初高銜接數(shù)學(xué)講義：第三講 一元二次方程（必上）

1、PAGE 第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用本節(jié)將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1) 當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(2) 當(dāng)時(shí)，右端是零因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：(3) 當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根由于可以用的取值情況來(lái)判定一元二次方程的根的情況因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：【例1】不解方程，判斷下列方

2、程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)：(1) (2) (3) 解：(1) ， 原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2) 原方程可化為： ， 原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3) 原方程可化為： ， 原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根說(shuō)明：在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式練：說(shuō)出下列各方程的根的情況（1） （2） （3）【例2】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍：(1) 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4) 方程無(wú)實(shí)數(shù)根解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 二、一元二次方程的根解法進(jìn)一步地，在一元二次方程有實(shí)數(shù)根的前提下，該實(shí)數(shù)根具體是多？這就涉及到一元二次

3、方程的根的求法解法一（因式分解法）若可分解為，那么由可得從而得到或【典例】解一元二次方程解：原方程可化為 故練：解一元二次方程（1） （2） （3）解法二（配方法）一元二次方程，用配方法將其變形為：兩邊開方即可得到方程的根【典例】解一元二次方程解：原方程可化為 即 故 從而 即練：解一元二次方程（1） （2） （3）解法三（公式法）對(duì)于一元二次方程，(1) 當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(2) 當(dāng)時(shí)，右端是零因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：【典例】解一元二次方程解：由所以原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根所以即練：解一元二次方程（1） （2） （3）三、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元

4、二次方程的兩個(gè)根為：所以：，定理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么：說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”上述定理成立的前提是【例3】若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算這里，可以利用韋達(dá)定理來(lái)解答解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 說(shuō)明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想練：若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值（1） （2） (3) ；(3) ； (4) ；

5、(5) 練 習(xí)A 組1一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是()ABCD2若是方程的兩個(gè)根，則的值為()ABCD3已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且OA、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于的方程的根，則等于()ABCD4若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是()ABCD大小關(guān)系不能確定5若實(shí)數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為()ABCD6如果方程的兩根相等，則之間的關(guān)系是 _ 7已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 _ 8若方程的兩根之差為1，則的值是 _ 9設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則= _ ，= _ 10已知實(shí)數(shù)滿足，則

6、= _ ，= _ ，= _ 11對(duì)于二次三項(xiàng)式，小明得出如下結(jié)論：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，其值都不可能等于10您是否同意他的看法？請(qǐng)您說(shuō)明理由12若，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的的正實(shí)數(shù)根，求的值13已知關(guān)于的一元二次方程(1) 求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 若方程的兩根為，且滿足，求的值14已知關(guān)于的方程的兩根是一個(gè)矩形兩邊的長(zhǎng)(1) 取何值時(shí)，方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根？(2) 當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)是時(shí)，求的值B 組1已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(1) 求的取值范圍；(2) 是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)您說(shuō)明理由2已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11求證：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根3若是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且都大于1(1) 求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) 若，求的值第三講