新高二2022年暑假講義第3講 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（解析版）

1、第3講 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示新課標(biāo)要求了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示。知識梳理1.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則：(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)；(2)ab(a1b1，a2b2，a3b3)；(3)a(a1，a2，a3)(R)；(4)aba1b1a2b2a3b3；(5)ab aba1b1，a2b2，a3b3(R)；(6)abab0a1b1a2b2a3b30；(7)|a|eq r(aa) eq r(aoal(2,1)aoal(2,2)

2、aoal(2,3)；(8)cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(a1b1a2b2a3b3,r(aoal(2,1)aoal(2,2)aoal(2,3)r(boal(2,1)boal(2,2)boal(2,3) .2空間中向量的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則：(1)eq o(AB,sup6()(a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dAB|eq o(AB,sup6()| eq r(a2a12b2b12c2c12) .名師導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)1 空間直角坐標(biāo)系【例1-1】（武漢期末）點(diǎn)，2，關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是A，2，B，C，2，

3、D，【分析】點(diǎn)，2，關(guān)于平面對稱的點(diǎn)，即，不變，變?yōu)橄喾磾?shù)解：點(diǎn)，2，關(guān)于平面對稱的點(diǎn)，即，不變，變?yōu)橄喾磾?shù)，點(diǎn)，2，關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：【變式訓(xùn)練1-1】（河南月考）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為A，B，C，2，D，2，【分析】空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則值不變，和的值改變符號解：空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，故選：知識點(diǎn)2 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2-1】（欽州期末）已知，2，則等于A，B，0，C，0，D，0，【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)即可得出解：，2，0，故選：【例2-2】（濟(jì)南模擬）已知空間三點(diǎn)A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，

4、設(shè)aeq o(AB,sup6()，beq o(AC,sup6().(1)求a與b夾角的余弦值；(2)若kab與ka2b互相垂直，求k的值；(3)設(shè)|c|3，ceq o(BC,sup6()，求c.【分析】對于(1)直接套兩向量的夾角公式即可；對于(2)將向量垂直，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0求解；對于(3)利用共線向量求解(1)aeq o(AB,sup6()(1,1,0)，beq o(AC,sup6()(1,0,2)，ab1(1)10021，|a|eq r(2)，|b|eq r(5)，cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(r(10),10).(2)kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,

5、2)，ka2bk(1,1,0)2(1,0,2)(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(k1)(k2)k280，即2k2k100，得k2或keq f(5,2).(3)ceq o(BC,sup6()，又eq o(BC,sup6()(2，1,2)，設(shè)c(2，2)，又|c|3，(2)2()2(2)29，得1.c(2，1,2)或c(2,1，2)【變式訓(xùn)練2-1】（菏澤期末模擬）已知a(2，1,3)，b(0，1,2)求：(1)ab；(2)2a3b；(3)ab；(4)(ab)(ab)【分析】利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計算即可.(1)a(2，1,3)，b(0，1,2)ab(20，11,32)(2，2,5)(2

6、)2a3b2(2，1,3)3(0，1,2)(4，2,6)(0,3，6)(4,1,0)(3)ab(2，1,3)(0，1,2)20(1)(1)327.(4)|a|eq r(221232)eq r(14)，|b|eq r(021222)eq r(5)，(ab)(ab)a2b21459.【變式訓(xùn)練2-2】（煙臺期末）已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，若eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()與eq o(OB,sup6()(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的夾角為120，則的值為()A.eq f(r(6),6) Beq f(r(6),6)Ceq f(r(6),6) Deq r(6)【分析】利用向量數(shù)

7、量積的計算公式變形和已知條件，將坐標(biāo)帶代入計算即可.eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(1，)，eq o(OB,sup6()(0，1,1)，cos 120eq f(o(OA,sup6()o(OB,sup6()o(OB,sup6(),|avs4al(o(OA,sup6()o(OB,sup6()|o(OB,sup6()|)eq f(2,r(221)r(2)eq f(1,2)，可得0，解得eq f(r(6),6).知識點(diǎn)3 空間兩點(diǎn)間的距離【例3-1】（淄博調(diào)研）已知ABC的三個頂為A(3,3,2)，B(4，3,7)，C(0,5,1)，則BC邊上的中線長為()A2 B3C4 D

8、5【分析】先求出BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)，再代入兩點(diǎn)間距離公式即可計算.B(4，3,7)，C(0,5,1)，BC邊上的中點(diǎn)D(2,1,4)又A(3,3,2)，|AD| eq r(232132422)3.【變式訓(xùn)練3-1】（溫州期中）點(diǎn)，2，是空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，【分析】點(diǎn)，關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)間距離公式能求出解：點(diǎn)，2，是空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，名師導(dǎo)練A組-應(yīng)知應(yīng)會1（安徽期末）空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)，2，的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A，1，B，5，C，D，3，【分析】利用對稱的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接求解解：設(shè)空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，

