精品全面高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、. z.教師版高中數(shù)學(xué)必修- +選修知識(shí)點(diǎn)歸納引言1.課程容：必修課程由 5 個(gè)模塊組成：必修 1 ：集合、函數(shù)概念與根本初等函數(shù)指、 對(duì)、冪函數(shù)必修 2 ：立體幾何初步、平面解析幾何初步。 必修 3 ：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。必修 4：根本初等函數(shù)三角函數(shù)、平面向量、 三角恒等變換。必修 5 ：解三角形、數(shù)列、不等式。以上是每一個(gè)高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。 上述容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)根底知識(shí)和根本技能的主要局部，其中包括集合、函 數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、 平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好根 底的同時(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些知識(shí)的發(fā)生、開 展過程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做

2、過 高的要求。此外，根底容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng) 計(jì)等容。選修課程有 4 個(gè)系列：系列 1：由 2 個(gè)模塊組成。選修 1 1 ：常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線與方程、 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。選修 12：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)大與復(fù)數(shù)、框圖系列 2：由 3 個(gè)模塊組成。選修 2 1 ：常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線與方程、 空間向量與立體幾何。選修 22：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系 的擴(kuò)大與復(fù)數(shù)選修 23：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列， 統(tǒng)計(jì)案例。系列 3：由 6 個(gè)專題組成。選修 3 1 ：數(shù)學(xué)史選講。選修 32 ：信息平安與密碼。選修 33 ：球面上的幾何。選修 34 ：對(duì)稱與群。選修 3 5 ：

3、歐拉公式與閉曲面分類。選修 36 ：三等分角與數(shù)域擴(kuò)大。系列 4：由 10 個(gè)專題組成。選修 4 1 ：幾何證明選講。選修 42 ：矩陣與變換。選修 43 ：數(shù)列與差分。選修 44 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。選修 4 5 ：不等式選講。選修 46 ：初等數(shù)論初步。選修 47 ：優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步。選修 4 8 ：統(tǒng)籌法與圖論初步。選修 49 ：風(fēng)險(xiǎn)與決策。選修 4 10 ：開關(guān)電路與布爾代數(shù)。2 重難點(diǎn)及考點(diǎn)：重點(diǎn)： 函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)難點(diǎn)： 函數(shù)、圓錐曲線高考相關(guān)考點(diǎn)：集合與簡(jiǎn)易邏輯:集合的概念與運(yùn)算、簡(jiǎn)易邏 輯、充要條件函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域

4、、 值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函 數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)與對(duì) 數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù) 列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 簡(jiǎn)、證明、三角函數(shù)的圖象與性 質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、 數(shù)量積及其應(yīng)用不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式 的證明、不等式的解法、絕對(duì)值不 等式、不等式的應(yīng)用直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位 置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、 直線與圓的位置關(guān)系. z.圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直 - 1.2.1、函數(shù)的概念線與圓錐曲線的位置關(guān)系、

5、 1 、 設(shè) A 、B 是非空的數(shù)集，如果按照*種確定的對(duì)應(yīng)軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用 關(guān)系 f ，使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù)x ，在集直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體：空間直線、直線 合 B 中都有惟一確定的數(shù) f(x)和它對(duì)應(yīng)， 則就稱棱錐、球、空間向量 y = f(x), x = A .與平面、平面與平面、棱柱、 f : A ) B 為集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)，記作：2 、 一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域一樣，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二 項(xiàng)式定理及其應(yīng)用 全一致，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等.概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、 1.

6、2.2、函數(shù)的表示法抽樣、正態(tài)分布 1 、 函數(shù)的三種表示方法： 解析法、圖象法、列表法.導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1.3.1、單調(diào)性與最大小值復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算 1 、注意函數(shù)單調(diào)性的證明方法：必修 1 數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) (1法一：f 2, x1在2是增函數(shù)；1 2第一章：集合與函數(shù)概念 f (x ) 一 f (x ) 0 一 f (x)在a, b 上是減函數(shù).1 2 1.1.1、集合 步驟：取值作差 變形 定號(hào) 判斷1 、 把研究的對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總 格 式 ： 解 ： 設(shè) x , x =a, b且 x 0 ，則 f (x) 為增函數(shù)；2 、 只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素

7、是一樣的，就稱這兩個(gè) 集合相等。假設(shè) f ,(x) 1, n 仁 N+ .2 、 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， n an = a ；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， n an = a .3 、 我們規(guī)定：n a m = m a n(a 0, m, n 仁 N * , m 1)； a 一n = 1 (n 0)；a n4 、 運(yùn)算性質(zhì)：ar a s = a r +s (a 0, r, s 仁 Q)； (a r )s = a rs (a 0, r, s 仁 Q)； (ab)r = a r b r (a 0, b 0, r 仁 Q).2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1 、記住圖象： y = a x (a 0, a 士 1)y=a

8、x2、性質(zhì)： y2.2.1、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算1、指數(shù)與對(duì)數(shù)式1： x 1N 一 x = loga N ；o xa 1 0 想 a 想 11 10-4-2-4-20- 1- 1(1)定義域： R性 2值域：0 ，+質(zhì) 3過定點(diǎn)0， 1，即*=0 時(shí)， y=14在 R 上是增函數(shù) 4在 R 上是減函數(shù)(5) x 0, ax 1 ; (5) x 0,0 想 ax 想 1 ;x 想 0, 0 想 ax 想 1 x 想 0, ax 12、對(duì)數(shù)恒等式： alogaN = N .3、根本性質(zhì)： log 1 = 0 ， log a = 1 . a a圖 象性 質(zhì)4、運(yùn)算性質(zhì)：當(dāng) a 0, a 豐 1, M 0,

