2021版數(shù)學(xué)（新教材）必修 第一冊(cè)人教A版：第五章 5-7

1、5.7三角函數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型知識(shí)點(diǎn)一三角函數(shù)的應(yīng)用1三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻畫(huà)周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)未來(lái)等方面發(fā)揮重要作用2用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟收集數(shù)據(jù)畫(huà)散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型求解函數(shù)模型檢驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)yAsin(x)，A0，0中參數(shù)的物理意義預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)1函數(shù)y3sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,6)的初相為_(kāi)答案eq f(,6)2某人的血壓滿足函數(shù)式f(t)24sin 160t110，其中f

2、(t)為血壓(單位：mmHg)，t為時(shí)間(單位：min)，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為_(kāi)答案803電流I(A)隨時(shí)間t(s)變化的關(guān)系式是I5sineq blc(rc)(avs4alco1(100tf(,3)，則當(dāng)teq f(1,200)時(shí)，電流為_(kāi) A.答案eq f(5,2)4如圖為某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)需要_ s往返一次答案0.8解析觀察圖象可知，此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T0.8，所以這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)需要0.8 s往返一次一、三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用例1已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系為IAsin(t)(1)如圖所示的是IAsin(t)eq blc(rc)(avs4alco1(0，|f(,2)在一個(gè)周期內(nèi)

3、的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求IAsin(t)的解析式；(2)如果t在任意一段eq f(1,150)的時(shí)間內(nèi)，電流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整數(shù)值是多少？解(1)由題圖可知A300，設(shè)t1eq f(1,900)，t2eq f(1,180)，則周期T2(t2t1)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,180)f(1,900)eq f(1,75).eq f(2,T)150.又當(dāng)teq f(1,180)時(shí)，I0，即sineq blc(rc)(avs4alco1(150f(1,180)0，而|0)，300942，又N*，故所求最小正整數(shù)943.反思感悟處理物理學(xué)問(wèn)題的策

4、略(1)常涉及的物理學(xué)問(wèn)題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性(2)明確物理概念的意義，此類問(wèn)題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)知識(shí)結(jié)合解題跟蹤訓(xùn)練1一根細(xì)線的一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，當(dāng)小球來(lái)回?cái)[動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移S(單位：cm)與時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系是S6sineq blc(rc)(avs4alco1(2tf(,6).(1)畫(huà)出它的圖象；(2)回答以下問(wèn)題：小球開(kāi)始擺動(dòng)(即t0)時(shí)，離開(kāi)平衡位置是多少？小球擺動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的最大距離是多少？小球來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需要多少時(shí)間？解(1)周期Teq f(2,2)1(s)列表：t0

5、eq f(1,6)eq f(5,12)eq f(2,3)eq f(11,12)12teq f(,6)eq f(,6)eq f(,2)eq f(3,2)22eq f(,6)6sineq blc(rc)(avs4alco1(2tf(,6)360603描點(diǎn)畫(huà)圖：(2)小球開(kāi)始擺動(dòng)(即t0)時(shí)，離開(kāi)平衡位置為3 cm.小球擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的最大距離是6 cm.小球來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需要1 s(即周期)二、三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用例2通常情況下，同一地區(qū)一天的溫度隨時(shí)間變化的曲線接近函數(shù)yAsin(x)b的圖象某年2月下旬某地區(qū)連續(xù)幾天最高溫度都出現(xiàn)在14時(shí)，最高溫度為14 ；最低溫度出現(xiàn)在凌晨2時(shí)，最低溫度

6、為零下2 .(1)求出該地區(qū)該時(shí)段的溫度函數(shù)yAsin(x)b(A0，0，|，x0,24)的表達(dá)式；(2)29日上午9時(shí)某高中將舉行期末考試，如果溫度低于10 ，教室就要開(kāi)空調(diào)，請(qǐng)問(wèn)屆時(shí)學(xué)校后勤應(yīng)該開(kāi)空調(diào)嗎？解(1)由題意知eq blcrc (avs4alco1(Ab14，,Ab2，)解得eq blcrc (avs4alco1(A8，,b6，)易知eq f(T,2)142，所以T24，所以eq f(,12)，易知8sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)2)62，即sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)2)1，故eq f(,12)2eq f(,2)2k

