2021-2022學年伊春市重點高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，設其前n項和，若（），則（ ）A30BCD622下列命題是真命題的

2、是（ ）A若平面，滿足，則；B命題：，則：，；C“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件；D命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”.3中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題；“三百七十八里關，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝才得到其關，要見每朝行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：“有一個人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達目的地，求該人每天走的路程.”由這個描述請算出這人第四天走的路程為（ ）A6里B12里C24里D48里4己知集合，則（ ）ABCD 5已知雙曲線的一個焦點為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標準方程為( )ABC

3、D6設，為兩個平面，則的充要條件是A內有無數(shù)條直線與平行B內有兩條相交直線與平行C，平行于同一條直線D，垂直于同一平面7已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（ ）ABC3D48設函數(shù)，若在上有且僅有5個零點，則的取值范圍為（ ）ABCD9某工廠只生產口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產量分別占、），根據(jù)該圖，以下結論一定正確的是（ ）A年該工廠的棉簽產量最少B這三年中每年抽紙的產量相差不明顯C三年累計下來產量最多的是口罩D口罩的產量逐年增加10的展開式中的常數(shù)項為( )A60B240C80D18011已知直線過雙曲線C

4、：的左焦點F，且與雙曲線C在第二象限交于點A，若（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為ABCD12已知，則的大小關系為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知無蓋的圓柱形桶的容積是立方米，用來做桶底和側面的材料每平方米的價格分別為30元和20元，那么圓桶造價最低為_元.14執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13，則輸入的x的值是_.15函數(shù)在的零點個數(shù)為_16已知為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上移動時，的內心的軌跡方程為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當時，證明：對；（2）若函

5、數(shù)在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍。18（12分）在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：cos2=4asin(a0)，直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,y=-1+22t（t為參數(shù)）.直線l與曲線C交于M，N兩點（I）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程（不要求具體過程）；（II）設P(-2,-1)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值19（12分）已知函數(shù)f(x)|x2|x1|.（）解不等式f(x)1；（）當x0時，若函數(shù)g(x)(a0)的最小值恒大于f(x)，求實數(shù)a的取值范圍20（12分）如圖，三棱臺的底面是正三角形，平面平面

6、，.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.21（12分）百年大計，教育為本.某校積極響應教育部號召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長班進行專項培訓.據(jù)統(tǒng)計有如下表格.（其中表示通過自主招生獲得降分資格的學生人數(shù)，表示被清華、北大等名校錄取的學生人數(shù)）年份（屆）2014201520162017201841495557638296108106123（1）通過畫散點圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關關系，求關于的線性回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）（2）若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學生人數(shù)為61人，預測2019年高考該校考人名校

7、的人數(shù)；（3）若從2014年和2018年考人名校的學生中采用分層抽樣的方式抽取出5個人回校宣傳，在選取的5個人中再選取2人進行演講，求進行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，22（10分）已知是等腰直角三角形,分別為的中點,沿將折起,得到如圖所示的四棱錐()求證：平面平面()當三棱錐的體積取最大值時,求平面與平面所成角的正弦值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】根據(jù)，分別令，結合等比數(shù)列的通項公式，得到關于首項和公比的方程組，解方程組求出首項和公式，最后利用等比數(shù)列前n項和

8、公式進行求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由題意可知中：.由，分別令，可得、，由等比數(shù)列的通項公式可得：，因此.故選：B【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用，考查了數(shù)學運算能力.2D【解析】根據(jù)面面關系判斷A；根據(jù)否定的定義判斷B；根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷C；根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面，滿足，則可能相交，故A錯誤；命題“：，”的否定為：，故B錯誤；為真，說明至少一個為真命題，則不能推出為真；為真，說明都為真命題，則為真，所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件，故C錯誤；命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”，故D正確；故選D【點睛】本題主要

