48導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的應(yīng)用

1、一、函數(shù)變化率-邊際函數(shù)二、本錢三、收益四、函數(shù)的相關(guān)變化率-函數(shù)的彈性4.8 變化率及相對變化率在經(jīng)濟中的應(yīng)用-邊際分析與彈性分析介紹11、邊際函數(shù) 設(shè)函數(shù) 可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù) 也稱為邊際函數(shù)。 稱為 在內(nèi)的平均變化率，它表示在 內(nèi) 的平均變化速度。 2 在點 處的導(dǎo)數(shù) 稱為 在點 處的變化率，也稱為 在點 處的邊際函數(shù)值。它表示 在點 處的變化速度。3 在點 處， 從 改變一個單位， 相應(yīng)改變的真值應(yīng)為 。但當x改變的“單位”很小時，或 x 的“一個單位”與值相對來比很小時，則有 當 時，標志著 由 減少一個單位4 這說明 在點 處，當 產(chǎn)生一個單位的改變時， 近似改變 個單位。在應(yīng)用問題中解釋

2、邊際函數(shù)值的具體意義時我們略去“近似二字5 例1函數(shù) ，在點 處的邊際函數(shù)值 ，它表示當 時, 改變一個單位， （近似）改變20個單位。6 例2 設(shè)某產(chǎn)品本錢函數(shù)C= C(Q) (C為總本錢，Q為產(chǎn)量），其變化率 稱為邊際本錢。 稱為當產(chǎn)量到達 時的邊際本錢 。 西方經(jīng)濟學家對它的解釋是：當產(chǎn)量達到 時，生產(chǎn) 前最后一個單位產(chǎn)品所增添的成本。72、本錢 某產(chǎn)品的總本錢是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟資源投入（勞力、原料、設(shè)備等）的價格或費用總額。它由固定本錢與可變本錢組成。 平均本錢是生產(chǎn)一定量產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品的本錢。 邊際本錢是總本錢的變化率，即總本錢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)8 設(shè) C為總成本,

3、為固定成本, 為可變成本， 為平均成本， 為邊際成本，Q為產(chǎn)量，則有總成本函數(shù) 平均成本函數(shù)邊際成本函數(shù)9例1 已知某產(chǎn)品的成本函數(shù)為 求：當Q=10時的總本錢、平均本錢及邊際本錢。 例2 例1中的商品，當產(chǎn)量Q為多少時，平均本錢最??？103、收益 總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入。 平均收益是生產(chǎn)者出售一定量的產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品所得到的收入。即單位商品的售價。邊際收益為總收益的變化率。11總收益，平均收益，邊際收益均為產(chǎn)量的函數(shù) 設(shè)P為商品價格，Q為商品量，R為總收益， 為邊際收益。則有需求函數(shù) P=P(Q)總收益函數(shù) R=R(Q)平均收益函數(shù)邊際收益函數(shù)12需求與收益的關(guān)系有

4、：13 總收益與平均收益 的關(guān)系為：總收益與邊際收益的關(guān)系為：14 例1 設(shè)某產(chǎn)品的價格與銷售量的關(guān)系為P=10 -Q/5，求銷售量為30時的總收益、平均收益與邊際收益。15下面討論最大利潤原則： 設(shè)總利潤為L，則 L=L(Q)=R(Q)-C(Q) L(Q)取得最大值的必要條件為： ，即 于是可取得最大利潤的必要條件是：邊際收益等于邊際本錢。16 L(Q)取得最大值的充分條件為： 即 于是可取得最大利潤的充分條件是：邊際收益的變化率小于邊際本錢的變化率。17 例2 某產(chǎn)品的需求函數(shù)為P=10-Q/5，本錢函數(shù)為C=50+2Q,求產(chǎn)量為多少時總利潤L最大？并驗證是否符合最大利潤原則。18 例3

5、某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，固定本錢為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，本錢增加100元。 總收益R是年產(chǎn)量Q的函數(shù) 問每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時，總利潤最大？此時總利潤是多少？194、函數(shù)的相關(guān)變化率-函數(shù)的彈性 前面所談的函數(shù)改變量與函數(shù)變化率是絕對改變量與絕對變化率，但是從實踐中可看到，僅僅研究此是不夠的。 比方，商品a每單位價格10元，漲價1元；商品b每單位價格是1000元，也漲價1元，兩種商品價格的絕對改變量都是1元，但各自與其原價相比，兩者漲價的百分比卻有很大的不同，商品a漲了10%，而商品b漲了0.1%。因此有必要研究函數(shù)的相對改變量與相對變化率。20從 到 兩點間的相對變化 定義4.5 設(shè)函數(shù) 在

