2022屆福建省閩侯高三第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1在等腰直角三角形中，為的中點，將它沿翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球的表面積為（ ）.ABCD2在中，

2、“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件3給出個數(shù) ，其規(guī)律是：第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大 ，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，以此類推，要計算這個數(shù)的和現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖，請在圖中判斷框中的處和執(zhí)行框中的處填上合適的語句，使之能完成該題算法功能( )A；B；C；D；4過雙曲線 的左焦點作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點，若為線段的中點，且（為坐標原點），則雙曲線的離心率為（ ）ABCD5已知實數(shù)滿足不等式組，則的最小值為（ ）ABCD6是正四面體的面內(nèi)一動點，為棱中點，記與平面成角為定值，若點的軌跡為一段拋物線，則（ ）AB

3、CD7如圖所示，正方體的棱，的中點分別為，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）ABCD8若實數(shù)滿足不等式組則的最小值等于（ ）ABCD9若，則的虛部是（ ）ABCD10已知集合，則（）ABCD11平行四邊形中，已知，點、分別滿足，且，則向量在上的投影為（ ）A2BCD12已知為定義在上的偶函數(shù)，當時，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設為橢圓在第一象限上的點，則的最小值為_.14易經(jīng)是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽線，表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根

4、陰線的概率為_.15函數(shù)的值域為_16如圖，棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內(nèi)作弧和，并將兩弧各五等分，分點依次為、以及、一只螞蟻欲從點出發(fā)，沿正方體的表面爬行至，則其爬行的最短距離為_參考數(shù)據(jù)：；）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）若關于的方程的兩根都大于2，求實數(shù)的取值范圍18（12分）百年大計，教育為本.某校積極響應教育部號召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長班進行專項培訓.據(jù)統(tǒng)計有如下表格.（其中表示通過自主招生獲得降分資格的學生人數(shù)，表示被清華、北大等名

5、校錄取的學生人數(shù)）年份（屆）2014201520162017201841495557638296108106123（1）通過畫散點圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關關系，求關于的線性回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）（2）若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學生人數(shù)為61人，預測2019年高考該?？既嗣５娜藬?shù)；（3）若從2014年和2018年考人名校的學生中采用分層抽樣的方式抽取出5個人回校宣傳，在選取的5個人中再選取2人進行演講，求進行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，19（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若，求的面積

6、的最大值20（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓C的長軸長為4.（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交于兩點，是否存在實數(shù)k使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.21（12分）已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）和圓的極坐標方程：（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）已知點，直線與圓相交于、兩點，求的值.22（10分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，平面，且，（）求與平面所成角的正弦（）求二面角的余弦值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

7、的。1D【解析】如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點，這樣根據(jù)幾何關系，求外接球的半徑.【詳解】中，易知， 翻折后, ，設外接圓的半徑為， ， ，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點，設幾何體外接球的半徑為， ， 四面體的外接球的表面積為.故選：D【點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時，一般可以用補形法，因正方體，長方體的外接球半徑 容易求，可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體，比如三條側棱兩兩

8、垂直的三棱錐，或是構造直角三角形法，確定球心的位置，構造關于外接球半徑的方程求解.2C【解析】由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價條件為，再利用大角對大邊，結合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，由，可得，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本題考查充分必要條件的判定，同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應用，考查推理能力，屬于中等題.3A【解析】要計算這個數(shù)的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語句，根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句.【詳解】因為計算這個數(shù)的和，循環(huán)變量的初值為1，所以步長應該為1，故判斷

9、語句應為，第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大 ，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，這樣可以確定語句為，故本題選A.【點睛】本題考查了補充循環(huán)結構，正確讀懂題意是解本題的關鍵.4C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.為線段的中點，則為等腰三角形.由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得，即.雙曲線的離心率為故選C.點睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查了離心率的求解，同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關系應用，對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出 ，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式

10、)，即可得(的取值范圍)5B【解析】作出約束條件的可行域，在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值，作，平移直線即可求解.【詳解】作出實數(shù)滿足不等式組的可行域，如圖（陰影部分）令，則，作出，平移直線，當直線經(jīng)過點時，截距最小，故，即的最小值為.故選：B【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關鍵是作出可行域、理解目標函數(shù)的意義，屬于基礎題.6B【解析】設正四面體的棱長為，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，求出面的法向量，設的坐標，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標的關系，進而求出正切值【詳解】由題意設四面體的棱長為，設為的中

11、點，以為坐標原點，以為軸，以為軸，過垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則可得，取的三等分點、如圖，則，所以、，由題意設，和都是等邊三角形，為的中點，平面，為平面的一個法向量，因為與平面所成角為定值，則，由題意可得，因為的軌跡為一段拋物線且為定值，則也為定值，可得，此時，則，.故選：B.【點睛】考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時的情況，屬于中等題7C【解析】以D為原點，DA，DC，DD1 分別為軸，建立空間直角坐標系，由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值【詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體ABCDA1B1C1

