2022年數(shù)學(xué)真題分類匯編解析

1、第1講 集合與邏輯用語 一、單選題1（2022全國高考真題）已知集合，則（）ABCD【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：B.2（2022全國高考真題）若集合，則（）ABCD【答案】D【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D3（2022全國高考真題（理）設(shè)全集，集合M滿足，則（）ABCD【答案】A【解析】【分析】先寫出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可【詳解】由題知,對比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤故選:4（2022全國高考真題（理）設(shè)全集，集合，則（）ABCD【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，所以,所以.故選：D.第2講 函數(shù)

2、與導(dǎo)數(shù) 一、單選題1（2022全國高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（）ABC0D1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出【詳解】因?yàn)?，令可得，所以，令可得，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，即有，從而可知，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為因?yàn)?，所以一個(gè)周期內(nèi)的由于22除以6余4，所以故選：A2（2022全國高考真題（理）已知函數(shù)的定義域均為R，且若的圖像關(guān)于直線對稱，則（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到，從而得到，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對稱，所以，因?yàn)椋?/p>

3、所以，即，因?yàn)?，所以，代入得，即，所以?因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，?lián)立得，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以因?yàn)?，所?所以.故選：D【點(diǎn)睛】含有對稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.3（2022全國高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】 球的體積為，所以球的半徑,

4、設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.4（2022全國高考真題）設(shè)，則（）ABCD【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)， 導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.5（2022全國高考真題（文）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的

5、某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時(shí)，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D.故選：A.6（2022全國高考真題（文）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（）ABCD【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D7（2022全國高考真題（理）已知，則（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，即可得

6、解.【詳解】因?yàn)?因?yàn)楫?dāng)所以,即,所以；設(shè)，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A8（2022全國高考真題（理）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時(shí)，所以，排除C.故選：A.9（2022全國高考真題（理）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）ABCD1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有故選：B.10（2022全國高考真題（文）

7、已知，則（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出【詳解】由可得，而，所以，即，所以又，所以，即，所以綜上，故選：A.二、多選題11（2022全國高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（）A在區(qū)間單調(diào)遞減B在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C直線是曲線的對稱軸D直線是曲線的切線【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出【詳解】由題意得：，所以，即，又，所以時(shí)，故對A，當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對

8、C，當(dāng)時(shí)，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即故選：AD12（2022全國高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）ABCD【答案】BC【解析】【分析】轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】因?yàn)椋鶠榕己瘮?shù)，所以即，所以，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是

9、轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系，準(zhǔn)確把握函數(shù)的性質(zhì)（必要時(shí)結(jié)合圖象）即可得解.13（2022全國高考真題）已知函數(shù)，則（）A有兩個(gè)極值點(diǎn)B有三個(gè)零點(diǎn)C點(diǎn)是曲線的對稱中心D直線是曲線的切線【答案】AC【解析】【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的

10、圖象，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、雙空題14（2022全國高考真題）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為_，_【答案】 【解析】【分析】分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；【詳解】解： 因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；15（2022

11、全國高考真題（文）若是奇函數(shù)，則_，_【答案】 ； 【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱由可得，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)椋儆煽傻?，即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意故答案為：；四、填空題16（2022全國高考真題（理）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)若，則a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由分別是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，可得時(shí)，時(shí)，再分和兩種情況討論，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳

12、解】解：，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，則此時(shí)，與前面矛盾，故不符合題意，若時(shí)，則方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，,函數(shù)的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，又,的圖象由指數(shù)函數(shù)向下關(guān)于軸作對稱變換，然后將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長或縮短為原來的倍得到，如圖所示：設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問題，考查了導(dǎo)數(shù)的

13、幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，有一定的難度.17（2022全國高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,切線過原點(diǎn)，,整理得：,切線有兩條，,解得或,的取值范圍是,故答案為：五、解答題18（2022全國高考真題（文）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，

14、按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.(1)當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以；(2)，則，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)

15、問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.19（2022全國高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【解析】【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.(1)當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)

16、，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.(3)取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.20（2022全國高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交

17、點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列【答案】(1)(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時(shí)， 的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.(1)的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無最小值，故.的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故

18、為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.(2)由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無零點(diǎn)，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三

19、個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.21（2022全國高考真題（理）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究(1)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),所以切點(diǎn)為,所以切線斜率

20、為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為(2)設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng)當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn)又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減有而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可

21、，肯定要兩方面都說明.22（2022全國高考真題（理）已知函數(shù)(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則環(huán)【答案】(1)(2)證明見的解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.(1)的定義域?yàn)?，?得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為(2)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證因?yàn)?即證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上, ,所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛 ：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)

22、證明不等式這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握第3講 三角函數(shù)與解三角形 一、單選題1（2022全國高考真題（理）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的兩支交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（）ABCD【答案】C【解析】【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，可判斷在雙曲線的右支，設(shè)，即可求出，在中由求出，再由正弦定理求出，最后根據(jù)雙曲線的定義得到，即可得解；【詳解】解：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，所以，因?yàn)椋栽陔p曲線的右支，所以，設(shè)，由，即，則，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，即，所以雙曲線的離心率故選：C2（2022全國高