9、關(guān)于點(diǎn)，2，的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，5，故選：2（金牛區(qū)校級期中）點(diǎn)，2，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為A，B，2，C，D，2，【分析】根據(jù)點(diǎn)，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，寫出即可解：點(diǎn)，2，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，2，故選：3（東陽市校級月考）已知點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為A，2，B，2，C，D，2，【分析】點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，解：點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，2，故選：4（茂名期末）已知向量及則等于A，1，B，5，C，D，【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求和即可解：由向量，所以，1，故選：5（高安市校級期末）已知空間向量ABC2D0【分析】利用空間向量運(yùn)算法則、向量相等的性質(zhì)直接求解解

10、：空間向量，1，0，0，解得，故選：6（豐臺區(qū)期末）已知，3，5，那么向量A，B，2，C，8，D，15，【分析】利用向量即可得出解：向量，5，3，2，故選：7（多選）（三明期末）如圖，在長方體中，以直線，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為，5，B點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，8，C點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，5，D點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，5，【分析】利用空間點(diǎn)的對稱性即可得出解：由圖形及其已知可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，5，點(diǎn)，5，關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，5，點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，5，點(diǎn)，5，關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，5，因此正確故選：8（公安縣期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，1，與，關(guān)于坐標(biāo)平面對稱，則【分析

11、】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)的對稱的結(jié)論：點(diǎn)，關(guān)于平面對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，可知答案解：在空間直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)，1，與，關(guān)于坐標(biāo)平面對稱，故9（溫州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，那么，在空間直角坐標(biāo)系中，2，關(guān)于軸的對稱軸點(diǎn)坐標(biāo)為 ，若點(diǎn)，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則【分析】在空間直角坐標(biāo)系中，2，關(guān)于軸的對稱軸點(diǎn)坐標(biāo)為橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)變?yōu)樵坏南喾磾?shù)，若點(diǎn)，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)均不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵坏南喾磾?shù)，再由兩點(diǎn)間距離公式能求出解：在空間直角坐標(biāo)系中，2，關(guān)于軸的對稱軸點(diǎn)坐標(biāo)為，若點(diǎn)，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，故，10（浙江期中）空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，關(guān)于軸的對

12、稱點(diǎn)坐標(biāo)是 ；【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是，；以及兩點(diǎn)間的距離公式，計算即可解：空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是，1，；故，1，11（興慶區(qū)校級期末）已知，0，0，則 【分析】進(jìn)行向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算即可解：，0，故，12（遼陽期末）已知向量，則 【分析】利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解解：，1，故，1，13（越秀區(qū)期末）已知點(diǎn)，2，和向量，4，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 【分析】設(shè)，由向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和向量相等的定義得，8，由此能求出點(diǎn)坐標(biāo)解：點(diǎn)，2，和向量，4，設(shè)，則，8，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)，10，故，10，14（黃浦區(qū)校級月考）已知向量，則 【分析】先利用向量坐

13、標(biāo)運(yùn)算法則求出，由此能求出解：向量，3，故1315（青銅峽市校級月考）已知點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)，2，的對稱點(diǎn)分別為，若，3，1，求點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】由題意可知，且是線段和的中點(diǎn)，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)即可得出解：由題意可知，且是線段和的中點(diǎn)，設(shè)，則所以，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，2，16（福建期中）已知空間三點(diǎn)，2，1，0，（1）求向量的夾角的余弦值，（2）若向量垂直，求實(shí)數(shù)的值【分析】（1），計算可得（2）向量垂直，可得，即可得出解：（1），（2）向量垂直，解得17（扶余縣校級月考）（）設(shè)向量，5，0，0，求：、（）已知點(diǎn)，和向量，2，求點(diǎn)坐標(biāo)，使向量與同向，且【分析】（）利用空間向量運(yùn)算法則能求出、（）點(diǎn)，和向量

14、，2，設(shè)點(diǎn)，由向量與同向，且，列出方程組能求出點(diǎn)坐標(biāo)解：（）向量，5，0，0，5，0，5，5，0，0，5，（）點(diǎn)，和向量，2，設(shè)點(diǎn)，向量與同向，且，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，2，B組-素養(yǎng)提升1.（襄陽期中）已知向量，是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，若向量在基底，下的坐標(biāo)為，2，則它在，下的坐標(biāo)為ABCD【分析】可設(shè)向量，0，1，0，；由此求出向量、，再設(shè)，列方程組求出、和即可解：設(shè)向量，0，1，0，；則向量，1，又向量，2，不妨設(shè)，則，2，即，解得，所以向量在，下的坐標(biāo)為，故選：2. （安慶質(zhì)檢）已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)若eq o(AP

15、,sup6()eq o(BC,sup6()，且|eq o(AP,sup6()|2eq r(14)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求以eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()為鄰邊的平行四邊形的面積(1)eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，設(shè)eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，又eq o(BC,sup6()(3，2，1)，eq o(AP,sup6()(3，2，)，又|eq o(AP,sup6()| eq r(92422)2eq r(14)，得2，eq o(AP,sup6()(6，4，2)或eq o(AP,sup6()(6,4,2)又A(0,2,3)，設(shè)P(x，y，z)，eq blcrc (avs4alco1(x06，,y24，,z32)或eq blcrc (avs4alco1(x06，,y24，,z32，)得eq blcrc (avs4alco1(x6，,y2，,z1)或eq blcrc (avs4alco1(x6，,y6，,z5.)P(6，2,1)或(6,6,5)(2)eq o(AB,sup6()(2，1,3)，eq o(A