1國貿(mào)課件三四單元theory of the firm

1、第三章 廠商理論*三、生產(chǎn)成本追求利潤最大化的廠商，在他所的投入要素市場約束與技術(shù)約束下，最小成本生產(chǎn)。假設(shè)他所的投入要素的市場是完全競爭的，因此他固定的投入要素價格，用 w (w1 , w2 , wn ) 0 代表廠商的投入要素的市場價格。定義等成本線：成本相同的各種要素的組合，等成本線的方程為： w x c0定義 3.5 成本函數(shù)所謂成本函數(shù)是在要素的價格為w (w1 , w2 , wn ) 時，產(chǎn)出水平至少為 y 時的最小成本，即：c(w, y) min wxxst f (x) y該問題的解 x(w, y) 被稱為條件投入需求函數(shù)。1. 成本最小化問題的解法由于生產(chǎn)函數(shù) f (x) 是嚴(yán)

2、格遞增的，所以最優(yōu)解一定在邊界上取得，因此上述成本最小化問題等價于如下問題：c(w, y) min wxxst f (x) y為此，為了求解成本最小化問題，構(gòu)造 Lagrange 函數(shù)：H wx ( y f (x)一階必要條件為：Hx w f 0 i 1, 2, niiiH y f (x) 0- 1 - wjwiwifi fif jwjf j這表明：成本最小化的必要條件是任意兩種要素的邊際替代率等于它們的價格比；或者說，在要素上的支出所帶來的邊際產(chǎn)出相等。可以通過如下的圖形來說明成本最小化問題的解。成本最小化問題的解是等成本線與等產(chǎn)量線的切點(diǎn)。的生產(chǎn)函數(shù) y (x x )1/ ，求該廠商的成本

3、函數(shù)。例題 3.3：設(shè)廠商具有12解：構(gòu)建 Lagrange 函數(shù)：H w x w x y (x x )1/ 1 12 212一階必要條件為：Hx w )1/ 1 0(1)121Hx w )1/ 1 0(2)222H y (x x )1/ 0(3)121wxw（1） 與（2）相除得： 1 ( 1 )1 x ( 1 ) 1 x12wxw222把上式代入（3）中得：- 2 -y (w1/( 1) (w 1 w 1 )1/ 2 212w2由此得條件投入需要函數(shù)： yw1/( 1) (w 1 w 1 )1/ x2212 yw1/( 1) (w 1 w 1 )1/ x1112把它們帶入目標(biāo)函數(shù)中得成本函

4、數(shù)為： y(w 1 w 1 )( 1) / c(w, y) wx w x1 12 212事實(shí)上，廠商理論是消費(fèi)理論的，消費(fèi)者理論可以延伸到廠商理論。廠商的生產(chǎn)函數(shù)對應(yīng)效應(yīng)函數(shù)，成本函數(shù)對應(yīng)支出函數(shù)，條件投入需求對應(yīng)需求函數(shù)。因此如同支出函數(shù)的性質(zhì)，有成本函數(shù)的如下性質(zhì)。定理 3.2 成本函數(shù)的特征（等同于支出函數(shù)的特征）如果生產(chǎn)函數(shù) f (n ) 是連續(xù)的和嚴(yán)格遞增函數(shù)，那么c(w, y) 具有如下的特征：（1）當(dāng) y 0 ， c(w, y) =0；（2）在其定義域上是連續(xù)函數(shù)；（3）對于所有的w 0 ，關(guān)于 y 是嚴(yán)格遞增并且無上界；關(guān)于w 遞增；關(guān)于w 一次；（6）關(guān)于w 是凹函數(shù)；此外，

5、如果 f 是嚴(yán)格擬凹的，在(w0 , y0 )處， c(w, y) 關(guān)于 w 是可微的，那么，總有：c(w0 , y0 ) xi (w , y ) i 1, 2, n 。00（7）shephard 引理：wi這些性質(zhì)的證明與支出函數(shù)性質(zhì)的證明相同。例 3.4：假設(shè)有 C-D 成本函數(shù)：c(w, y) Aw w y ，則由 shephard 引理可以求得條12件需求函數(shù)為：- 3 -c(w, y) ww y 1 x (w, y) A112w1c(w, y) w wy x (w, y) 1A2w121定理 3.3 條件投入需求的性質(zhì)（等同于需求函數(shù)的性質(zhì)）設(shè)生產(chǎn)函數(shù)滿足假設(shè) 3.1，并且相關(guān)的成本