9、 N 0 時(shí)： log (MN )= log M + log N ；a a a loga (|( )| = log a M 一 log a N ； log M n = n log M .a a5、換底公式： log b = log bca log ac(a 0, a 豐 1, c 0, c 豐 1, b 0).6、重要公式： log bm = m log b an n a7、倒數(shù)關(guān)系： log a b = 1logab (a 0, a 豐 1, b 0, b 豐 1).2.2.2、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1 、記住圖象： y = log x(a 0, a 豐 1) a2、性質(zhì)： ya 10 a 1y=

10、logax0a10.50.50110- 1- 1-0.5-0.5- 1- 1- 1.5- 1.5-2-2-2.5-2.5(1) 定義域：0，+2值域： R3過定點(diǎn)1 ，0，即*=1 時(shí)， y=0( 4)x 1,0l，ox ( 4)x10,，l 數(shù) 0 x 1,alog x 0 0 x 02.3、冪函數(shù)a a1 、幾種冪函數(shù)的圖象：第三章：函數(shù)的應(yīng)用 3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、方程 f(x)= 0 有實(shí)根一 函數(shù) y = f (x)的圖象與x 軸有交點(diǎn)一 函數(shù) y = f (x)有零點(diǎn).2 、 零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù) y = f (x)在區(qū)間 a, b 上的圖象是連續(xù)不斷.-的一條曲

11、線，并且有 f(a). f (b) r 一 相離 一 編 0 ;d = r 一 相切 一 編 = 0 ;d 0 .弦長(zhǎng)公式：l = 2 r 2 - d 23、兩圓位置關(guān)系： d = O O 1 2外離： d R + r ；外切： d = R + r ；相交： R - r d R + r ；切： d = R - r ；含： d 0,O 0)有：振幅 A，周2冗期 T = ，初相Q ，相位 Ox +Q ，頻率 f = 1 = O .O T 2冗2、能夠講出函數(shù) y = sin x 的圖象與y = Asin(Ox +Q)+ B 的圖象之間的平移伸縮變換關(guān)系. 先平移后伸縮：y = sin x 平移

12、| Q | 個(gè)單位 y = sin(x +Q )左加右減y = Asin(x +Q )橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 A 倍y = Asin(Ox +Q)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 | 1 | 倍Oz. z.*R(A,o , Q 為常數(shù)，且 A0)的周期T = | ；函數(shù)且 A0)的周期T = | o | .1 、 sin(a + b)= sina cosb + cosa sin b2 、 sin(a _ b)= sina cosb _ cosa sin b3 、 cos(a + b)= cosa cosb _ sina sin b4 、 cos(a _ b)= cosa cosb + sina

13、sin b5 、 tan(a + b)= .6 、 tan(a _ b)= .變形： sina cosa = 1 sin 2a .|l1_ cos 2a = 2sin 2 a平移|B | 個(gè)單位 y = Asin(ox +Q)+ B上加下減 先伸縮后平移：y = sin x 橫坐標(biāo)不變 y = Asin x縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 A 倍y = Asino x縱坐標(biāo)不變1橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 | | 倍平移 Q 個(gè)單位 y = Asin(ox +Q)o左加右減o平移|B | 個(gè)單位 y = Asin(ox +Q)+ B上加下減3、三角函數(shù)的周期，對(duì)稱軸和對(duì)稱中心函數(shù) y = sin(ox +Q) ，*R

14、及函數(shù) y = cos(ox +Q) ，y = tan(ox +Q) ， x 豐 k爪 + 爪 , k = Z (A, Q 為常數(shù)，2爪對(duì) 于 y = Asin(ox +Q) 和 y = Acos(ox +Q) 來(lái) 說(shuō)， 對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系. 求函數(shù) y = Asin(ox +Q) 圖像的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心，只需令 ox +Q = k爪 + 爪 (k = Z) 與ox +Q = k爪 (k = Z)2解出 x 即可.余弦函數(shù)可與正弦函數(shù)類比可得.4、由圖像確定三角函數(shù)的解析式利用圖像特征： A = y _ ymaxmin ， B = 2 2 .o 要根據(jù)周期來(lái)求, Q 要用

15、圖像的關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)求. 1.6、三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用1 、 要求熟悉課本例題.第三章、三角恒等變換 3.1.1、兩角差的余弦公式記住 15的三角函數(shù)值：sin a cosa tan a6 _ 2 6 + 2 2 _ 34 4爪 12a3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式- 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1 、 sin 2a = 2sina cosa ，22 、 cos 2a = cos2 a _ sin 2 a.= 1 _ 2sin2 a變形如下：升冪公式： (|1+ cos 2a = 2cos 2 a降冪公式： 3 、 tan 2a = 2 tana .21 _ tan a4