23、考真題）若，則（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】由已知得：,即：，即：,所以,故選：C3（2022全國高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（）A1BCD3【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，且，所以，所以，所以.故選：A4（2022全國高考真題（理）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由的取值范圍得到的取值范

24、圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可【詳解】解：依題意可得，因?yàn)?，所以，要使函?shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：則，解得，即故選：C5（2022全國高考真題（理）沈括的夢溪筆談是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的AB中點(diǎn)，D在上，“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計(jì)算公式：當(dāng)時(shí)，（）ABCD【答案】B【解析】【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.6（2022全國高考真題（理）函數(shù)在區(qū)間

25、的圖象大致為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時(shí)，所以，排除C.故選：A.7（2022全國高考真題（文）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，解得，又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.二、填空題8（2022全國高考真題（理）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】首先表示出，根據(jù)

26、求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出的取值，從而得解；【詳解】解： 因?yàn)?，（，）所以最小正周期，因?yàn)?，又，所以，即，又為的零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；故答案為：9（2022全國高考真題（理）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，當(dāng)取得最小值時(shí)，_【答案】#【解析】【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)，則在中，在中，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.三、解答題10（2022全國高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知(1)求的面積；(2)若，求b【答案】(1)(2)【解析】【分析】

27、（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.(1)由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，則；(2)由正弦定理得：，則，則，.11（2022全國高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(1)若，求B；(2)求的最小值【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出(1)因?yàn)椋?，而，所以?2)由（1）知，所以，而，所以，即有所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為12（2

28、022全國高考真題（文）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出； （2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出(1)由，可得，而，所以，即有，而，顯然，所以，而，所以(2)由可得，再由正弦定理可得，然后根據(jù)余弦定理可知，化簡得：，故原等式成立27（2022全國高考真題（理）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知(1)證明：；(2)若，求的周長【答案】(1)見解析(2)14【解析】【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化

29、角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.(1)證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以?2)解：因?yàn)?，由?）得，由余弦定理可得， 則，所以，故，所以，所以的周長為.第4講 平面向量與復(fù)數(shù) 一、單選題1（2022全國高考真題）已知向量，若，則（）ABC5D6【答案】C【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得【詳解】解：,即,解得,故選：C2（2022全國高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，記，則（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，所以，即，所以故選：B3（

30、2022全國高考真題（文）已知向量，則（）A2B3C4D5【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)椋?故選：D4（2022全國高考真題（理）已知向量滿足，則（）ABC1D2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】解：，又9，故選：C.6（2022全國高考真題）（）ABCD【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.7（2022全國高考真題）若，則（）ABC1D2【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D8（2022全國高考真題（文）設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，則（）ABCD【答案

31、】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)相等的概念即可解出【詳解】因?yàn)镽，所以，解得：故選：A.9（2022全國高考真題（理）若，則（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得解.【詳解】故選 ：C10（2022全國高考真題（文）若則（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可求出【詳解】因?yàn)?，所以，所以故選：D.11（2022全國高考真題（理）已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（）ABCD【答案】A【解析】【分析】先算出,再代入計(jì)算,實(shí)部與虛部都為零解方程組即可【詳解】由,得,即故選:二、填空題

32、12（2022全國高考真題（理）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，則_【答案】【解析】【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，所以，所以故答案為：13（2022全國高考真題（文）已知向量若，則_【答案】#【解析】【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：.第5講 數(shù)列與不等式 一、單選題1（2022全國高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比

33、分別為已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）A0.75B0.8C0.85D0.9【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D2（2022全國高考真題（理）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，依此類推，其中則（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項(xiàng)的大小，即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，得到，同理，可得，又因?yàn)?，故，；以此類推，可得，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；

34、，得，故C錯(cuò)誤；，得，故D正確.故選：D.3（2022全國高考真題（文）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，則（）A14B12C6D3【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.二、填空題4（2022全國高考真題（文）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和若，則公差_【答案】2【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.【詳解】由可得，化簡得，即，解得.故答案為：2.三、解答題5（2022全國高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)

35、數(shù)【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出(1)設(shè)數(shù)列的公差為，所以，即可解得，所以原命題得證(2)由（1）知，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為6（2022全國高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：【答案】(1)(2)見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.(1)，,又是公差

36、為的等差數(shù)列，,當(dāng)時(shí)，,整理得：,即,，顯然對于也成立，的通項(xiàng)公式；(2) 7（2022全國高考真題（理）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和已知(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得(1)解：因?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，得，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列(2)解：由（1）可得，又，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)第6講 立體幾何 一、單選題1（2022全國高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上

37、、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為故選：A2（2022全國高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水

38、位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積棱臺(tái)上底面積，下底面積，故選：C3（2022全國高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】 球的體積為，所以球的半徑,設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)

39、時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.4（2022全國高考真題（文）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面【答案】A【解析】【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為， 則有，可取，同理

40、可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，故選：A.5（2022全國高考真題（文）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.【詳解】設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD

