高一數(shù)學(xué)研究報(bào)告性學(xué)習(xí)-向量

1、-PAGE . z高一年級(jí)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)研究學(xué)習(xí)主題：平面向量在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用適用年級(jí)：高一全級(jí)教 師：郝 斌-. z目 錄TOC o 1-3 h z uHYPERLINK l _Toc329542537課題研究背景 PAGEREF _Toc329542537 h 1HYPERLINK l _Toc329542538研究目標(biāo) PAGEREF _Toc329542538 h 1HYPERLINK l _Toc329542539研究方法 PAGEREF _Toc329542539 h 2HYPERLINK l _Toc329542540研究成果。小論文 PAGEREF _Toc329542540

2、 h 2HYPERLINK l _Toc3295425411 平面向量的根底知識(shí) PAGEREF _Toc329542541 h 2HYPERLINK l _Toc3295425421.1向量的幾何表示 PAGEREF _Toc329542542 h 2HYPERLINK l _Toc3295425431.2平面向量的坐標(biāo)表示 PAGEREF _Toc329542543 h 3HYPERLINK l _Toc3295425441.3向量的運(yùn)算 PAGEREF _Toc329542544 h 3HYPERLINK l _Toc329542545加法運(yùn)算 PAGEREF _Toc329542545

3、 h 3HYPERLINK l _Toc329542546減法運(yùn)算 PAGEREF _Toc329542546 h 4HYPERLINK l _Toc329542547數(shù)乘運(yùn)算 PAGEREF _Toc329542547 h 4HYPERLINK l _Toc329542548坐標(biāo)運(yùn)算 PAGEREF _Toc329542548 h 4HYPERLINK l _Toc329542549向量的數(shù)量積 PAGEREF _Toc329542549 h 5HYPERLINK l _Toc3295425501.4平面向量的根本定理 PAGEREF _Toc329542550 h 5HYPERLINK l

4、 _Toc3295425512 平面向量應(yīng)用舉例 PAGEREF _Toc329542551 h 6HYPERLINK l _Toc3295425522.1平面向量在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc329542552 h 6HYPERLINK l _Toc329542553平面向量在三角公式中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc329542553 h 6HYPERLINK l _Toc329542554向量法在平行問題中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc329542554 h 7HYPERLINK l _Toc3295425552.2 應(yīng)用向量法解決一些解析幾何問題 PAGEREF _To

5、c329542555 h 10HYPERLINK l _Toc329542556求體積 PAGEREF _Toc329542556 h 10HYPERLINK l _Toc329542557求點(diǎn)的坐標(biāo) PAGEREF _Toc329542557 h 10HYPERLINK l _Toc329542558求直線的方程 PAGEREF _Toc329542558 h 11-. z平面向量在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用指導(dǎo)教師：郝斌課題組長(zhǎng)：王強(qiáng)小組成員：高一全體同學(xué)班級(jí)：高一1、3、4、7班課題研究背景在高中數(shù)學(xué)新課程教材中，學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量在前，學(xué)習(xí)解析幾何在后，而且教材中二者知識(shí)整合的不多，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)

6、中就平面向量解平面向量題，不會(huì)應(yīng)用平面向量去解決解析幾何問題。用向量法解決解析幾何問題思路清晰，過程簡(jiǎn)潔，有意想不到的神奇效果。著名教育家布魯納說過：學(xué)習(xí)的最好刺激是對(duì)所學(xué)材料的興趣，簡(jiǎn)單的重復(fù)將會(huì)引起學(xué)生大腦疲勞，學(xué)習(xí)興趣衰退。這充分提醒方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學(xué)，必然能引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，減輕負(fù)擔(dān)。平面向量是高中數(shù)學(xué)的新增容，也是新高考的一個(gè)亮點(diǎn)。 向量知識(shí)、向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，能融數(shù)形與一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)容的的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)。而在高中數(shù)學(xué)體系中，解析幾何占有著很重要的地位，有些問題用常

