高觀點下中學(xué)數(shù)學(xué)_分析學(xué)資料練習(xí)題答案

1、. .PAGE16 / NUMPAGES16高觀點下中學(xué)數(shù)學(xué)分析學(xué)練習(xí)題一參考答案一、填空題1.，2.，3. 滿射，4.代數(shù)數(shù)，5.，6.下凸7.傳遞的；8.雙射；9.；10.1）;11.1）， 12.。13.；14、甲，乙，甲，乙；15、單射；16、未知函數(shù)；17、；18、上凸; 19.傳遞性； 20.； 21.可導(dǎo)； 22.；23.；24.（其中為常數(shù)）.25； 26.； 27.有； 28.收斂的子列； 29.；30.二、單項選擇題1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.C；8.C；9.D；10.B；11. D；12. A13.D; 14.B; 15.C; 16.C; 17.D

2、; 18. A; 19.C; 20.B; 21.A; 22.B; 23.D ;24.A; 25D； 27B； 27. A；28.C； 29.D；30.A 三、計算題1解 ， 2分， 7分故 8分2設(shè)，則， 3分代入得 8分3解 3分令，得，易驗證是極大值點，是極小值點， 6分極大值，極小值 8分4.解 顯然，且，即數(shù)列，單調(diào)增加且有上界，故存在，設(shè)，由可得， 5分即，解得5.解 首先計算過點的切線的斜率 4分所求的切線方程為即 8分6.解 已知 （1）將代替，得 （2） 4分得 8分7.解 已知在，是上凸函數(shù)，由上凸函數(shù)的定義有 5分即 而且當(dāng)時，故是的最小值。 8分8.解 設(shè)，則 3分因，故

3、9.解 因為,故有 5分所以有 8分10.解由方程可得，由得，即 8分11.解 已知，對兩端關(guān)于求導(dǎo)，得 4分由 8分12. 解 已知 （1）令，即，得 （2）（2）得 6分 即，13. 解 方程兩邊對求導(dǎo)，求出，即 3分 5分于是，切線方程為 或 8分14. 解 由已知 4分 8分15. 解 由有 8分16.解 因為在是上凸函數(shù)，所以由上凸函數(shù)的定義有即有. 6分當(dāng)取時，故是函數(shù)的最小值.17解則， =所以 =0 該結(jié)果的幾何意義是平行四邊形的對角線的平方之和等于四條邊長的平方之和。 18解 已知,故19解 令，求的最小值 3分 =，故單調(diào)增加 5分 7分當(dāng)時，故單調(diào)增加 8分20解 設(shè)，則

4、 2分從而有面積 3分令 5分得，即時，為最小值且四、證明題1. 證明：（1）若設(shè)表示的補(bǔ)集，則有 4分（2） 8分 2. 證明：，有，故，即是的一個上界.，使得，即存在，使得故 8分3.證明：設(shè)，則，即是嚴(yán)格下凸，根據(jù)有 8分4.證明：令，則是上的連續(xù)函數(shù).若，則選取結(jié)論得證.若，則選取結(jié)論得證. 4分否則有，則，由介值定理，存在，使得，即. 8分5.證明（1）因是滿射，即,進(jìn)一步有，故是滿射。 4分（2）采用反證法。假設(shè)不是滿射，即，則存在，但。設(shè)，使，由于是單射，故，即，這與是滿射矛盾。說明假設(shè)矛盾，即是滿射。 8分6.證明 ，因為在點連續(xù)，故存在，當(dāng)時，有由絕對值不等式的 4分故對任意

5、的，當(dāng)時，有即在點連續(xù)。 8分7.證明：設(shè)，則是上的連續(xù)函數(shù)，且由介值定理，至少存在一點，使。 4分 由得，當(dāng)時，。即在嚴(yán)格單調(diào)增加。故有且僅有一點，使，即方程在有且僅有一實根。 8分8.證明 采用反證法。假設(shè)是周期函數(shù)，因是連續(xù)函數(shù)且不是常值，故具有最小正周期，設(shè)為。選取自然數(shù)，使得。故存在使 4分另一方面，對于，有這與式矛盾。故不是周期函數(shù)。 8分9. 證明：對于，有令，則得， 6分由的任意性知，。 8分10. 證明：用表示的補(bǔ)集，則= = 4分= = 8分11. 已知在上連續(xù)，故在有最大值與最小值，從而有 4分由介值定理，存在，使 8分12設(shè)，對于，我們有，即在是嚴(yán)格下凸函數(shù)，故對于有