16、 、 tana = 1+ cos 2a = sin 2a 3.2、簡(jiǎn)單的三角恒等變換1 、 注意正切化弦、平方降次.2、輔助角公式sin 2a 1_ cos 2a 其 中 輔 助 角 Q 所 在 象 限 由 點(diǎn) (a, b) 的 象 限 決定, tan Q = b ).a第二章：平面向量2.1.1、向量的物理背景與概念1 、 了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度.2 、 既有大小又有方向的量叫做向量.2.1.2、向量的幾何表示1 、 帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.2、 向量 AB 的大小，也就是向量AB 的長(zhǎng)度或稱模，記作 AB ；長(zhǎng)度為零的向量叫做零

17、向量；長(zhǎng)度等于 1 個(gè)單位的向量叫做單位向量.3 、 方向一樣或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量 .規(guī)定：零向量與任意向量平行.2.1.3、相等向量與共線向量1 、 長(zhǎng)度相等且方向一樣的向量叫做相等向量.2.2.1、向量加法運(yùn)算及其幾何意義1 、 三角形加法法則和平行四邊形加法法則.2 、 a + b a + b .2.2.2、向量減法運(yùn)算及其幾何意義1 、 與 a 長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2 、 三角形減法法則和平行四邊形減法法則.2.2.3、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義1 、 規(guī)定：實(shí)數(shù)入 與向量 a 的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘 .記作： 入a ，它的長(zhǎng)度和方

18、向 規(guī)定如下： 入a = 入 a ,當(dāng) 入 0 時(shí), 入a 的方向與 a 的方向一樣；當(dāng) 入 b 一 sin A sinB 一 A B;假 設(shè) sin 2A = sin 2B, 則A = B或A+ B = . 特 別 注 意，在三角函數(shù)中， sin A sin B 一 A B 不成立。第二章：數(shù)列1、數(shù)列中a 與 S 之間的關(guān)系： n n(S , (n = 1)an =lS - Sn-1 ,( n 2). 注意通項(xiàng)能否合并。2、等差數(shù)列：定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即a a =d ，nn n-12 ，nN +，則這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。等差中項(xiàng)：假設(shè)

19、三數(shù)a、A、b 成等差數(shù)列一 A = 2a + b通項(xiàng)公式： a = a + (n - 1)d = a + (n - m)d n 1 m或 a = pn + q (p 、q是常數(shù)) .nS 一 S 、 S 一 S 是等比數(shù)列.前 n 項(xiàng)和公式：常用性質(zhì)：假設(shè) m+ n = p + q (m, n, p, q = N+ )，則 a + a = a + a ；下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng) (a , a , a , )，仍組成 k k +m k +2mm n p q等差數(shù)列；數(shù)列 入a +b 入 , b 為常數(shù)仍為等差數(shù)列； n假設(shè)a 、b 是等差數(shù)列，則ka 、ka + pb n n n n np+nq(k

20、 、 p 是非零常數(shù)) 、a (p, q =N* ) 、，也成等差數(shù)列。單調(diào)性： a 的公差為d ，則： d 0 一 a 為遞增數(shù)列； d 0,q 1或a 0,0 q 0,0 q 1或a 1亭 a 為遞減數(shù)列；1 1 nq = 1亭 a 為常數(shù)列；nq 2) 構(gòu)造兩式作差求解。用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二， 即分段式； 另一種是 “合二為一， 即 a 和1a 合為一個(gè)表達(dá)， 要先分n = 1 和 n 2 兩種情況分n別進(jìn)展運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。類型累加法：形如 a = a + f (n) 型的遞推數(shù)列 其中 f (n) 是關(guān) n+1 n z. z.f (n) an1 f

21、(n) 型的遞推數(shù)列其 an an f (n 1)an1中 f (n) 是關(guān)于 n 的函數(shù) 可構(gòu)造： a2 f (1) a1將上述 n 1 個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求. 方法 有如下兩種：法一： 設(shè) a p(a ) ,展開移項(xiàng)整理得 p 1 ,( p 0) an1 p 1 p(an p 1) an p 1 p(an1 p 1) , 即 a n 構(gòu)成以 a q 為首項(xiàng)，以 p 為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出 a n 的通項(xiàng)整理可n n1a a f (n 1)a a f (n 2)于n 的函數(shù)可構(gòu)造： n1 n2.a2 a1 f (1)將上

22、述 n 1個(gè)式子兩邊分別相加，可得：a f (n 1) f (n 2) .f (2) f (1) a ,( n 2)n 1假設(shè) f (n) 是關(guān)于 n 的一次函數(shù)， 累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和; 假設(shè) f (n) 是關(guān)于 n 的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;假設(shè) f (n) 是關(guān)于 n 的二次函數(shù)， 累加后可分組求和;假設(shè) f (n) 是關(guān)于 n 的分式函數(shù)， 累加后可裂項(xiàng)求和.類型累乘法：形如 a a n1 n.a f (n 1) f (n 2) . f (2) f (1)a ,( n 2)n 1有時(shí)假設(shè)不能直接用，可變形成這種形式，然后用 這種方法求解。類型構(gòu)造數(shù)列法：形如 a p