9、考查了判斷必要不充分條件，寫出命題的逆否命題等，屬于中檔題.3C【解析】設第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程【詳解】設第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得（里，（里故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列的某一項的求法，考查等比數(shù)列等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎題4C【解析】先化簡，再求.【詳解】因為，又因為，所以，故選：C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算，還考查了運算求解能力，屬于基礎題.5B【解析】根據(jù)焦點所在坐標軸和漸近線方程設出雙曲

10、線的標準方程，結合焦點坐標求解.【詳解】雙曲線與的漸近線相同，且焦點在軸上，可設雙曲線的方程為，一個焦點為，故的標準方程為.故選：B【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.6B【解析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質定理即可作出判斷【詳解】由面面平行的判定定理知：內兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質定理知，若，則內任意一條直線都與平行，所以內兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的

11、錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤7A【解析】根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標，由此可得雙曲線的焦點坐標，由雙曲線的幾何性質可得，解可得，由離心率公式計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，拋物線的焦點為，則雙曲線的焦點也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程，關鍵是求出拋物線焦點的坐標，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平8A【解析】由求出范圍，結合正弦函數(shù)的圖象零點特征，建立不等量關系，即可求解.【詳解】當時，在上有且僅有5個零點，.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質，整體代換是解題的關鍵，屬于基礎題.9C【解析】

12、根據(jù)該廠每年產量未知可判斷A、B、D選項的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產量中所占的比重最大可判斷C選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】由于該工廠年至年的產量未知，所以，從年至年棉簽產量、抽紙產量以及口罩產量的變化無法比較，故A、B、D選項錯誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產的口罩占該工廠的總產量的比重是最大的，則三年累計下來產量最多的是口罩，C選項正確.故選：C.【點睛】本題考查堆積圖的應用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.10D【解析】求的展開式中的常數(shù)項，可轉化為求展開式中的常數(shù)項和項，再求和即可得出答案.【詳解】由題意，中常數(shù)項為，中項為，所以的展開式中的常數(shù)項為：.故選：D【點睛】本題

13、主要考查二項式定理的應用和二項式展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎題.11B【解析】直線的傾斜角為，易得設雙曲線C的右焦點為E，可得中，則，所以雙曲線C的離心率為.故選B12D【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質易得最小，利用作差法，結合對數(shù)換底公式及基本不等式的性質即可比較和的大小關系，進而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質可知，由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質可知，所以最??；而由對數(shù)換底公式化簡可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.【點睛】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡變形，對數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應用，作差法比較大小，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題

14、5分，共20分。13【解析】設桶的底面半徑為，用表示出桶的總造價，利用基本不等式得出最小值.【詳解】設桶的底面半徑為，高為，則，故，圓通的造價為解法一： 當且僅當，即時取等號.解法二：，則，令，即，解得，此函數(shù)在單調遞增；令，即，解得，此函數(shù)在上單調遞減； 令，即，解得，即當時，圓桶的造價最低.所以 故答案為：【點睛】本題考查了基本不等式的應用，注意驗證等號成立的條件，屬于基礎題.148【解析】根據(jù)偽代碼逆向運算求得結果.【詳解】輸入，若，則，不合題意若，則，滿足題意本題正確結果：【點睛】本題考查算法中的語言，屬于基礎題.15【解析】求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點個數(shù)【詳解】詳

15、解：由題可知，或解得,或故有3個零點【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質和函數(shù)的零點，屬于基礎題16【解析】考查更為一般的問題：設P為橢圓C:上的動點，為橢圓的兩個焦點，為PF1F2的內心，求點I的軌跡方程解法一：如圖，設內切圓I與F1F2的切點為H，半徑為r，且F1H=y，F(xiàn)2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，則.直線IF1與IF2的斜率之積：，而根據(jù)海倫公式，有PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義，可得I點的軌跡是以F1F2為長軸，離心率e滿足的橢圓，其標準方程為.解法二：令，則三角形PF1F2的面積：，其中r為內切圓的半徑，解得.另一方面，由內切圓的性質及焦半徑公式得：從

