2021-2022學(xué)年四川省綿陽市西平高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡

2、一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1集合的真子集的個數(shù)是（ ）ABCD2已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD3某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、），根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（ ）A年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩D口罩的產(chǎn)量逐年增加4在中，點為中點，過點的直線與，所在直線分別交于點，若，則的最小值為（ ）AB2C3D5已知等差數(shù)列中，則（）A10B16C20D246已知命題，且

3、是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD7已知雙曲線的一條漸近線為，圓與相切于點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD8雙曲線：（，）的一個焦點為（），且雙曲線的兩條漸近線與圓：均相切，則雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD9已知角的終邊經(jīng)過點，則的值是A1或B或C1或D或10已知平面向量滿足，且，則所夾的銳角為（ ）ABCD011趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為周髀算經(jīng)一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）.類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形，它

4、是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大等邊三角形.設(shè)，若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形（陰影部分）的概率是（ ）ABCD12在中，角、的對邊分別為、，若，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若x，y均為正數(shù)，且，則的最小值為_.14已知兩點，若直線上存在點滿足，則實數(shù)滿足的取值范圍是_15函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_.16已知數(shù)列的前項和為,則滿足的正整數(shù)的所有取值為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）一酒企為擴大生產(chǎn)規(guī)模，決定新建一個底面為長方形的室內(nèi)發(fā)酵館，發(fā)酵館內(nèi)有一個無蓋長方體發(fā)酵池，

5、其底面為長方形(如圖所示)，其中.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模，設(shè)定修建的發(fā)酵池容積為450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元，發(fā)酵池造價總費用不超過65400元（1）求發(fā)酵池邊長的范圍；（2）在建發(fā)酵館時，發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道（為常數(shù)）.問:發(fā)酵池的邊長如何設(shè)計，可使得發(fā)酵館占地面積最小.18（12分）如圖1，在等腰梯形中，兩腰，底邊，是的三等分點，是的中點.分別沿，將四邊形和折起，使，重合于點，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，分別為，的中點.（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.19（12分）在世界讀書日期間，某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀

6、情況進行了調(diào)查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城鎮(zhèn)居民140人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有30人.（1）填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計200（2）從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中，隨機抽取5位居民參加一次閱讀交流活動，記這5位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為，若用樣本的頻率作為概率，求隨機變量的期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820（12分）若函數(shù)在處有極值，且，則稱為函數(shù)的“F

7、點”.（1）設(shè)函數(shù)（）.當(dāng)時，求函數(shù)的極值；若函數(shù)存在“F點”，求k的值；（2）已知函數(shù)（a，b，）存在兩個不相等的“F點”，且，求a的取值范圍.21（12分）對于正整數(shù)，如果個整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.()寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;()對于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;()對所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)22（10分）已知函數(shù)（1）求單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若存在實數(shù)，使得，求證

8、：參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】根據(jù)含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，計算可得；【詳解】解：集合含有個元素，則集合的真子集有（個），故選：C【點睛】考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，屬于基礎(chǔ)題2C【解析】求出，直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù).【詳解】.故選：C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運算，共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3C【解析】根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C

9、選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知，所以，從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法比較，故A、B、D選項錯誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩，C選項正確.故選：C.【點睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.4B【解析】由，三點共線，可得，轉(zhuǎn)化，利用均值不等式，即得解.【詳解】因為點為中點，所以，又因為，所以因為，三點共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以的最小值為1故選：B【點睛】本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)

10、學(xué)運算的能力，屬于中檔題.5C【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.6D【解析】求出命題不等式的解為，是的必要不充分條件，得是的子集，建立不等式求解.【詳解】解：命題，即: ，是的必要不充分條件，解得實數(shù)的取值范圍為故選：【點睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解(2)求解參數(shù)的取值范圍時， 一定要注意區(qū)間端點值的檢驗7D【解析】由圓與相切可知，圓心到的距離為2

11、，即.又，由此求出的值，利用離心率公式，求出e.【詳解】由題意得，.故選：D.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，離心率的求法，屬于中檔題.8A【解析】根據(jù)題意得到，化簡得到，得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：焦點到漸近線的距離為，故，故漸近線為.故選：.【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，雙曲線的漸近線，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.9B【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論【詳解】由題意得點與原點間的距離當(dāng)時，當(dāng)時，綜上可得的值是或故選B【點睛】利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點到原點的距離

12、r，然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可10B【解析】根據(jù)題意可得，利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因為即而所以夾角為故選：B【點睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角，需掌握向量數(shù)量積的定義求法，屬于基礎(chǔ)題.11A【解析】根據(jù)幾何概率計算公式，求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可【詳解】在中，由余弦定理，得，所以.所以所求概率為.故選A.【點睛】本題考查了幾何概型的概率計算問題，是基礎(chǔ)題12B【解析】利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】，即，即，得，.由余弦定理得，由正弦定理，因此，.故選：B.【點睛】本題考

13、查三角形中角的正弦值的計算，考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。134【解析】由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.方法二：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.故答案為:.【點睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用,考查學(xué)生對基本不等式的靈活使用,難度較易.14【解析】問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓有公共點時，的取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果【詳解】解：直線，點，直線上存在點滿足，的軌跡方程是如圖，直線與圓有公共點，圓心到直線的距離：，解得實數(shù)的取值范圍為故答案為：【