23、a q 其中 p, q 均為常數(shù)且 p 0 n1 n型的遞推式：1假設(shè) p 1 時(shí)，數(shù)列a 為等差數(shù)列;n2假設(shè)q 0 時(shí)，數(shù)列a 為等比數(shù)列;n-3假設(shè) p 1 且 q 0 時(shí)， 數(shù)列a 為線性遞推數(shù)nn1 na pa (p 1) , 與題設(shè)a pa q 比擬系n1 n n1 n數(shù)待定系數(shù)法得1 p 1得 an .相減并整理得 n1an p, 即 an1 an 構(gòu)成以法二： 由 an1 pan q 得 an pan1 q(n 2) 兩式n n1a a 為首項(xiàng)，以 p 為公比的等比數(shù)列. 求出n1 n 1a 的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型累加法 便可求出 an .n1 n形如 a pa f (n) (p

24、1) 型的遞推式：當(dāng) f (n) 為一次函數(shù)類型即等差數(shù)列時(shí)：法一： 設(shè) a An B p a A(n 1) B ，n n1通過待定系數(shù)法確定A 、B 的值， 轉(zhuǎn)化成以 a A B1為首項(xiàng)， 以 p 為公比的等比數(shù)列a An B ，再利n用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出 a An B 的通項(xiàng)整n理可得 an .法二： 當(dāng) f (n) 的公差為 d 時(shí)，由遞推式得：. z.b = n ，得： b = b + 再應(yīng)用類型的方還有形如 a = man 的遞推式， 也可采用取倒數(shù)方a = pa + f (n) ， a = pa + f (n 一 1) 兩式相減n+1 n n n一1得： a 一 a = p(a

25、 一 a ) + d ，令b = a 一 a 得：n+1 n n n一1 n n+1 nb = pb + d 轉(zhuǎn)化為類型求出b ， 再用類型n n一1 n累加法 便可求出 an .當(dāng) f (n) 為指數(shù)函數(shù)類型即等比數(shù)列時(shí)：法一： 設(shè) a + 入f (n) = pa + 入f (n 一 1)，通過n n一1待定系數(shù)法確定入 的值， 轉(zhuǎn)化成以 a + 入 f (1) 為首項(xiàng)，1以 p 為公比的等比數(shù)列a +入f (n)，再利用等比數(shù)n列的通項(xiàng)公式求出 an +入f (n)的通項(xiàng)整理可得an .法二： 當(dāng) f (n) 的公比為 q 時(shí)，由遞推式得：a = pa + f (n) ， a = pa +

26、 f (n 一 1) ，兩n+1 n n n一1邊同時(shí)乘以q 得a q = pqa + qf (n 一 1) ，由n n一1兩式相減得 a 一 a q = p(a 一 qa ) ，即 n+1 n n n一1 = p ，在轉(zhuǎn)化為類型便可求出an .法三： 遞推公式為 a = pa + q n 其中 p，q 均n+1 n為常數(shù) 或 a = pa + rqn 其中 p，q, r 均為常數(shù)n+1 n時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以qn+1 ，得：an+1 = p an + 1 ， 引入輔助數(shù)列 b 其中q n+1 q q n q na p 1n qn n+1 q n q法解決。當(dāng) f (n) 為任意數(shù)

27、列時(shí)，可用通法：在 a = pa + f (n) 兩邊同時(shí)除以 pn+1 可得到n+1 n-a a f (n) a f (n)n+1 = n + ，令 n = b ，則b = b + ，pn+1 pn pn+1 pn n n+1 n pn+1在轉(zhuǎn)化為類型 累加法，求出 bn 之后得an = pnbn .類型對(duì)數(shù)變換法：形如 a = paq (p 0,a 0) 型的遞推式：n+1 n在原遞推式 a = paq 兩邊取對(duì)數(shù)得n+1lg a = q lga + lg p ，令b = lg a 得：n+1 n n nb = qb + lg p ，化歸為 a = pa + q 型，求出bn+1 n n+

28、1 n n之后得 a = 10bn. 注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)n題意選擇 。類型倒數(shù)變換法：形如 a 一 a = pa a p 為常數(shù)且 p 才 0 的遞推n一1 n n一1 n1 1式： 兩邊同除于 a a ，轉(zhuǎn)化為 = + p 形式，n 一1 n a an n一1化歸為 a = pa +q 型求出 1 的表達(dá)式，再求 a ；an+1 n nnn+1 pa + qna1 = + 形式， 化歸為 +qn+1 n法轉(zhuǎn)化成型求出 1 的表達(dá)式，再求 an . an類型 形如 a = pa + qa 型的遞推式：n+2 n+1 n 用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列 a 一 a 的形式n n一1 求

29、解。 方法為： 設(shè) a 一 ka = h(a 一 ka ) ，比擬n+2 n+1 n+1 n系數(shù)得h + k = p,一hk = q ，可解得h 、k ，于是a 一 ka 是公比為 h 的等比數(shù)列，這樣就化歸為n+1 na = pa + q 型。n+1 n總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上1 1 1 11 1 1 1不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列， 可用歸納、猜測(cè)、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公a式n.5、非等差、等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的求法錯(cuò)位相減法假設(shè)數(shù)列 a 為等差數(shù)列，數(shù)列 b 為等比數(shù) n n列，則數(shù)列 an .bn 的求和就要采用此法.將數(shù)列 an .bn 的每一項(xiàng)分