7、，kZ，又|，得eq f(2,3)，所以y8sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)xf(2,3)6(x0,24)(2)當(dāng)x9時(shí)，y8sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)9f(2,3)68sin eq f(,12)68sin eq f(,6)610.所以屆時(shí)學(xué)校后勤應(yīng)該開(kāi)空調(diào)反思感悟解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟跟蹤訓(xùn)練2已知某地一天從416時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y10sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)xf(5,4)20，x4,16(1)求該地這一段時(shí)間內(nèi)溫度的最大溫差；(2)若有一種細(xì)菌在15 到25 之間可以生存，那么

8、在這段時(shí)間內(nèi)，該細(xì)菌最多能生存多長(zhǎng)時(shí)間？解(1)當(dāng)x14時(shí)函數(shù)取最大值，此時(shí)最高溫度為30 ，當(dāng)x6時(shí)函數(shù)取最小值，此時(shí)最低溫度為10 ，所以最大溫差為30 10 20 .(2)令10sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)xf(5,4)2015，得sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)xf(5,4)eq f(1,2)，而x4,16，所以xeq f(26,3).令10sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)xf(5,4)2025，得sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)xf(5,4)eq f(1,2)，而x4,16，所

9、以xeq f(34,3).當(dāng)xeq blcrc(avs4alco1(f(26,3)，f(34,3)時(shí)，eq f(,8)xeq f(5,4)eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,6)，所以y在eq blcrc(avs4alco1(f(26,3)，f(34,3)上單調(diào)遞增故該細(xì)菌能存活的最長(zhǎng)時(shí)間為eq f(34,3)eq f(26,3)eq f(8,3)小時(shí)1.如圖所示的是一個(gè)單擺，以平衡位置OA為始邊、OB為終邊的角(s2 Bs10，0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，則該函數(shù)解析式可以是()AI300sineq blc(rc)(avs4alco1(50tf(,3)BI300sineq b

10、lc(rc)(avs4alco1(50tf(,3)CI300sineq blc(rc)(avs4alco1(100tf(,3)DI300sineq blc(rc)(avs4alco1(100tf(,3)答案C解析A300，T2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,150)f(1,300)eq f(1,50)，eq f(2,T)100，I300sin(100t)代入點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,300)，0)，得100eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,300)0，取eq f(,3)，I300sineq blc(rc)(avs4alco1(100t

11、f(,3).4如圖是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列判斷正確的是()A該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為0.7 sB該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5 cmC該質(zhì)點(diǎn)在0.1 s和0.5 s時(shí)的振動(dòng)速度最大D該質(zhì)點(diǎn)在0.3 s和0.7 s時(shí)的加速度為零考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用答案D解析由圖象及簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)知識(shí)知T0.8 s，A5 cm，當(dāng)t0.1 s及t0.5 s時(shí)，v0，故排除選項(xiàng)A，B，C.5一根長(zhǎng)l cm的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s(cm)與時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s3coseq blc(rc)(avs4alco1(r(f(g,l)tf(,3)，其中g(shù)是

12、重力加速度，當(dāng)小球擺動(dòng)的周期是1 s時(shí)，線長(zhǎng)l_cm.答案eq f(g,42)解析由已知得eq f(2,r(f(g,l)1，所以eq r(f(g,l)2，eq f(g,l)42，leq f(g,42).1知識(shí)清單：(1)三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用(2)三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用2方法歸納：數(shù)學(xué)建模1.如圖是一向右傳播的繩波在某一時(shí)刻繩子各點(diǎn)的位置圖，經(jīng)過(guò)eq f(1,2)周期后，乙的位置將移至()Ax軸上 B最低點(diǎn) C最高點(diǎn) D不確定答案C解析相鄰的最大值與最小值之間間隔半個(gè)周期，故乙移至最高點(diǎn)2.如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y3sineq blc(rc)(avs4alco1

