤差的波形如圖7-11所示。28/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法圖7-11 單位加速度輸入時誤差的波形比較三種典型輸入信號的情況，不難得到：單位階躍輸入 m=

15、1 誤差的傳遞函數(shù) 單位速度輸入 m=2 誤差的傳遞函數(shù) 單位加速度輸入 m=3 誤差的傳遞函數(shù)29/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法30/57閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)WB(z) 由上式求出。它的一般形式為：（7-38）式中，為待定系數(shù)。中多項式的項數(shù)m，與輸入函數(shù)分母中因子的階數(shù)m相等。確定系數(shù)的方程式為：（7-39）第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法2. 由快速性要求確定WB(z) 快速性要求系統(tǒng)以最少的采樣周期達到穩(wěn)態(tài)值，這就要求WB(z)中多項式的項數(shù)盡可能少， WB(z)的項數(shù)與1-WB(z)的項數(shù)是等值的。 因子是用作滿足無穩(wěn)態(tài)偏差條件的，所以不能變動。那么減小1-WB(z)的項數(shù)，

16、就只能減少F(z)多項式的項數(shù)，其最少項數(shù)是F(z)=1 。3. 由穩(wěn)定性要求確定WB(z) 在討論如何確定閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)WB(z)時，一開始為了簡單起見，對廣義被控對象的脈沖傳遞函數(shù)W1(z)加了假設(shè)條件，即在單位圓上（1，0）點除外，或單位圓圓外無零點、極點，還無純滯后環(huán)節(jié)。下面討論這些條件不滿足時，應(yīng)如何確定WB(z) 。（1）為了保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（2） 中有位于單位圓上或圓外的零點（3） 中包括純滯后環(huán)節(jié) 的多次方式31/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法 考慮上述三種情況，WB(z)的一般形式為：（7-42） 式中 為W1(z)在單位圓上圓外的零點， 各項為W1(z)在單位圓上

17、或圓外極點在WB(z)中的反映。Z-N為純滯后環(huán)節(jié)，N為純滯后時間，以上式的系數(shù)可由下式求出：（7-43）32/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法 實際上，這三種情況不一定同時全部存在。當W1(z)沒有純滯后環(huán)節(jié)時?？闪頝=0，z-N=1；當W1(z)中沒有單位圓上或單位圓外極點時， ；如果W1(z)中沒有單位圓上或單位圓外零點時，則 ；如果三種情況都不存在，則 。 7.3.2 最小拍有波紋系統(tǒng)設(shè)計舉例例7-13 已知對象的傳遞函數(shù)為：,采樣周期T=1s，輸入試設(shè)計單位速度輸入時的最小拍有波紋系統(tǒng)。（提示： ， ， ）解：（1）廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)33/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計

18、方法（2）確定閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，m=1由得34/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法（3）控制器D(z)（4）系統(tǒng)的響應(yīng)35/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖7-12所示。圖7-12 系統(tǒng)的響應(yīng)曲線（5）控制量36/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法控制量曲線如圖7-13所示。37/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法圖7-13 控制量曲線例7-14 已知被控對象的傳遞函數(shù)為 ，采樣周期T=0.2秒，試設(shè)計單位階躍輸入時的最小拍有波紋系統(tǒng)。解：（1）廣義被控對象的脈沖傳遞函數(shù)38/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法（2）閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，m=1由得（3）控制

19、器D(z)39/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法40/57（4）系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖7-14所示。圖7-14 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法例7-15 在某計算機控制系統(tǒng)中，被控對象的傳遞函數(shù)由一個積分環(huán)節(jié) 和一個純滯后環(huán)節(jié) 串聯(lián)而成，采樣周期T=1秒。 （1）采用零階保持器法寫出廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)。（2）寫出單位階躍輸入時的最小拍有波紋系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（3）設(shè)計單位階躍輸入時的最小拍有波紋系統(tǒng)數(shù)字控制器。（4）求單位階躍輸入時的最小拍有波紋系統(tǒng)的響應(yīng)。 解：（1）采用零階保持器法寫出廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)（2）閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)41/57第7章

20、數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法，m=1由得（3）控制器D(z)（4）系統(tǒng)的響應(yīng)42/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法7.3.3 最小拍有波紋系統(tǒng)的局限性1. 系統(tǒng)的適應(yīng)性差 最小拍系統(tǒng)數(shù)字控制器的設(shè)計是根據(jù)某類典型輸入信號設(shè)計的，對其他類型的輸入信號就不一定是最小拍，甚至會長生很大的超調(diào)和靜差。2. 對參數(shù)變化靈敏度大 最小拍設(shè)計是在結(jié)構(gòu)和參數(shù)不變的條件下得到的理想結(jié)果，系統(tǒng)在z=0處有多重極點，理論上可以證明，這些z=0的重極點對系統(tǒng)參數(shù)變化的靈敏度可以為無窮大。因此，當系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化是，系統(tǒng)的性能指標受到嚴重影響。3. 控制作用已超出限定范圍43/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計

21、方法4. 在采樣點之間存在波紋7.4 最小拍無波紋控制系統(tǒng)的設(shè)計7.4.1 最小拍系統(tǒng)產(chǎn)生波紋的原因 由于 ，廣義對象W1(z)中穩(wěn)定的零點是控制量 的極點，控制量雖然是穩(wěn)定的，但存在劇烈的振蕩，這樣一個控制量作用在保持器的輸入端，保持器的輸出也會波動，所以，系統(tǒng)的響應(yīng)有波紋。簡單地說，控制量有波動，系統(tǒng)響應(yīng)有波紋。7.4.2 最小拍無波紋系統(tǒng)WB(z)的確定方法 最小拍無波紋系統(tǒng)WB(z)的一般形式為：（7-44）7.4.3 最小無波紋系統(tǒng)設(shè)計舉例例7-16 某計算機控制系統(tǒng)如下圖所示，已知，k=10,Tm=1s，采樣周期T=1s，44/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法試設(shè)計單位階躍輸

22、入時的最小拍無波紋系統(tǒng)。圖7-17 例7-3計算機控制系統(tǒng)（1）采用零階保持器法計算廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)。（2）求系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（3）設(shè)計單位階躍輸入時的最小拍無波紋系統(tǒng)數(shù)字控制器。（4）求控制量。（5）求系統(tǒng)的響應(yīng)。（提示： ， ， ）45/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法解：（1）廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)（2）閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，m=1由得（3）控制器D(z)46/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法（4）控制量控制量曲線如圖7-18所示。47/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法圖7-18 控制量曲線（5）系統(tǒng)的相應(yīng)48/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖7-19所示。圖7-19 系統(tǒng)的響應(yīng)曲線7.5 控制算法在計算機上的實現(xiàn)D(z)可以寫成 z-1有理式：（7-45）程序設(shè)計方法可分為直接程序法、串行程序法和并行程序法。7.5.1 直接程序法 49/57第7章 數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法50/57將上式交叉乘得：（7-46）在零初始條件下，對上式取z反變換：（7-47） 上式表明，計算機得k