30、別乘以 bn 的公比， 然后在錯(cuò)位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列 an .bn 的前 n 項(xiàng)和.此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方 法.裂項(xiàng)相消法一般地，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)cn (an + b )(an + b ) 1 2a = (a, b , b , c為常數(shù)) 時(shí)，往往1 2可將 a 變成兩項(xiàng)的差，采用裂項(xiàng)相消法求和.n可用待定系數(shù)法進(jìn)展裂項(xiàng)：入 入設(shè) a = 一 ，通分整理后與原式相n an + b an + b1 2c比擬，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得入 = ，從而可得b 一 b2 1常見的拆項(xiàng)公式有：1 1 1 = 一 ；n(n +1) n n +1 = ( 一 ); (2n 一 1)(2n +

31、1) 2 2n 一 1 2n +1 = ( a 一 b ); a + b a 一 b1 1 Cm一1 = Cm 一 Cm ; n n+1 nn . n! = (n +1)!一 n!.-分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列， 假設(shè)將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或 常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分 兩步：找通向項(xiàng)公式由通項(xiàng)公式確定如何分組.倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列 a ，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于n首末兩項(xiàng)之和， 則可用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式 相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征： a + a = a + a = .1 n 2

32、 n一1記住常見數(shù)列的前n 項(xiàng)和：1+ 2 + 3+ . + n = n(n +1); 21+ 3 + 5 + . + (2n 一 1) = n2 ;112 + 22 + 32 + . + n2 = n(n +1)(2n +1).6第三章：不等式 3.1、不等關(guān)系與不等式1、不等式的根本性質(zhì)對(duì)稱性 a b 一 b a傳遞性 a b, b c 亭 a c可加性 a b 一 a + c b+ c同向可加性 a b,c d 亭 a + c b + d 異向可減性 a b,c b 一 d可積性 a b,c 0 亭 ac bc同向正數(shù)可乘性 a b 0,c d 0 亭 ac bd異向正數(shù)可除性 a b

33、0,0 c bc d平方法則 a b 0 亭 an bn (n = N , 且n 1)開方法則 a b 0 亭 n a n b(n = N , 且n 1)倒數(shù)法則 a b 0 亭 ; a b a b a b2、幾個(gè)重要不等式 a2 + b2 2ab (a，b = R) , 當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)取 = 號(hào) . 變形公式： ab 共a2 + b22 .z. z.大，要注意滿足三個(gè)條件 “一正、二定、三相等 . 根本不等式 ab (a，b =R+), 當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)取到等號(hào) .變形公式： a + b 2 ab ab 共 (|()|2 .用根本不等式求最值時(shí)積定和最小，和定積最 三個(gè)正數(shù)

34、的算術(shù) 幾何平均不等式 3 abc (a、b、c =R+ ) 當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c 時(shí)取到等號(hào) . a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (a，b =R) 當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c 時(shí)取到等號(hào) . a3 + b3 + c3 3abc(a 0,b 0,c 0)當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c 時(shí)取到等號(hào) . 若ab 0, 則b + a 2 當(dāng)僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào) a b若ab 0,則b + a 共 - 2 當(dāng)僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)a ba a + m b + n b b b + m 1 a + n b 0，m 0，n 0)規(guī)律：小于 1 同加則變大，大于 1 同加則變小. 當(dāng)a

35、 0時(shí)，x a 一 x2 a2 一 x a;絕對(duì)值三角不等式 a - b 共 a 土 b 共 a + b .3、幾個(gè)著名不等式2 a + b a2 + b2a-1 + b-1 2 2平均不等式： 共 ab 共 共(a，b =R+), 當(dāng)且僅當(dāng)a = b 時(shí)取 = 號(hào) .即調(diào)和平均共 幾何平均共 算術(shù)平均共 平方平均 .變形公式： 冪平均不等式：二維形式的三角不等式： 二維形式的柯西不等式： (a2 + b2 )(c2 + d 2 ) (ac + bd )2 (a, b, c, d = R). 當(dāng)且-僅當(dāng) ad = bc 時(shí)，等號(hào)成立.三維形式的柯西不等式：(a 2 + a 2 + a 2 )(

36、b 2 + b 2 + b 2 ) (a b + a b + a b )2 .1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3一般形式的柯西不等式：向量形式的柯西不等式：設(shè)a , b 是兩個(gè)向量，則a . b 共 a b , 當(dāng)且僅當(dāng)b 是零向量，或存在實(shí)數(shù)k ，使a = kb 時(shí)，等號(hào)成立.排序不等式排序原理：設(shè) a 共 a 共 . 共 a , b 共 b 共 . 共 b 為兩組實(shí)1 2 n 1 2 n數(shù). c , c ,., c 是b , b ,., b 的任一排列，則1 2 n 1 2 n共 a1b1 + a2b2 + . + anbn . 反序和共 亂序和共 順序和當(dāng)且僅當(dāng) a = a

37、= . = a 或b = b = . = b 時(shí)， 反序1 2 n 1 2 n和等于順序和.琴生不等式: 特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)假設(shè)定義在*區(qū)間上的函數(shù) f (x) ,對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn) x , x (x 士 x ),有1 2 1 2則稱 f(*)為凸或凹函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有： 比擬法作差，作商法 、綜合法、 分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法， 函數(shù)單調(diào)性法， 數(shù)學(xué)歸納法等.常見不等式的放縮方法：舍去或加上一些項(xiàng)，如(a+ 1 )2 + 3 (a+ 1 )2 ; 2 4 2將分子或分母放大縮小，如1 2 (k = N* k 1)等.k k + k +