12、D1的棱長為2，則，取平面的法向量為，設直線EF與平面AA1D1D所成角為，則sin|，直線與平面所成角的正弦值為.故選C【點睛】本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數(shù)形結合思想和向量法的應用，屬于中檔題8A【解析】首先畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求的最小值【詳解】解：作出實數(shù)，滿足不等式組表示的平面區(qū)域（如圖示：陰影部分）由得，由得，平移，易知過點時直線在上截距最小，所以故選：A【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，求目標函數(shù)的最值先畫出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題9D【解析】通過復數(shù)的乘除運算法則化簡求解復數(shù)為：的形式，即可得到復數(shù)的虛部.【詳解】由題可知，所以的虛部是1.故

13、選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的基本概念，屬于基礎題.10A【解析】根據(jù)對數(shù)性質(zhì)可知，再根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】，集合，由交集運算可得.故選：A.【點睛】本題考查由對數(shù)的性質(zhì)比較大小，集合交集的簡單運算，屬于基礎題.11C【解析】將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.【點睛】本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運算，將用向量和表示是關鍵，是基礎題.12D【解析】判斷，利用函數(shù)的奇偶性代入計算得到答案.【詳解】，故選：【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值，意在考查學生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.二、

14、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】利用橢圓的參數(shù)方程，將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題，利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，以及求導數(shù)、單調(diào)性和極值，即可得到所求最小值【詳解】解：設點，其中，由，可設，導數(shù)為，由，可得，可得或，由，可得，即，可得，由可得函數(shù)遞減；由，可得函數(shù)遞增，可得時，函數(shù)取得最小值，且為，則的最小值為1故答案為：1【點睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應用，利用三角函數(shù)的恒等變換和導數(shù)法求函數(shù)最值的方法，考查化簡變形能力和運算能力，屬于難題14【解析】觀察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個，還有6個是1陰2陽和1陽2陰各3個

15、。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰?！驹斀狻堪素灾嘘幘€和陽線的情況為3線全為陽線的一個，全為陰線的一個，1陰2陽的3個，1陽2陰的3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰。從8個卦中任取2卦，共有種可能，兩卦中共2陽4陰的情況有，所求概率為。故答案為：?！军c睛】本題考查古典概型，解題關鍵是確定基本事件的個數(shù)。本題不能受八卦影響，我們關心的是八卦中陰線和陽線的條數(shù)，這樣才能正確地確定基本事件的個數(shù)。15【解析】利用換元法，得到，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到函數(shù)的值域，得到答案【詳解】由題

16、意，可得，令，即，則，當時，當時，即在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，又，故函數(shù)的值域為：【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的最值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，其中解答中合理利用換元法得到函數(shù)，再利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關鍵，著重考查了推理與預算能力，屬于基礎題16【解析】根據(jù)空間位置關系，將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點在同一平面內(nèi)，結合角的關系即可求得兩點間距離的三角函數(shù)表達式.根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)即可得解.【詳解】棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，將繞旋轉(zhuǎn)至與平面共

17、面的位置，如下圖所示：則，所以；因為，且由誘導公式可得，所以最短距離為，故答案為：.【點睛】本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法，三角函數(shù)誘導公式的應用，綜合性強，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17【解析】先令，根據(jù)題中條件得到，求解，即可得出結果.【詳解】因為關于的方程的兩根都大于2，令所以有，解得，所以.【點睛】本題主要考查一元二次方程根的分布問題，熟記二次函數(shù)的特征即可，屬于?？碱}型.18（1）；（2）117人；（3）分布列見解析，【解析】（1）首先求得和，再代入公式即可列方程，由此求得關于的線性回歸方

18、程；（2）根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算可得人數(shù)；（3）和被選中的人數(shù)分別為2和3，利用超幾何分布分布列的計算公式，計算出的分布列，并求得數(shù)學期望.【詳解】（1）由題，所以線性回歸方程為（若第一問求出 .）（2）當時，所以預測2019年高考該?？既朊５娜藬?shù)約為117人（3）由題知和被選中的人數(shù)分別為2和3，進行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的所有可能取值為0，1，2，的分布列為012【點睛】本小題主要考查平均數(shù)有關計算，考查回歸直線方程的計算，考查期望的計算，考查超幾何分布和數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.19（1）（2）【解析】(1)由正弦定理邊化角化簡已知條件可求得,即可求得;(2)由余弦定

19、理借助基本不等式可求得,即可求出的面積的最大值.【詳解】（1），所以，所以，（2）由余弦定理得.，當且僅當時取等，.所以的面積的最大值為.【點睛】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應用,考查了三角形面積的最值問題,難度較易.20（1）；（2）存在，當時，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O.【解析】（1）設橢圓的焦半距為，利用離心率為，橢圓的長軸長為1列出方程組求解，推出，即可得到橢圓的方程（2）存在實數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點設點，將直線的方程代入，化簡，利用韋達定理，結合向量的數(shù)量積為0，轉(zhuǎn)化為：求解即可【詳解】解：（1）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得，解得，所以，故所求橢圓C的方程為（2）存在實數(shù)k使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O.理由如下：設點，將直線的方程代入，并整理，得.（*）則，因為以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O，所以，即.又，于是，解得， 經(jīng)檢驗知：此時（*）式的，符合題意