概率統(tǒng)計(jì)課件：19第八章第一講

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)：借助總體(隨機(jī)變量)X的樣本(X1, X2，, Xn) 對(duì)總體X的性質(zhì)進(jìn)行推斷，這類問題統(tǒng)稱為統(tǒng)計(jì)推斷問題。參數(shù)估計(jì)問題假設(shè)檢驗(yàn)問題 點(diǎn) 估 計(jì) 區(qū)間估 計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷 的基本問題第八章 參數(shù)估計(jì)從簡(jiǎn)單問題入手：假定總體X分布形式已知, 未知的是其中一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)。對(duì)未知參數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)。 怎樣確定：從總體抽取樣本值來估計(jì)參數(shù)， 稱為參數(shù)估計(jì)問題。統(tǒng)計(jì)推斷：借助總體X的樣本(X1, X2，, Xn)推斷總體X的分布。點(diǎn)估計(jì) 估計(jì)未知參數(shù)的值區(qū)間估計(jì)估計(jì)未知參數(shù)的取值范圍， 并給定此范圍包含未知參數(shù)真值的概率. 參數(shù)估計(jì)問題:2、極大似然估計(jì)法.1、矩估計(jì)法一、點(diǎn)估計(jì) (估計(jì)未知參數(shù)的值)

2、的方法1.矩估計(jì)法用樣本矩估計(jì)相應(yīng)的總體（隨機(jī)變量）矩.只要總體的k階矩存在，樣本k階矩依概率收斂于總體的k階矩。例1 設(shè) 為來自總體 的樣本， 求: 和 的矩估計(jì).從總體中抽取樣本EX= DX=2樣本均值解：樣本方差總體均值總體方差樣本均值作為總體均值的估計(jì) 樣本方差作為總體方差的估計(jì) 的矩估計(jì)量2的矩估計(jì)量 的矩估計(jì)值2 的矩估計(jì)值對(duì)于一次具體抽取，就是具體的數(shù)值矩的選擇： 簡(jiǎn)單 矩估計(jì)的結(jié)果不唯一矩估計(jì)量和矩估計(jì)值，統(tǒng)稱為矩估計(jì). 由 得和2的矩估計(jì)值分別為13(mm)和0.133(mm)2例2 有一批零件，其長(zhǎng)度XN(,2)， 現(xiàn)從中任取4件，測(cè)的長(zhǎng)度(單位：mm)為 12.6, 13

3、.4, 12.8, 13.2 試估計(jì)和2的值。例3 設(shè)總體X的概率密度為 X1,X2,Xn為來自于總體X的樣本,x1,x2, ,xn為樣本值,求參數(shù)的矩估計(jì)。解 總體矩 令 即 解得為的矩估計(jì)量, 為的矩估計(jì)值.從總體中抽取樣本對(duì)于一次具體抽取例4 設(shè)總體X的概率密度為求 的矩估計(jì)量 解EX不含,不能由此解出, 需繼續(xù)求總體的二階原點(diǎn)矩.得的矩估計(jì)量為令2、極大似然估計(jì)法例 設(shè)袋中裝有許多白球和黑球。 只知兩種球的數(shù)目之比為3:1， 試判斷是白球多還是黑球多。解: 從袋中有放回的任取3只球. 則XB(3,p)設(shè)取到黑球的數(shù)目為X, 分別計(jì)算p=1/4, 3/4時(shí),X的分布律X0123p=1/4

4、時(shí)27/6427/649/641/64p=3/4時(shí)1/649/6427/6427/64 若每次取到黑球的概率為p(p= 1/4或3/4)樣本中的黑球數(shù)為0，（作一次抽取，得到樣本觀察值：0黑球，3白球）則估計(jì)選取使達(dá)到最大值的p極大似然估計(jì)法的基本思想：根據(jù)樣本的具體情況，選擇總體參數(shù)的估計(jì)，使得該樣本發(fā)生的概率最大。結(jié)論: p的估計(jì)量定義 (1) 若X是離散型隨機(jī)變量， 分布律 形式已知，參數(shù) 未知 x1,x2, ,xn為樣本X1,X2,Xn的樣本觀察值, 取到的概率：選取總體參數(shù)的估計(jì)值 ，使得此概率達(dá)到最大,即達(dá)到最大值.記稱為似然函數(shù). (2)設(shè)X的概率密度函數(shù)為f(x,),其中為未知

5、參數(shù)落在點(diǎn)的鄰域內(nèi)的概率：選取總體參數(shù)的估計(jì)值 ，使得此概率達(dá)到最大,即達(dá)到最大值.記稱為似然函數(shù). 定義 如果似然函數(shù) 在 時(shí)達(dá)到最大值， 則稱 是參數(shù)的極大似然估計(jì)。 似然函數(shù)離散型連續(xù)型因此，求總體參數(shù)的極大似然估計(jì)值就是求似然函數(shù)的最大值問題。必須滿足通常求法: 因?yàn)榕c在同一值處達(dá)到最大，也可由求得.根據(jù)微積分的知識(shí)，達(dá)到最大值，要使例1 設(shè)總體X服從參數(shù)為的泊松分布， 即X有分布律 解 樣本的似然函數(shù)為是未知參數(shù),(0,+),又x1, x2, , xn為來自于總體的樣本值，試求的極大似然估計(jì).從可以解出是的極大似然估計(jì)。因此例2 設(shè)總體 X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即有概率密度 又x1,

6、x2, ,xn為來自于總體的樣本值，試求的極大似然估計(jì).解 ：似然函數(shù)為令經(jīng)驗(yàn)證，在處達(dá)到最大，是的極大似然估計(jì)。所以例3 設(shè)總體X的概率密度為又為來自于總體X的樣本值,求參數(shù)的極大似然估計(jì)。解 似然函數(shù) 當(dāng)時(shí),L()是的單調(diào)增函數(shù),處, L()達(dá)到最大值，所以的極大似然估計(jì):在例4 設(shè)X服從(01)分布, 其中參數(shù)p未知， x1,x2, ,xn為來自于總體的樣本值 求p的極大似然估計(jì)。解:令其中為未知參數(shù)為樣本觀察值,兩參數(shù)情形的極大似然估計(jì)此時(shí)似然函數(shù)為： 若總體X的概率密度為 ，求解方程組 即可得到極大似然估計(jì)數(shù)學(xué)上可以嚴(yán)格證明：在一定條件下，只要樣本容量n足夠大，極大似然估計(jì)和未知參數(shù)的真值可相差任意小。例5 設(shè) 為正態(tài)總體 的一個(gè)樣本值， 求: 和 的極大似然估計(jì).解：似然函數(shù)為得 例6 設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,其分布律 (01/2