38、1 ,5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式 ax2 + bx + c 0(或 0) 解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根.g(x) lg(x) 士 0lf (x) 0 一 f (x) . g(x) 0 0 一f (x) (f (x) . g(x) 0 “ 08、無(wú)理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解 f (x) a(a 0) 一lf (x) a2 f (x) 0) 一(f (x) 0(f (x) 0 f (x) g(x) 一|l 或 (f (x) 0 f (x) 0 f (x) g(x) 一規(guī)律：把無(wú)理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小的一邊分析求解.9

39、、指數(shù)不等式的解法：當(dāng) a 1 時(shí), af (x) ag (x) 一 f (x) g(x)當(dāng) 0 a ag (x) 一 f (x) 1.-(|f (x) 0時(shí), loga f (x) loga g(x) 一|l當(dāng) 0 a 0時(shí), loga f (x) loga g(x) 一|l規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11、含絕對(duì)值不等式的解法：l一a (a 0)定義法： a =平方法： f (x) 共 g(x) 一 f 2 (x) 共 g2 (x).同解變形法，其同解定理有： x 共 a 一 一a 共 x 共 a(a 0); x a 一 x a或x 共 一a(a 0); f (x) 共 g(x) 一 一

40、g(x) 共 f (x) 共 g(x) (g(x) 0) f (x) g (x) 一 f (x) g (x) 或f (x) 共 一g (x) (g (x) 0)規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).12、含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式的解法：規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如 ax2 + bx + c 0 且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)展分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：討論 a 與 0 的大小；討論編 與 0 的大小；討論兩根的大小.14、恒成立問題不等式 ax2 + bx + c 0 的解集是全體實(shí)數(shù)或恒成立的條件是：當(dāng)a = 0

41、時(shí) 亭 b = 0,c 0;(a 0l編 0.當(dāng)a 士 0 時(shí)亭不等式 ax2 + bx + c b 0)a2 b2x2 + y2 = 1(a b 0)a2 b2到兩定點(diǎn) F 、F 的距離之和等于常數(shù) 2a ，即|MF | + | MF |= 2a 2a | F F | 1 2 1 2 1 2與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)e ，即 MF = e (0 e 1)d-a 共 x 共 a 且 -b 共 y 共 b -b 共 x 共 b 且 -a 共 y 共 aA (-a,0)、 A (a,0) A (0, -a)、 A (0,a)1 2 1 2B (0,-b)、 B (0,b) B (-

42、b,0)、 B (b,0)1 2 1 2長(zhǎng)軸的長(zhǎng) = 2a 短軸的長(zhǎng) = 2b關(guān)于x 軸、 y 軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱F (-c,0)、 F (c,0) F (0, -c)、 F (0,c)1 2 1 2F F = 2c (c2 = a2 - b2 )1 2e = c = c2 = a2 - b2 = 1- b2 (0 e 0,b 0)a2 b2x2 - y2 = 1(a 0,b 0)a2 b2到兩定點(diǎn) F 、F 的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a ，即 | MF | - | MF | = 2a 0 2a 1)dx 共 -a 或 x a ， y = RA (-a,0 )、 A (a,0 )1 2

43、實(shí)軸的長(zhǎng) = 2ay 共 -a 或 y a ， x = RA (0, -a)、 A (0,a) 1 2虛軸的長(zhǎng) = 2b關(guān)于 x 軸、 y 軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱F (0,-c)、 F (0,c)1 2F (-c,0 )、 F (c,0)1 2ce = =aF F = 2c (c21 2c2 a2 + b2=a2 a2a= a2 + b2 )= 1+ b2 (e 1)2準(zhǔn)線方程漸近線方程焦半徑M (x y )0, 0 x = 士y = 士M 在右支 1(|左焦：MFa2cbxa= ex + a 0= ex - a 0a2y = 士cay = 士 xbM 在上支(|左焦： |l右焦： MF2

44、= ey0 - a圖形焦點(diǎn)三角形面積通徑標(biāo)準(zhǔn)方程M 在左支(|左焦：|l右焦：-MF = -ex - a1 0MF = -ex + a2 09S = b2 cot編F2 2M 在下支(|左焦： |l右焦： MF2(9 = 三F MF )1 2= -ey - a 0= -ey + a 0y 2 = 2 px( p 0 )x 2 = - 2 py( p 0 )2焦=點(diǎn) 2垂p于長(zhǎng)軸的弦 通2 ：2 pH，= b2a( p 0 ) ( p 0 )2雙曲線3拋物線. z. z.-與一定點(diǎn)F 和一條定直線l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F 不在定直線l 上)0,0 e 1x 軸 y 軸y 0F

45、0,y p 2 p2MF y p0 2過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑： HH 2pAB x x p1 2參數(shù) p 表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離， p 越大，開口越闊定義頂點(diǎn)離心率對(duì)稱軸圍焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程焦半徑M (x y )0, 0通徑焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 公式參數(shù) p 的幾何意義x 0F p , 0 2 px y 0F 0, p 2MF y p2MF x p 2 py F p , 0 2 MF x px px 00 20 20 22關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)結(jié)論：設(shè) AB 為過拋物線 y 2 2 px ( p 0) 焦點(diǎn)的弦， A(x , y ) 、B(x , y ) ，直線 AB 的傾斜角為 ，則1 1 2