6、6分代入得 8分13. 證明 先證是單射.假設(shè)不是單射，則存在，使得，但.根據(jù)已知條件有與假設(shè)矛盾，故是單射. 4分再證是滿射.一方面，另一方面，由有即，故是滿射. （證畢） 8分14. 證明：因，對于，當(dāng)時，有，即 4分因是上的連續(xù)函數(shù)，故存在，使得當(dāng)時， 選取，從而有對于，有，所以在上有界. （證畢） 8分15. 證明：“充分性”當(dāng)，時，即.4分“必要性”反證法，假設(shè)，不妨設(shè)，則次代數(shù)方程至多有個實根.另一方面，由于在區(qū)間相等，即對于，有，這表明它有無窮多個實根，這與它至多有個實根矛盾.故.若但，因至多有個實根；另一方面，由，對任意的，有，即有無窮多是的實根，這與它至多有個實根矛盾.（證畢

7、）8分16. 證明：設(shè)，則 且對于，有，顯然有，即 6分由教材中定理知，當(dāng)時，即有17證明：設(shè),由于是等價關(guān)系，故 2分 從而有使得，進(jìn)而有，即 6分此即表明，同理有故 8分18證明：設(shè) 2分是區(qū)間的連續(xù)函數(shù)，故至少存在一點使 5分即在嚴(yán)格單調(diào)增加，故只有唯一的使 8分19.證明：設(shè)，顯然有 6分當(dāng)時，顯然有，故當(dāng)時， 8分20. 證明：設(shè)是三角形的三個角，故 2分根據(jù)在是上凸函數(shù)，故有 6分即 高觀點下中學(xué)數(shù)學(xué)分析學(xué)練習(xí)題二參考答案一、填空題1. 2. 3.有4.中存在有限個開區(qū)間也覆蓋了閉區(qū)間5. 6.0 7反身的、對稱的、傳遞的。 8.，使得，9 10.11212. ，有(或者:中任意兩

8、點的連線在中)。13等價關(guān)系14，使得151617線性18二、單項選擇題1C 2B 3D 4A 5B 6A7A8C9 C 10D 11D 12B 13D 14C 15D 16A 17B 18D三、計算題1.解 4分= 8分2.解 4分，由 6分 得 8分3.解 設(shè)物體時刻的距離地面的高度為 2分則 4分其中，從而到達(dá)地面的時刻為， 6分，即物體撞擊地面的速度是米/秒 8分4.解 的定義域為 3分令，的極大值就是的極小值，而的極小值就是的極大值 4分，當(dāng)時，是的極小值點，是的極大值點，即是極大值。 6分當(dāng)時，故是的極小值點，是的極大值點，即是極大值 5 解 6分= 8分6 解當(dāng)時， 故 是垂?jié)u近

9、線。（2分）= （4分）= （6分）故斜漸近線方程為 （8分）7解 + （8分）8令 求穩(wěn)定點得是穩(wěn)定點 （4分） 故是最小值點 9解： （8分）11解 （5分） 故 （8分）12解 （4分） = （6分） （8分）四、證明題 1.證明先來證明，事實上，設(shè)，則，由傳遞性，我們得 4分 其次，若，則，由傳遞性，即 6分表明 7分同理有，即 8分2.證明 因為三角形的三個角，故有， 2分根據(jù)在是上凸函數(shù) 4分故有即 8分 3.證明：設(shè)，顯然有 3分當(dāng)時，顯然有，而當(dāng)時，故 5分 而對于與，有 6分由已經(jīng)證明得，當(dāng)時， ，即 ，故有，故 8分 4. 證明。 因是的最小正周期，故 2分假設(shè)不是的正整數(shù)

10、倍，則存在正整數(shù)與正實數(shù)，使得，其中 4分對于定義域中的任意，有 6分即表明是的一個正周期，這與是最小正周期矛盾。 5證明：設(shè) 當(dāng)時， （2分） （4分）當(dāng)x0時 即 （6分）即當(dāng)x0時， （7分）故 即 （8分）6證明：因，故存在N，當(dāng)時 （2分）即有，一般地有（5分）.根據(jù)收斂（6分），故有而 故收斂，（7分） 所以收斂。（8分）7證明：已知f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，故存在M，m，使得，有（2分），故（4分），根據(jù)故有(6分)，由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，存在，使（8分）8證明：已知在是上凸函數(shù)（2分），故對于，有 （6分）故 （8分）9證明：因，故存在N，當(dāng)時， （3分）即時，有 （4分） 因為級數(shù)收斂。（6分），故有。因收斂（7分），故收斂。 （8分）10證明：已知f(x)在