14、點睛】本題主要考查直線方程、圓、點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題15【解析】先求出導(dǎo)數(shù)，再在定義域上考慮導(dǎo)數(shù)的符號為正時對應(yīng)的的集合，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為.，令，則，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：.故答案為：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，注意先考慮函數(shù)的定義域，再考慮導(dǎo)數(shù)在定義域上的符號，本題屬于基礎(chǔ)題.1620,21【解析】由題意知數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)值檢驗即可.【詳解】解: 由題意知數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成公差為的等差數(shù)列

15、,偶數(shù)項構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,則;.當(dāng)時, ,.當(dāng)時, ,.由此可知,滿足的正整數(shù)的所有取值為20,21.故答案為: 20,21【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項與求和公式,是綜合題,分清奇數(shù)項和偶數(shù)項是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）當(dāng)時，米時，發(fā)酵館的占地面積最??；當(dāng)時，時，發(fā)酵館的占地面積最?。划?dāng)時，米時，發(fā)酵館的占地面積最小.【解析】（1）設(shè)米，總費用為，解即可得解；（2）結(jié)合（1）可得占地面積結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分類討論即可求得最值.【詳解】（1）由題意知:矩形面積米，設(shè)米，則米，由題意知:，得，設(shè)總費用為，則，解得:，又，故，所以

16、發(fā)酵池邊長的范圍是不小于15米，且不超過25米；（2）設(shè)發(fā)酵館的占地面積為由（1）知:， 時，在上遞增，則，即米時，發(fā)酵館的占地面積最?。粫r，在上遞減，則，即米時，發(fā)酵館的占地面積最?。粫r，時，遞減；時，遞增，因此，即時，發(fā)酵館的占地面積最?。痪C上所述：當(dāng)時，米時，發(fā)酵館的占地面積最??；當(dāng)時，時，發(fā)酵館的占地面積最?。划?dāng)時，米時，發(fā)酵館的占地面積最小.【點睛】此題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)亟⒛Ｐ停煤瘮?shù)性質(zhì)討論最值取得的情況.18（1）證明見解析 （2）【解析】(1)先證，再證，由可得平面 ，從而推出平面 ；(2) 建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量與，坐標(biāo)代入線面角的正

17、弦值公式即可得解.【詳解】（1）證明：連接，由圖1知，四邊形為菱形，且，所以是正三角形，從而.同理可證，所以平面.又，所以平面，因為平面，所以平面平面.易知，且為的中點，所以，所以平面.（2）解：由（1）可知，且四邊形為正方形.設(shè)的中點為，以為原點，以，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的法向量為，由得取.設(shè)直線與平面所成的角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明，直線與平面所成的角，要求一定的空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.19（1）見解析，有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）【解析】（1）根據(jù)題意

18、填寫列聯(lián)表，利用公式求出，比較與6.635的大小得結(jié)論；（2）由樣本數(shù)據(jù)可得經(jīng)常閱讀的人的概率是，則，根據(jù)二項分布的期望公式計算可得；【詳解】解：（1）由題意可得：城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計14060200則，所以有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）根據(jù)樣本估計，從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中隨機抽取1人，抽到經(jīng)常閱讀的人的概率是，且，所以隨機變量的期望為.【點睛】本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題20（1）極小值為1，無極大值.實數(shù)k的值為1.（2）【解析】（1）將代入可得，求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)

19、性，即得極值；設(shè)是函數(shù)的一個“F點”（），即是的零點，那么由導(dǎo)數(shù)可知，且，可得，根據(jù)可得，設(shè)，由的單調(diào)性可得，即得.（2）方法一：先求的導(dǎo)數(shù)，存在兩個不相等的“F點”，可以由和韋達(dá)定理表示出，的關(guān)系，再由，可得的關(guān)系式，根據(jù)已知解即得.方法二：由函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和，可知，是關(guān)于x的方程組的兩個相異實數(shù)根，由得，分兩種情況：是函數(shù)一個“F點”，不是函數(shù)一個“F點”，進行討論即得.【詳解】解：（1）當(dāng)時， （），則有（），令得，列表如下：x10極小值故函數(shù)在處取得極小值，極小值為1，無極大值.設(shè)是函數(shù)的一個“F點”（）.（），是函數(shù)的零點.，由，得，由，得，即.設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)

20、增，注意到，所以方程存在唯一實根1，所以，得，根據(jù)知，時，是函數(shù)的極小值點，所以1是函數(shù)的“F點”.綜上，得實數(shù)k的值為1.（2）由（a，b，），可得（）.又函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和，是關(guān)于x的方程（）的兩個相異實數(shù)根.又，即，從而，即.，解得.所以，實數(shù)a的取值范圍為.（2）（解法2）因為（ a，b，）所以（）.又因為函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和，所以，是關(guān)于x的方程組的兩個相異實數(shù)根.由得，.（2.1）當(dāng)是函數(shù)一個“F點”時，且.所以，即.又，所以，所以.又，所以.（2.2）當(dāng)不是函數(shù)一個“F點”時，則，是關(guān)于x的方程的兩個相異實數(shù)根.又，所以得所以，得.所以，得.綜合（2.1）（2.2），實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，以及由函數(shù)的極值求參數(shù)值等，是一道關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合性題目，考查學(xué)生的分析和數(shù)學(xué)運算能力，有一定難度.21 () ，；() 為偶數(shù)時，為奇數(shù)時，；()證明見解析，【解析】()根據(jù)題意直接寫出答案.()討論當(dāng)為偶數(shù)時，最大為