6、點 處可導(dǎo)，函數(shù)的相對改變量 ，與自變量的相對改變量 之比 ，稱為函數(shù) 率，或稱為兩點間的彈性。21當 時， 的極限稱為 在 處的相對變化率，也就是相對導(dǎo)數(shù)，或稱彈性。即 =記作 ，或22對一般的x，若f(x)可導(dǎo)，則有是x的函數(shù)，稱為f(x)的彈性函數(shù)。函數(shù)f(x)在點x的彈性 反映隨x的變化f(x)變化幅度的大小，也就是f(x)對x變化反應(yīng)的強烈程度或靈敏度。23 表示在點 處，當x產(chǎn)生1%的改變時，f(x)近似改變 %。在應(yīng)用問題中解釋彈性的具體意義時，我們也略去“近似”二字。注意： 兩點間的彈性是有方向性的，因為“相對性是對初始值而言的。24例1 求函數(shù) 在 處的彈性。例2 求函數(shù) 的

7、彈性函數(shù) 及例3 求冪函數(shù) （ 為常數(shù)）的彈性函數(shù)。（該函數(shù)稱為不變彈性函數(shù)）255、需求函數(shù)與供給函數(shù) “需求指在一定價格條件下，消費者愿意購置并且有支付能力購置的商品量。 消費者對某種商品的需求是多種因素決定的,商品的價格是影響需求的一個主要因素,但還有許多其他因素,如消費者收入的增減,其它代用品的價格等都會影響需求。我們現(xiàn)在不考慮價格以外的其它因素（把其它因素對需求的影響看作不變的），只研究需求與價格的關(guān)系。（1）需求函數(shù)26設(shè)P表示商品價格，Q表示需求量，那么有Q=f(P) (P為自變量， Q為因變量) 稱為需求函數(shù) 一般說來，商品價格低，需求大；商品價高， 需求小。因此需求函數(shù)Q=f

8、(P) 是單調(diào)減少函數(shù)。 因Q=f(P) 單調(diào)減少，所以有反函數(shù)，也稱為需求函數(shù)。27用D來表示需求曲線28 需求函數(shù) 的 邊際函數(shù) 稱為邊際需求。 例 若已知需求函數(shù)為則邊際需求函數(shù)為 當P=4時， 稱為P=4時的邊際需求，它的經(jīng)濟含義表示：當價格P=4時，價格上漲（或下跌）1個單位時，需求將減少（或增加）4個單位。29（2）供給函數(shù) “供給指在一定條價格條件下，生產(chǎn)者愿意出售并且有可供出售的商品量。 供給也是由多種因素決定的，這里略去價格以外的其它因素，只討論供給與價格的關(guān)系。設(shè)P表示商品價格,Q表示供給量,那么有(P為自變量,Q為因變量)稱為供給函數(shù).30 一般說來,商品價格低，生產(chǎn)者不

9、愿意生產(chǎn)，供給少；商品價格高，供給多。因此一般供給函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù)。所以有反函數(shù) ，也稱為供給函數(shù)。31（1）均衡價格 均衡價格是市場上需求量與供給量相等時的價格，此時需求量與供給量稱為均衡商品量。32 當 時，此時消費者購置的商品量會大于生產(chǎn)者愿意出賣的商品量，市場上出現(xiàn)“供不應(yīng)求，商品短缺，會形成搶購、黑市等情況，這種狀況不會持久，必然導(dǎo)致價格上漲。 當 時，此時消費者購買的商品量會小于生產(chǎn)者愿意出賣的商品量，市場上出現(xiàn)“供過于求”，商品滯銷。這種狀況不會持久，必然導(dǎo)致價格下跌。總之，市場上的商品價格將圍繞均衡價格擺動。336、需求彈性與供給彈性 定義4.6 某商品需求函數(shù) 在 處可導(dǎo)，

10、 稱為該商品在 與兩點間的需求彈性。記作34稱為該商品在處的需求彈性。記作35例1 已知某商品需求函數(shù) ，求（1）從P=30到P=20，50各點間的需求彈性；（2）P=30時的需求彈性，并指出其經(jīng)濟含義。36例2 設(shè)某商品需求函數(shù)為 ，求（1）需求彈性函數(shù)；（2）P=3，P=5，P=6時的需求彈性，并指出其經(jīng)濟含義。37 定義4.7 某商品供給函數(shù) 在處可導(dǎo)， 稱為該商品在 與兩點間的供給彈性。記作38稱為該商品在 處的供給彈性。記作397、用需求彈性分析總收益（或市場銷售總額）的變化總收益R是商品價格P與銷售量Q的乘積，即40 （1）若 ，需求變動的幅度小于價格變動的幅度，此時， ， 遞增。即價格上漲，總收益增加；價格下跌，總收益減少。 （2）若 ，需求變動的幅度大于價格變動的幅度，此時， ， 遞減。即價格上漲，總收益減少；價格下跌，總收益增加。 （3）若 ，需求變動的幅度等于價格