7、規(guī)方法去解決往往運(yùn)算比擬繁雜，不妨運(yùn)用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則會(huì)大大簡(jiǎn)化過程。研究目標(biāo)通過研究性學(xué)習(xí)來(lái)了解向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用和地位，知道向量這種新的方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，以及學(xué)習(xí)這種方法來(lái)更方便簡(jiǎn)潔的解決數(shù)學(xué)問題。從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更容易的掌握學(xué)習(xí)技巧和方法。研究方法查閱資料。通過查閱資料來(lái)了解平面向量的用途及向量方法，學(xué)習(xí)這種數(shù)學(xué)思想。自主探討。分組討論來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)這種思想方法。教師引導(dǎo)。通過教師的引導(dǎo)通過向量的方法解決一些較難的數(shù)學(xué)問題。研究成果。小論文1 平面向量的根底知識(shí)1.1向量的幾何表示具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段記作AB。

8、AB是印刷體，也就是粗體字母，書寫體是上面加個(gè)有向線段AB的長(zhǎng)度叫做向量的模，記作|AB|。有向線段包含3個(gè)因素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度。相等向量、平行向量、共線向量、零向量、單位向量長(zhǎng)度相等且方向一樣的向量叫做相等向量。兩個(gè)方向一樣或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，記作a/b，零向量與任意向量平行，即0/a，在向量中共線向量就是平行向量，這和直線不同，直線共線就是同一條直線了，而向量共線就是指兩條是平行向量 長(zhǎng)度等于0的向量叫做零向量，記作0。零向量的方向是任意的；且零向量與任何向量都垂直。長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量。 1.2平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系，我們分別取與*軸

9、、y軸方向一樣的兩個(gè)單位向量i、j作為基底。任作一個(gè)向量a，由平面向量根本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)*、y，使得a=*i+yj我們把*，y叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a=*，y，其中*叫做a在*軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量的坐標(biāo)表示。在平面直角坐標(biāo)系，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示。1.3向量的運(yùn)算1.3.1加法運(yùn)算向量加法的定義向量a、b，在平面上任意取一點(diǎn)A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，則向量AC叫做a與b的和，記做a+b，即a+b=AB+BC=ACABBCAC，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。首尾相連，連接首尾，指向終點(diǎn)兩個(gè)從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個(gè)向量O

10、A、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線OC就是向量OA、OB的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。對(duì)于零向量和任意向量a，有：0aa0a。|ab|a|b|。向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。1.3.2減法運(yùn)算AB-AC=CB,這種計(jì)算法則叫做向量減法的三角形法則。共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量 與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，(a)a，零向量的相反向量仍然是零向量。1a(a)(a)a02aba(b)。1.3.3數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a，|a|a|，當(dāng) 0時(shí)，a的方向和a的方向一樣，當(dāng) 0時(shí)，a

11、的方向和a的方向相反，當(dāng) = 0時(shí)，a = 0。設(shè)、是實(shí)數(shù)，則：1()a = (a)2( + )a = a + a3(a b) = a b4()a =(a) = (a)。向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。1.3.4坐標(biāo)運(yùn)算a=*1，y1，b=*2，y2，則a+b=*1i+y1j+*2i+y2j=(*1+*2)i+(y1+y2)j即 a+b=*1+*2，y1+y2。同理可得 a-b=*1-*2，y1-y2。這就是說，兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。由此可以得到：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)上面的結(jié)論又可得假設(shè)a=(*,

12、y),則a=(*,y)這就是說，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。 1.3.5向量的數(shù)量積兩個(gè)非零向量a、b，則|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積或積，記作ab，是a與b的夾角，|a|cos |b|cos 叫做向量a在b方向上b在a方向上的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積。兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即：假設(shè)a=(*1,y1),b=(*2,y2),則ab=*1*2+y1y2向量的數(shù)量積的性質(zhì)(1)aa=a20(2)ab=ba(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)(

