分支穩(wěn)定與極限

1、三、分支穩(wěn)定和增量變剛度極限分析及程序本部分學(xué)習(xí)內(nèi)容暫時參考結(jié)構(gòu)力學(xué)教程第十八、十九章相關(guān)內(nèi)容更多的例子可看SMCAI1三、分支穩(wěn)定和增量變剛度極限分析及程序結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析基本概念分支穩(wěn)定分析程序結(jié)構(gòu)極限分析基本概念增量變剛度極限分析程序23.1 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析基本概念 3.1.1 一些基本概念 薄壁、高強(qiáng)、受壓結(jié)構(gòu)，設(shè)計不當(dāng)容易產(chǎn)生部件或整個結(jié)構(gòu)喪失穩(wěn)定。因此，結(jié)構(gòu)設(shè)計除關(guān)心強(qiáng)度、剛度外，對易失穩(wěn)的結(jié)構(gòu)還要進(jìn)行穩(wěn)定驗(yàn)算。 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分靜力和動力穩(wěn)定兩大類，本章只討論靜力穩(wěn)定。 一些問題可以抽象為受壓桿都是“理想中心受壓直桿”計算模型，這稱為完善體系。如果結(jié)構(gòu)桿件不滿足上述“理想中心受壓直桿”假

2、定(不直或有偏心)，此系統(tǒng)稱非完善體系。 完善體系從穩(wěn)定到不穩(wěn)定，其受力、變形狀態(tài)將變化，也即隨荷載變大有分叉點(diǎn)，稱分支點(diǎn)穩(wěn)定。33.1 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析基本概念 非完善體系，一般受力、變形性質(zhì)不發(fā)生改變。但隨著荷載增大存在一極值荷載（此后變形增大荷載反而減少），這類穩(wěn)定現(xiàn)象稱極值點(diǎn)穩(wěn)定。 一些扁平拱式結(jié)構(gòu)還可能產(chǎn)生從受壓跳轉(zhuǎn)到受拉的“急跳”現(xiàn)象，當(dāng)然實(shí)際結(jié)構(gòu)不允許出現(xiàn)這情況。 本章以討論分支點(diǎn)穩(wěn)定問題臨界荷載為主，也介紹一點(diǎn)其他內(nèi)容。 由于實(shí)際結(jié)構(gòu)剛度都很大，變形和桿件尺寸相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程時都忽略變形影響。因此線彈性材料力-位移成正比，疊加原理適用。 在作穩(wěn)定分析時，必須

3、考慮變形的影響，這時疊加原理不再適用。SMCAI43.1 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析基本概念3.1.2 穩(wěn)定問題分析基本方法一：靜力法 通過考慮失穩(wěn)狀態(tài)下的平衡關(guān)系，利用兩類穩(wěn)定問題的特征，確定臨界荷載的方法靜力法。1) 分支點(diǎn)穩(wěn)定問題1-1) 分析步驟 設(shè)定約束所允許的可能失穩(wěn)狀態(tài) 建立平衡方程 用分支點(diǎn)穩(wěn)定的平衡兩重性（可在兩狀態(tài)平衡）建立特征方程 求特征方程的非零解，從而得到臨界荷載。1-2) 按大、小撓度分析及結(jié)論 待切換到SMCAI 。SMCAI53.1 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析基本概念3.1.3 穩(wěn)定問題分析基本方法二：能量法 通過考慮失穩(wěn)狀態(tài)下的應(yīng)變能、外力時能，利用穩(wěn)定問題的能量特征（總勢能取駐值）

4、，確定臨界荷載的方法能量法（只討論分支點(diǎn)問題）。1) 分析步驟 設(shè)定約束所允許的可能失穩(wěn)狀態(tài) 通過求應(yīng)變能、外力時能確定總勢能 用分支點(diǎn)穩(wěn)定的能量準(zhǔn)則（總勢能取駐值）建立特征方程 求特征方程的非零解，從而得到臨界荷載。2) 舉例 待切換到SMCAI 。SMCAI結(jié)構(gòu)力學(xué)教程和SMCAI 上還有許多內(nèi)容限于授課學(xué)時希望學(xué)有余力的同學(xué)能自學(xué)。63.2 分支穩(wěn)定分析程序 用有限單元法可以解決兩類穩(wěn)定問題，還可以考慮彈性后的屈曲問題。但這些有待大家今后繼續(xù)學(xué)習(xí)，本節(jié)只介紹彈性分支點(diǎn)穩(wěn)定問題。這等于假定結(jié)構(gòu)直到臨界狀態(tài)材料是處于彈性階段，荷載達(dá)臨界值以前結(jié)構(gòu)處于無彎矩狀態(tài)、可忽略軸向變形影響。3.2.1

5、 基本原理1) 剛度方程的建立 在第二章建立單元剛度方程時，不計桿內(nèi)壓力對彎曲變形的影響，如前所述這里要考慮這一影響。1-1) 單元位移場 仍然取2.2.3不計軸向變形平面彎曲桿單元形函數(shù)因此單元撓曲線仍可表為： v=Nde73.2 分支穩(wěn)定分析程序形函數(shù)為1-2）單元應(yīng)變能為則1-3）單元外力勢能 外力勢能包括兩部分：一、桿端力的外力勢能；二、軸向壓力的外力勢能。8由圖可見3.2 分支穩(wěn)定分析程序桿端力外力勢為dxdxdvdx 為了說明軸向壓力的外力勢，首先看示意圖。因此由此可得軸向壓力的外力勢為式中由此可得外力總勢能為幾何剛度矩陣93.2 分支穩(wěn)定分析程序1-4) 單元列式 有了上述結(jié)果，

6、利用勢能原理可得單元剛度方程，經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后為(ke-kg)de =Fe1-5) 整體分析 根據(jù)有關(guān)編碼信息，由單元對號入座后可得(K -Kg) =0請大家考慮為什麼式中右端項(xiàng)為零？ 由上述結(jié)果可見，根據(jù)平衡的兩重性，為使位移不等于零（能在彎曲狀態(tài)平衡），必須K -Kg對應(yīng)的行列式等于零。這就是分支點(diǎn)穩(wěn)定的特征方程。103.2 分支穩(wěn)定分析程序3.2.2 迭代法求臨界荷載1) 基本假定：除不計軸向變形，失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)處于無彎矩狀態(tài)外，還假定所有荷載變化時彼此保持固定的比例稱作比例加載。 因此Kg=Kg=K-1Kg=H經(jīng)改造后得 上式可用迭代法進(jìn)行求解,迭代公式為整體剛度方程為(K-Kg)=0 n+1n+1=Hn具體計算時，可任意假定一個非零的位移n，然后進(jìn)行反復(fù)迭代，直到兩次迭代結(jié)果的誤差達(dá)到精