13、(f(,6)x)k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為()A5 B6 C8 D10答案C解析根據(jù)圖象得函數(shù)的最小值為2，有3k2，k5，最大值為3k8.3商場(chǎng)人流量被定義為每分鐘通過(guò)入口的人數(shù)，五一某商場(chǎng)的人流量滿足函數(shù)F(t)504sineq f(t,2)(t0)，則在下列哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)人流量是增加的？()A0,5 B5,10 C10,15 D15,20答案C解析由2keq f(,2)eq f(t,2)2keq f(,2)，kZ，知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為4k，4k，kZ.當(dāng)k1時(shí)，t3，5，而10,153，5，故選C.4據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按f(

14、x)Asin(x)beq blc(rc)(avs4alco1(A0，0，|f(,2)的模型波動(dòng)(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千元，7月份價(jià)格最低為5千元，根據(jù)以上條件可確定f(x)的解析式為()Af(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)xf(,4)7(1x12，xN*)Bf(x)9sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)xf(,4)(1x12，xN*)Cf(x)2eq r(2)sin eq f(,4)x7(1x12，xN*)Df(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)xf(,4)7(1x12，xN*)答案A解析方法一

15、令x3可排除D，令x7，可排除B，由Aeq f(95,2)2可排除C.方法二由題意，可得Aeq f(95,2)2，b7.周期Teq f(2,)2(73)8.eq f(,4).f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)7.當(dāng)x3時(shí)，y9，2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)79.即sineq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)1.|0)，已知第一、二季度平均單價(jià)如下表所示：x123y10 0009 500？則此樓盤(pán)在第三季度的平均單價(jià)大約是()A10 000元 B9 500元C9 000元 D8 500元答案C解析因?yàn)閥500

16、sin(x)9 500(0)，所以當(dāng)x1時(shí)，500sin()9 50010 000；當(dāng)x2時(shí)，500sin(2)9 5009 500，所以可取eq f(3,2)，可取，即y500sineq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)x)9 500.當(dāng)x3時(shí)，y9 000.6某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫y與月份x的關(guān)系可近似地用函數(shù)yaAcoseq blcrc(avs4alco1(f(,6)x6)(x1，2，3，12)來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28 ，12月份的月平均氣溫最低，為18 ，則10月份的平均氣溫為_(kāi).答案20.5解析根據(jù)題意得18aAcoseq blcrc(avs

17、4alco1(f(,6)126)aA，28aA，解得a23，A5，所以y235coseq blcrc(avs4alco1(f(,6)x6)，令x10，得y235coseq blcrc(avs4alco1(f(,6)106)235cos eq f(2,3)20.5.7如圖表示相對(duì)于平均海平面的某海灣的水面高度h(米)在某天024時(shí)的變化情況，則水面高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)答案h6sin eq f(,6)t(0t24)解析設(shè)hAsin(t)，由圖象知A6，T12，eq f(2,)12，得eq f(2,12)eq f(,6).點(diǎn)(6,0)為五點(diǎn)法作圖中的第一點(diǎn)，故eq f(,6)60，得，h

18、6sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)t)6sin eq f(,6)t(0t24)8如圖是電流強(qiáng)度I(單位：安)隨時(shí)間t(單位：秒)變化的函數(shù)IAsineq blc(rc)(avs4alco1(tf(,6)(A0，0)的圖象，則當(dāng)teq f(1,50)秒時(shí)，電流強(qiáng)度是_安答案5解析由圖象可知，A10，周期T2eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,300)f(1,300)eq f(1,50)，所以eq f(2,T)100，所以I10sineq blc(rc)(avs4alco1(100tf(,6).當(dāng)teq f(1,50)秒時(shí)，I10sineq blc(rc)(