13、4)a(b+c)=ab+ac(5)ab=0ab6a=kba/b7e1e2=|e1|e2|cos=cos 1.4平面向量的根本定理如果e1和e2是同一平面的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)該平面的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a= *e1 *e2,(+=1。2 平面向量應(yīng)用舉例2.1平面向量在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用2.1.1平面向量在三角公式中的應(yīng)用 1)正弦定理的向量法證明在任意ABC中，a,b,c分別為A ，B，C對(duì)邊，則證明：如圖1所示，作CDAB于D ，因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系纳溆岸际?，?bsinA，=bsinA，所以有，利有同樣的方法，分別作BC，CA的垂線，可以得到，。即可以等到。 2余弦定理的向量法

14、證明在任意ABC中，a,b,c分別為A ，B，C對(duì)邊，則a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。在證明這個(gè)定理這前先給出一個(gè)記號(hào)：向量在向量上的射影記為：。證明：在ABC中，由向量的射影定理等到：；所以有:地 (1)同理要證得： (2) (3)再由：(1)a-(2)b-(3)c得到：a2=b2+c2-2bccosA同理可以得到；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。上述向量法證明正余弦定理，不必區(qū)分銳角、鈍角、直角三角形，從而大大簡(jiǎn)化了證明過程，2.1.2向量法在平行問題中的應(yīng)用例1：兩個(gè)向量，共線的充

15、要條件是。證明： (必要性)當(dāng)，共線時(shí)(包括或?yàn)榱阆蛄康那樾?，則，=00或1800，由公式|=|sin，得到：|=0,從而。 (充分性)當(dāng)時(shí)，則由|=|sin，知：=或=或，因?yàn)榱阆蛄靠梢钥闯膳c任何向量共線，所以總有。例2：向量，分別是直線l1,l2的方向向量，判斷直線l1,l2的位置關(guān)系。不妨設(shè)：=(1，-1，3)；=(4，-4，12)解：因?yàn)?(4，-4，12)=4(1，一1，3)=4，所以，即l1l2。例3：用向量法證明梯形兩腰中點(diǎn)連線平行于上、下兩底邊且等于它們長(zhǎng)度和的一半。證明：如圖，在梯形ABCD中,連接BD并取BDAB的中點(diǎn)為O，連結(jié)EO、FO,= ， = ，OEF，EOAD、

16、OFBC、BCAD EOOF，即O、E、F共線，又，所以有DC 2.2向量法在垂直問題中的應(yīng)用1)：向量 =( ，)； =( ，)相互垂直的充要條件是。證明：(必要性)當(dāng)向量，有一個(gè)為零向量時(shí)，結(jié)論顯然成立。下面證明，都不為零向量時(shí)，結(jié)論成立。向量，相互垂直，則=900，根據(jù)= ，得到。(充分性)因?yàn)椤t，得900，即可以得到相互垂直。A2)平行四邊形成為菱形的充要條件是對(duì)角線互相垂直。BODC證明：因?yàn)?，、即ACDB。ACDB即、則為菱形。勾股定理的向量法證明如圖，在Rt，證明：。C證明：在Rt中，對(duì)上述等式兩邊平方得：。由解析幾何1中兩個(gè)向量數(shù)量積的定義得到：BA因?yàn)?，所以，即，即結(jié)論成立。向量法是借助向量的幾何意義，把問題轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，通過向量計(jì)算來(lái)到達(dá)求解的目的，用向量法去解決幾何問題，一方面能表達(dá)向量的應(yīng)用性，另一方面有助于學(xué)習(xí)者在應(yīng)用中加深對(duì)向量知識(shí)的理解與掌握。2.2 應(yīng)用向量法解決一些解析幾何問題2.2.1求體積四面體ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)、。求它的體積。解：由初等幾何知，四面體ABCD的體積V等于以AB、AC和AD為棱的平行六面體的六分之一，因此，而，故，從而此題利用混合積的幾何意義來(lái)求四面體的體積，方法簡(jiǎn)捷。2.2.2求點(diǎn)