46、 2 x x , y y p2 ; AB ;p2 2p1 2 4 1 2 sin2 以 AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切； 焦點(diǎn)F 對(duì) A 、B 在準(zhǔn)線上射影的角為 ；21 1 2| FA | | FB | P .專題三：定積分1、定積分的概念如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間a, b上連續(xù)，用分點(diǎn)0 1 i1 i na x x x x x b 將區(qū)間a, b等分成 n 個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間x , x 上任取一點(diǎn)i1 i (i 1,2, n) ，作和式iL n f ( )x n b a f ( ), ，當(dāng) n 時(shí)， 上 n i n ii 1 i 1a + 1述和式無(wú)限接近*個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù) f

47、(x) 在區(qū)間a, b 上的定積分.記作j bf(x)dx ，即ajb f (x)dx = lim xn b _ af (飛 ) ，這里， a 與 b 分別叫 a n)的 n ii=1做積分下限與積分上限， 區(qū)間a, b叫做積分區(qū)間， 函數(shù) f (x) 叫做被積函數(shù)， x 叫做積分變量， f (x)dx 叫做被積式.說(shuō)明： 1定積分的值是一個(gè)常數(shù)，可正、可 負(fù)、 可為零； 2用定義求定積分的四個(gè)根本步驟：分割；近似代替；求和；取極限.2、微積分根本定理(牛頓- 萊布尼茲公式)如果F,(x) = f (x) ，且 f (x) 在a, b 上可積，則j b f (x)dx = F (x) b =

48、F (b) _ F (a) ，a a【 其 中 F (x) 叫 做 f (x) 的 一 個(gè) 原 函 數(shù) ， 因 為(F (x) + C ), = F,(x) = f (x) 】3、常用定積分公式j(luò)0dx = c c 為常數(shù)j1dx = x + c j xa dx = xa +1 + c (a 豐 _1) j 1 dx = ln x + cx j ex dx = ex + c j ax dx = ax + c (a 0, a 豐 1)ln aj sin xdx = _ cos x + cj cos xdx = sin x + c j sin axdx = _ 1 cos ax + c (a 豐

49、0)a.- j cosaxdx = 1 sin ax + c (a 豐 0)a4、定積分的性質(zhì) jb kf (x)dx = kjb f (x)dx k 為常數(shù)；a a jb f (x) 士 g(x)dx = jb f (x)dx 士 jb g(x)dx ；a a a jb f (x)dx = jc f (x)dx + jb f (x)dx 其中a c 0) 與 直 線x = a, x = b(a b) 以及 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積： Sjf(x)dx 如圖1；圖1 由 一 條 曲 線 y = f (x)(其中f (x)共 0) 與 直 線 x = a, x = b(a 0 亭 jc f

50、(x)dx 0;a當(dāng) c 共 x 共 b 時(shí)， f (x) 共0 亭 jb f (x)dx 共0. 】c與直線 x = a, x = b(a g(x) 與直線 x = a, x = b(a 0) 與直線y = a, y = b(a b) 以及 y 軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由 y = f (x) 得 x = h(y) ，然后利用 Sjbh(y)dy 求a出如圖5；圖 HYPERLINK l _bookmark1 5由一條曲線 y = f (x)(其中x 共 0) 與直線y = a, y = b(a b) 以及 y 軸所圍成的曲邊梯形的面 積，可由 y = f (x) 先求出 x = h(y)

51、 ，然后利用Sjbh(y)dy jbh(y)dy 求出如圖6；a a圖6由兩條曲線 y = f (x)，y = g(x) 與直線y = a, y = b(a 0) 在時(shí)間區(qū)間 a,b上的定積分，即 S = jb v(t)dt. .a-變力作功 物體在變力F(x) 的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且 物體沿著與 F (x) 一 樣的方向 從 x = a 移動(dòng)到x = b(a n +1 時(shí),C r 的值逐漸減小，n 2 nn且在中間取得最大值。 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， 中間一項(xiàng)第2n對(duì)立事件：其中必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件. 事件1 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C 2 取得最大值. 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，A 的對(duì)立事件通常記著A

52、 .對(duì)立事件的概率和等于 1. P(A) = 1一 P(A) .特別提醒： “互斥事件與“對(duì)立事件都是就 兩個(gè)事件而言的，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè) 事件，而對(duì)立事件是其中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件， 因此， 對(duì)立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件 ，也就是說(shuō)“互斥是“對(duì)立的必要但 不充分的條件.相互獨(dú)立事件：事件A 或B 是否發(fā)生對(duì)事件B 或 A 發(fā)生的概率沒有影響，即其中一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響 .這樣的兩 個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.當(dāng) A、B 是相互獨(dú)立事件時(shí)，則事件A . B 發(fā)生 即A、B 同時(shí)發(fā)生 的概率， 等于事件A、B 分別發(fā)生的概率的積. 即n

53、 + 1 n + 1n中間兩項(xiàng)第 和 1 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)2 2n一1 n+1C 2 = C 2 相等并同時(shí)取最大值.n n系數(shù)最大項(xiàng)的求法(A A設(shè)第 r 項(xiàng)的系數(shù) Ar 最大，由不等式組 )lA A可確定 r .賦值法假設(shè) (ax + b)n = a + a x + a x2 + . + a xn ,0 1 2 n則設(shè) f (x) = (ax + b)n . 有： a = f (0); 0 a + a + a + . + a = f (1); 0 1 2 n a 一 a + a 一 a + . + (一 1)n a = f (一 1); 0 1 2 3 n a + a + a + a + .