16、而有消去得到點I的軌跡方程為：.本題中：，代入上式可得軌跡方程為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (1)見證明；(2) 【解析】（1）利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，進而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結論；（2）問題轉化為導函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導函數(shù)的單調性及值域，從而得到結論.法二：構造函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性求得函數(shù)的值域，再利用零點存在定理說明函數(shù)存在極值【詳解】(1)當時，于是，.又因為，當時，且.故當時，即. 所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，于是，.因此，對，；(2) 方法一：由題意在上存在極值，則在上存在

17、零點，當時，為上的增函數(shù)，注意到，所以，存在唯一實數(shù)，使得成立. 于是，當時，為上的減函數(shù)；當時，為上的增函數(shù)；所以為函數(shù)的極小值點； 當時，在上成立，所以在上單調遞增，所以在上沒有極值；當時，在上成立，所以在上單調遞減，所以在上沒有極值， 綜上所述，使在上存在極值的的取值范圍是.方法二：由題意，函數(shù)在上存在極值，則在上存在零點.即在上存在零點. 設，則由單調性的性質可得為上的減函數(shù).即的值域為，所以，當實數(shù)時，在上存在零點.下面證明，當時，函數(shù)在上存在極值.事實上，當時，為上的增函數(shù)，注意到，所以，存在唯一實數(shù)，使得成立.于是，當時，為上的減函數(shù)；當時，為上的增函數(shù)；即為函數(shù)的極小值點.綜上

18、所述，當時，函數(shù)在上存在極值.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，涉及函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，函數(shù)的最值的求法，考查構造法的應用，是一道綜合題18（I）x2=4aya0，x-y+1=0；（II）14.【解析】（I）利用所給的極坐標方程和參數(shù)方程，直接整理化簡得到直角坐標方程和普通方程；（II）聯(lián)立直線的參數(shù)方程和C的直角坐標方程，結合韋達定理以及等比數(shù)列的性質即可求得答案.【詳解】（I）曲線C：cos2=4asin(a0)，兩邊同時乘以可得2cos2=4asin(a0)，化簡得）x2=4aya0；直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,y=-1+22t（t為參數(shù)），可得x-y=-1，得x-y

19、+1=0；（II）將x=-2+22t,y=-1+22t（t為參數(shù)）代入x2=4aya0并整理得t2-42(a+1)t+8(a+1)=0韋達定理：t1+t2=42(a+1),t1t2=8(a+1)0 由題意得MN2=PMPN 即t1-t22=t1t2 可得(t1+t2)2-4t1t2=t1t2 即32(a+1)2=40(a+1),a0 解得a=14【點睛】本題考查了極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標和普通方程的互化，以及參數(shù)方程的綜合知識，結合等比數(shù)列，熟練運用知識，屬于較易題.19（）；（）?！窘馕觥浚ǎ┓诸愑懻摚サ艚^對值，求得原絕對值不等式的解集；（）由條件利用基本不等式求得，再由，求得的范圍

20、【詳解】（）當時，原不等式可化為，此時不成立；當時，原不等式可化為，解得，即；當時，原不等式可化為，解得.綜上，原不等式的解集是 （）因為，當且僅當時等號成立，所以.當時，所以所以，解得，故實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的解法，以及轉化與化歸思想，難度一般；常見的絕對值不等式的解法，法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想20（）見證明；（）【解析】（）取的中點為，連結，易證四邊形為平行四邊形，即，由于，為的中點，可得到，從而得到，即可證明平面，從而得到；（）易證，兩兩垂直，以，分別為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，設與平面所成角為，則，即可得到答案【詳解】解：（）取的中點為，連結.由是三棱臺得，平面平面，從而.，四邊形為平行四邊形，.，為的中點，.平面平面，且交線為，平面，平面，而平面，.（）連結.由是正三角形，且為中點，則.由（）知，平面，兩兩垂直.以，分別為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，.設平面的一個