6、函數(shù)是二次連續(xù)可微的，那么：（1） 條件投入需求 x(w, y) 關(guān)于w 是零次的； x1x1w w1n（2） 替代矩陣 * 是對稱與負(fù)半定的； xx n n wwn（3） 其中負(fù)半定意味著： xiwi 0 i（要素的價格上升，對該種要素的需求下降）該定理的證明同需求函數(shù)性質(zhì)的證明。特別地，當(dāng)生產(chǎn)技術(shù)為和位似的生產(chǎn)函數(shù)時，與這些技術(shù)相關(guān)的成本函數(shù)和條件投入需求函數(shù)具有一些特殊的性質(zhì)。位似的生產(chǎn)函數(shù) F (x)：即是說， F (x) 是一個線性（一次）函數(shù)的正向單調(diào)變函數(shù)，f 0?；矗?F(x) f (g(x) ， 其中g(shù)(x) 是線性定理 3.4 位似生產(chǎn)函數(shù)條件下的成本函數(shù)和條件投入需求

7、函數(shù)的性質(zhì)（1）當(dāng)生產(chǎn)函數(shù)是位似函數(shù)，并且滿足假設(shè) 3.1，則有：a)成本函數(shù)關(guān)于投入要素價格w 和產(chǎn)出 y 具有乘法可分離性，即:c(w, y) h( y)c(w,1)其中， h( y) 嚴(yán)格遞增， c(w,1) 為產(chǎn)品成本函數(shù)；b)條件投入需求函數(shù)關(guān)于投入要素價格w 和產(chǎn)出 y 具有乘法可分離性,即：x(w, y) h( y)x(w,1)其中， h( y) 嚴(yán)格遞增， x(w,1) 為產(chǎn)品的條件投入需求。（2）當(dāng)生產(chǎn)函數(shù)具有 0 階性時，有：- 4 -c(w, y) y1/ c(w,1) ；a)b)x(w, y) y1/ x(w,1) 。證明：（1）由于生產(chǎn)函數(shù) f 是嚴(yán)格遞增并且 f (

8、0) 0 ，知：y 0, 有 f 1( y) 0 ，于是f 1 (1)f 1 ( y)對 y 0 ，令： t=0 ，有：f (g(x) y g(x) f 1( y) g (tx) tf 1 ( y) f 1 (1) f (g(tx) 1于是c(w, y) min wxxst f (x) yc(w, y) 1 min wtxtxst f (g(tx) 1f 1 ( y) c(w, y) c(w,1) h( y)c(w,1) f 1 (1)當(dāng) y 0 時， c(w, 0) 0 ， f 1(0) 0f 1 (0)c(w, 0) c(w,1) 0f 1 (1)對于條件投入需求函數(shù)，由 shephard

9、 引理： c h( y)c(w,1) =h( y) c(w,1) h( y)x (w,1)i 1, 2, nx (w, y) =iiwwwiii 1（2） f (g(x) y f (g( y x) 1，于是：c(w, y) min wxxst f (g(x) y- 5 -11c(w, y) y min wy xx 1st f (g( y x) 11 c(w, y) y c(w,1)對于條件投入需求函數(shù)，由 shephard 引理：111cy c(w,1)c(w,1)=y y xi (w,1)i 1, 2, n 。xi (w, y) =wiwiwi前面的成本函數(shù)是長期成本函數(shù)，所有的要素都可變，