41、所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，故選：C6（2022全國高考真題（理）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和若，則（）ABCD【答案】C【解析】【分析】設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所

42、以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.7（2022全國高考真題（理）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）ABAB與平面所成的角為CD與平面所成的角為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，解得對于A，A錯(cuò)誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對于C，C錯(cuò)誤；對于D，與平面所成角為，而，所以D正確故選：D二、多選題8（2022全國高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，記三棱錐，的體積分別為，則（）ABC

43、D【答案】CD【解析】【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫?，則，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，則，則，則，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.9（2022全國高考真題）已知正方體，則（）A直線與所成的角為B直線與所成的角為C直線與平面所成的角為D直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)椋灾本€與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠?/p>

44、面，平面，則，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)椋云矫?，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為，則，所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD三、解答題10（2022全國高考真題）如圖，是三棱錐的高，E是的中點(diǎn)(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）連接并延長交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；（2）過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，

45、再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；(1)證明：連接并延長交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面(2)解：過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，又，所以，則，所以，所以，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以；所以設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍二面角，所以，所以故二面角的正弦值為；11（2022全國高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，平面平面，求二面角的正弦值【答案】(1)

46、(2)【解析】【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.(1)在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；(2)取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.12（2022全國高考真題（文）如圖，四面體中，E為AC

47、的中點(diǎn)(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積【答案】(1)證明詳見解析(2)【解析】【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面.（2）首先判斷出三角形的面積最小時(shí)點(diǎn)的位置，然后求得到平面的距離，從而求得三棱錐的體積.(1)由于，是的中點(diǎn)，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.(2)依題意，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三角形的面積最小值.過作，垂足為，在中，解得，所以，所以.過作，垂足為，則，所以

48、平面，且，所以,所以.13（2022全國高考真題（理）如圖，四面體中，E為的中點(diǎn)(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值【答案】(1)證明過程見解析(2)與平面所成的角的正弦值為【解析】【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.(1)因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?(2)連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)

49、時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋允堑冗吶切?，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所?在中，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.14（2022全國高考真題（文）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，由平面知識

50、可知，依題從而可證平面，平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，即可知四邊形為平行四邊形，于是，最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）再分別取中點(diǎn)，由（1）知，該幾何體的體積等于長方體的體積加上四棱錐體積的倍，即可解出(1)如圖所示：，分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槿鹊恼切?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根?jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面(2)如圖所示：，分別取中點(diǎn)，由（1）知，且，同理有，由平面知識可知，所以該幾何體的體積等于長方體的體積加上四棱錐體積的倍因?yàn)?，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離，所以該幾何體的體積第

51、7講 解析幾何 一、單選題1（2022全國高考真題（理）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的兩支交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（）ABCD【答案】C【解析】【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，可判斷在雙曲線的右支，設(shè)，即可求出，在中由求出，再由正弦定理求出，最后根據(jù)雙曲線的定義得到，即可得解；【詳解】解：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，所以，因?yàn)?，所以在雙曲線的右支，所以，設(shè)，由，即，則，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，即，所以雙曲線的離心率故選：C2（2022全國高考真題（理）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，

52、且關(guān)于y軸對稱若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】解：，設(shè)，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：A.3（2022全國高考真題（文）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（）A2BC3D【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，所以.故選：B4（2022全國高考真題（文）已知橢圓的離心率為

53、，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)若，則C的方程為（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】解：因?yàn)殡x心率，解得，分別為C的左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因?yàn)樗?，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.二、多選題5（2022全國高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（）A直線的斜率為BCD【答案】ACD【解析】【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判

54、斷D選項(xiàng).【詳解】對于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.6（2022全國高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（）AC的準(zhǔn)線為B直線AB與C相切CD【答案】BCD【解析】【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所

55、以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，所以，所以或，又，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，而，故D正確.故選：BCD三、填空題7（2022全國高考真題）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則的周長是_【答案】13【解析】【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)

56、化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】橢圓的離心率為，橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，為正三角形，過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，直線的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式， ， 得， 為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.8（2022全國高考真題）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關(guān)于對稱的點(diǎn)的

57、坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：9（2022全國高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為_【答案】【解析】【分析】令的中點(diǎn)為，設(shè)，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以，即所以，即，設(shè)直線，令得，令得，即，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：10（2022全國高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程_【答案】或或【解析】【分析】先判斷兩

58、圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為：或或.11（2022全國高考真題（理）若雙曲線的漸近線與圓相切，則_【答案】【解析】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距

59、離，解得或（舍去）故答案為：12（2022全國高考真題（文）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值_【答案】2（滿足皆可）【解析】【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需，即，可滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”所以，又因?yàn)?，所以，故答案為?（滿足皆可）13（2022全國高考真題（文）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為_【答案】【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】解：點(diǎn)M在直線上，設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑

60、R，解得，的方程為.故答案為：14（2022全國高考真題（文）過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_【答案】或或或；【解析】【分析】設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；【詳解】解：依題意設(shè)圓的方程為，若過，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或；四、解答題15（2022全國高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面中選取兩個(gè)作為條件