19、avs4alco1(2f(,6)5(安)9交流電的電壓E(單位：伏)與時(shí)間t(單位：秒)的關(guān)系可用E220eq r(3)sineq blc(rc)(avs4alco1(100tf(,6)來(lái)表示，求：(1)開(kāi)始時(shí)的電壓；(2)電壓的最大值和第一次獲得這個(gè)最大值的時(shí)間解(1)當(dāng)t0時(shí)，E220eq r(3)sin eq f(,6)110eq r(3)(伏)，即開(kāi)始時(shí)的電壓為110eq r(3) 伏(2)電壓的最大值為220eq r(3) 伏，當(dāng)100teq f(,6)eq f(,2)，即teq f(1,300) 秒時(shí)第一次取得這個(gè)最大值10如圖所示，游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，

20、其中心O距離地面40.5米，半徑為40米如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，以你登上摩天輪的時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求出你與地面的距離y(米)與時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)你第4次距離地面60.5米時(shí)，用了多長(zhǎng)時(shí)間？考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用解(1)由已知可設(shè)y40.540cos t，t0，由周期為12分鐘可知，當(dāng)t6時(shí)，摩天輪第1次到達(dá)最高點(diǎn)，即此函數(shù)第1次取得最大值，所以6，即eq f(,6)，所以y40.540cos eq f(,6)t(t0)(2)設(shè)轉(zhuǎn)第1圈時(shí)，第t0分鐘時(shí)距離地面60.5米由60.540.54

21、0cos eq f(,6)t0，得cos eq f(,6)t0eq f(1,2)，所以eq f(,6)t0eq f(2,3)或eq f(,6)t0eq f(4,3)，解得t04或t08，所以t8(分鐘)時(shí)，第2次距地面60.5米，故第4次距離地面60.5米時(shí)，用了12820(分鐘)11.如圖是一個(gè)半徑為3米的水輪，水輪的圓心O距離水面2米，已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y(米)與時(shí)間t(秒)滿足關(guān)系式y(tǒng)Asin(t)2，則()Aeq f(15,2)，A3 Beq f(2,15)，A3Ceq f(2,15)，A5 Deq f(15,2)，A5答案B解析由題意知A3，eq f(2

22、4,60)eq f(2,15).12有一沖擊波，其波形為函數(shù)ysin eq f(x,2)的圖象，若其在區(qū)間0，t上至少有2個(gè)波峰，則正整數(shù)t的最小值是()A5 B6 C7 D8答案C13.如圖所示，有一廣告氣球，直徑為6 m，放在公司大樓上空，當(dāng)行人仰望氣球中心的仰角BAC30時(shí)，測(cè)得氣球的視角為2(若(弧度)很小時(shí)，可取sin )，試估算該氣球的高BC的值約為()A70 m B86 m C102 m D118 m答案B解析在RtADC中，CD3 m，sinCADeq f(CD,AC)，ACeq f(CD,sinCAD).CAD很小，1eq f(,180) rad，sinCADeq f(,18

23、0) rad.在RtABC中，sin CABsin 30eq f(BC,AC)，由得BC86 m.14某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5 cm，秒針均勻地繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間t0時(shí)，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合，若將A，B兩點(diǎn)的距離d(cm)表示成時(shí)間t(s)的函數(shù)，則d_，其中t0,60答案10sin eq f(t,60)解析秒針1 s轉(zhuǎn)eq f(,30)弧度，t s后秒針轉(zhuǎn)了eq f(,30)t弧度，如圖所示，sin eq f(t,60)eq f(f(d,2),5)，所以d10sin eq f(t,60).15國(guó)際油價(jià)在某一時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)出正弦波動(dòng)規(guī)律：PAsineq blc(rc)(avs4alco1(tf(,4)60(美元)(A0，0)，現(xiàn)采集到下列信息：最高油價(jià)80美元，當(dāng)t150(天)時(shí)達(dá)到最低油價(jià)，則的最小值為_(kāi)答案eq f(1,120)解析因?yàn)閲?guó)際油價(jià)在某一時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)出正弦波動(dòng)規(guī)律：PA