54、 = f (1)+ f (一1) ; 0 2 4 6 2. z.系: 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表C一般地，在一樣條件下重復(fù)做的 n 次試驗(yàn)稱為n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).的概率01p獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)X公式如*事件發(fā)P1_ p果在 1 次試驗(yàn)中 生的概率是 p ，則在n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)試驗(yàn)恰好發(fā)生k 次的概 率條件概率： 對(duì)任意事件 A 和事件 B ，在事件 A 發(fā)生 的條件下事件 B 發(fā)生的概率，叫做條件概率.記作 P(B|A)，讀作 A 發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的概率.P(A) ,公式： P(B A) = P(AB) P(A) 0.2 、離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量： 如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可

55、以用一個(gè)變量 來(lái)表示， 則這樣的變量叫做隨機(jī)變量 隨機(jī)變量常用字 母 X , Y, 飛 ,n 等表示.離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可 以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型 隨機(jī)變量.連續(xù)型隨機(jī)變量: 對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可 以取*一區(qū)間的一切值， 這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī) 變量.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以 按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可 以一一列出.假設(shè) X 是隨機(jī)變量， Y = aX + b(a, b 是常數(shù)則 Y 也是隨機(jī)變量 并且不改變其屬性 離散型、 連續(xù) 型 .3 、 離散型隨機(jī)變

56、量的分布列概率分布分布列設(shè)離散型隨機(jī)變量X 可能取的不同值為x , x ， x ， x ，X 的每一個(gè)值 x i = 1,2, , n 的概率 P(X = x ) = p 1 2 i ni i x xxxXi21n ppPp pi21n為隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱X 的分布列.-性質(zhì)： p p = 1.i ii=1兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X 的分布列為則稱 X 服從兩點(diǎn)分布，并稱 p = P(X = 1) 為成功概 率.二項(xiàng)分布如果在一次試驗(yàn)中*事件發(fā)生的概率是 p，則在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k 次的概率是其中k = 0,1,2,., n, q = 1_ p ，于是得到隨機(jī) 變量

57、 X 的概率分布如下：XP0C0p0qnn1C1 p1qn _1nkC k pk qn _ knnCnpnq0n我們稱這樣的隨機(jī)變量X 服從二項(xiàng)分布，記作 X B(n, p)，并稱 p 為成功概率.判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有三點(diǎn)： 對(duì)立性： 即一次試驗(yàn)中事件發(fā)生與否二者必居其一； 重復(fù)性： 即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)展了 n 次; 等概率性： 在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率均相等. 注：二項(xiàng)分布的模型是有放回抽樣；二項(xiàng)分布中的參數(shù)是 p, k, n.超幾何分布一般地,在含有M 件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件, 其中恰有X 件次品數(shù), 則事件 X = k 發(fā)生的概率Ck C n_kn為 P(X

58、 = k) = M N _M (k = 0,1,2, , m) , 于是得N到隨機(jī)變量X 的概率分布如下：XP0C0 Cn_0M N _MCnN1C1 Cn_1M N _MCnNmCm Cn_mM N _MCnN其中m = minM , n, nN,MN,n,M,N=N* .我們稱這樣的隨機(jī)變量X 的分布列為超幾何分布列, 且稱隨機(jī)變量X 服從超幾何分布.注:超幾何分布的模型是不放回抽樣； 超幾何分布中的參數(shù)是M , N, n. 其意義分別是總體中的個(gè)體總數(shù)、 N 中一類的總數(shù)、樣本容量.4 、 離散型隨機(jī)變量的均值與方差f x -離散型隨機(jī)變量的均值一般地，假設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的分布列為

59、xxpX xi12 pP pi12則稱E X x p x p 1 1 2 2 xn pni i n n x p x p 為離散型隨機(jī)變量 X 的均值或數(shù)學(xué)期望 簡(jiǎn)稱期望 . 它反映了 離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.性質(zhì)： E(aX b) aE(X ) b.假設(shè) X 服從兩點(diǎn)分布，則E(X ) p.假設(shè) X Bn, p ，則E(X ) np.離散型隨機(jī)變量的方差一般地，假設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為X x1 x2 xi xnP p p p p1 2 i n則稱D(X ) n (x E(X )2 p 為離散型隨機(jī)變量X 的i ii 1方差， 并稱其算術(shù)平方根 D(X ) 為隨機(jī)變量 X 的標(biāo)準(zhǔn)差. 它反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集 中與離散的程度.D(X ) 越小， X 的穩(wěn)定性越高，波動(dòng)越小，取值越集中； D(X ) 越大， X 的穩(wěn)定性越差，波動(dòng)越大，取值越分散.性質(zhì)： D(aX b) a2 D(X ).假設(shè) X 服從兩點(diǎn)分布，則D(X ) p(1 P).假設(shè)