隨機數(shù)學(xué)：2-4 幾種常用的分布

1、如果隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為則稱 X 服從 (01) 分布或兩點分布.1.兩點分布（0-1）分布） 第四節(jié) 幾種常用的分布一、幾種常用的離散型隨機變量例1 200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機變量 X 服從(0 1)分布.例2 “拋硬幣”試驗,觀察正、反兩面情況. 隨機變量 X 服從 (01) 分布.其分布律為 兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點分布.說明2.等可能分布（離散型均勻分布）如果隨

2、機變量 X 的分布律為例3 拋擲骰子并記出現(xiàn)的點數(shù)為隨機變量 X,則有3.二項分布稱這樣的分布為二項分布.記為二項分布兩點分布二項分布的圖形例4 在相同條件下相互獨立地進(jìn)行 5 次射擊,每次射擊時擊中目標(biāo)的概率為 0.6 ,則擊中目標(biāo)的次數(shù) X 服從 b (5,0.6) 的二項分布.分析 這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大, 且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.例5解圖示概率分布解因此例6 有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車在一天的某段時間內(nèi),出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有1000 輛汽車通過, 問出事故的次數(shù)不

3、小于2的概率是多少? 設(shè) 1000 輛車通過,出事故的次數(shù)為 X , 則解例7故所求概率為二項分布 泊松分布4. 泊松分布 泊松分布的圖形電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水上面我們提到單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出二項分布 泊松分布可利用泊松定理計算所求概率為解例7 有一繁忙的汽車站, 每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車,在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有1000 輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少? 設(shè) 1000 輛車通過,出事故的次數(shù)為 X , 則例8 為了保證設(shè)備正常工作, 需配備適量的維修工人 (工人配備多了就浪費 ,

4、配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情況) ,問至少需配備多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?解所需解決的問題使得合理配備維修工人問題由泊松定理得故有即個工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01.故至少需配備8例9 設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨立的發(fā)生故障的概率都是 0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理. 考慮兩種配備維修工人的方法 , 其一是由四人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺; 其二是由3人共同維護(hù)臺80.試比較這兩種

5、方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.解按第一種方法發(fā)生故障時不能及時維修”,而不能及時維修的概率為則知80臺中發(fā)生故障故有即有 按第二種方法故 80 臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為5. 幾何分布 若隨機變量 X 的分布律為則稱 X 服從幾何分布.實例 設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為 p,對該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查 , 直到第一次抽到一只次品為止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的產(chǎn)品數(shù) X 是一個隨機變量 , 求X 的分布律.所以 X 服從幾何分布.說明 幾何分布可作為描述某個試驗 “首次成功”的概率模型.解1. 均勻分布概率密度函數(shù)圖形二、均勻分布與指數(shù)分布均勻分布的意義分

6、布函數(shù)解由題意,R 的概率密度為故有例10 設(shè)電阻值 R 是一個隨機變量，均勻分布在 1100 求 R 的概率密度及 R 落在950 1050 的概率例11 設(shè)隨機變量 X 在 2, 5 上服從均勻分布, 現(xiàn)對 X 進(jìn)行三次獨立觀測 ,試求至少有兩次觀測值大于3 的概率. X 的分布密度函數(shù)為設(shè) A 表示“對 X 的觀測值大于 3”,解即 A= X 3 .因而有設(shè)Y 表示3次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù),則2. 指數(shù)分布 某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無線電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、動物的壽命等都服從指數(shù)分布.應(yīng)用與背景分布函數(shù)例12 設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為=20

7、00的指數(shù)分布(單位:小時).(1)任取一只這種燈管, 求能正常使用1000小時以上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時以上,求還能使用1000小時以上的概率. X 的分布函數(shù)為解指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無記憶性”.（二）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（一）正態(tài)分布三、正態(tài)分布（三）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點（一）正態(tài)分布（或高斯分布）正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)分布的分布函數(shù) 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 正態(tài)分布下的概率計算原函數(shù)不是初等函數(shù)方法一:利用MATLAB軟件包計算方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分