10、廠商為了成本最小化，可以任意選擇投入要素的組合；但是在短期，有些要素是固定的，廠商是不能選擇的。2. 短期（或限制性）成本函數(shù)設(shè)短期生產(chǎn)函數(shù)為： y f (x, x) ，其中 x 代表可變投入要素向量， x 代表固定投入要素向量，則短期成本函數(shù)sc(w, w, x, y) 為：sc(w, w, x, y) min(wx wx )xst f (x, x ) y如果 x(w, w, x, y) 是上述問題的解，則：sc(w, w, x, x, y) wx(w, w, x, y) wx其中， wx(w, w, x, x, y) 為總可變成本：隨產(chǎn)量的變化而變化； wx 為總固定成本，與產(chǎn)量無關(guān)，不論

11、是否生產(chǎn)都需要支付的成本。短期成本不同于一般化的或長期成本定義之處在于，固定投入將作為參數(shù)而非選擇變量進(jìn)入函數(shù)。3. 短期成本函數(shù)與長期成本函數(shù)之間的關(guān)系（1）對于所有的產(chǎn)出水平 y 及固定投入要素 x ，都有sc(w, w, x, y) c(w, y) 。這是因?yàn)殚L期中所有的生產(chǎn)投入要素都可變，所以企業(yè)可以通過調(diào)整所有的生產(chǎn)投入要素，以最小成本生產(chǎn)；但是在短期中，由于至少有一種生產(chǎn)投入要素不可變，企業(yè)能夠調(diào)整的生產(chǎn)投入要素比長期中的少，所以成本不會低于長期生產(chǎn)成本。如下圖所示，為了生產(chǎn)產(chǎn)量 y ，如果在長期，廠商可以選擇兩種生產(chǎn)要素，在 E 點(diǎn)進(jìn)行生產(chǎn)；但是在短期，假設(shè)第二種生產(chǎn)要素固定為x

12、 ，則廠商只能選擇第一種生產(chǎn)2- 6 -要素，這時成本最小的生產(chǎn)要素組合是 F 點(diǎn)，由此可見，短期成本函數(shù)一定大于或等于長期成本函數(shù)。（2）對于既定產(chǎn)量 y ，都存在與產(chǎn)量 y 相關(guān)的最優(yōu)的固定投入要素 x ( y) 。如下圖，假設(shè)第二種生產(chǎn)要素是固定生產(chǎn)投入要素，與產(chǎn)量 y1 相對應(yīng)的固定要素的最優(yōu)水平為 x2 ( y1) ，與產(chǎn)量 y2 相對應(yīng)的固定要素的最優(yōu)水平為 x2 ( y2 ) ，與產(chǎn)量 y3 相對應(yīng)的固定要素的最優(yōu)水平為 x2( y3) 。對于每一個產(chǎn)量 y ，當(dāng)短期固定投入要素的規(guī)模剛好等于最優(yōu)的固定投入要素 x ( y) 時，短期成本函數(shù)與長期成本函數(shù)相等，即：sc( w,

13、w, x( y), y)c( w, y。)- 7 -（3）長期成本函數(shù)是短期成本函數(shù)的包絡(luò)。這是因?yàn)椋?sc( w, w, x( y), y) c( w, y)所以有：dc(w, y) sc(w, w, x ( y), y) sc(w, w, x ( y), y) xi ( y)yxiydyi而 x ( y) 是與產(chǎn)量 y 相關(guān)的最優(yōu)的固定投入要素，它使得對應(yīng)于產(chǎn)量 y ，短期成本達(dá)到最小化，因此有： sc(w, w, x ( y), y) 0 xidc(w, y) sc(w, w, x ( y), y)ydy這表明短期成本曲線的斜率將正好等于長期成本曲線的斜率。這也可以用包絡(luò)定理來檢查。由此，常說長期成本曲線是短期成本曲線族的包絡(luò)線。如下圖所示。四、生產(chǎn)中的對偶問題正如在消費(fèi)者理論中，支出函數(shù)與效用函數(shù)之間存在對偶，在生產(chǎn)中，生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)之間也存在對偶關(guān)系。定理 3.5 從一個成本函數(shù)中恢復(fù)一個生產(chǎn)函數(shù)- 8 -設(shè)c : Rn R R 并且滿足定理 3.2 中成本函