材料力學(xué)上冊(cè)高等教育課后答案ch

1、第十二章能量法（一）題號(hào)頁碼12-2 . 112-3 . 212-4 . 312-5 . 412-6 . 412-8 . 512-9 . 612-10 . 712-12 . 812-14 . 912-15 . 912-16 . 1012-17 . 1112-18 . 1312-21 . 1512-23 . 1612-24 . 1612-26 . 1712-28 . 1812-29 . 1912-30 . 2012-31 . 2112-33 . 2312-34 . 2412-36 . 2512-38 . 2612-40 . 27( 也可通過左側(cè)的題號(hào)書簽直接查找題目與解)12-2 圖示變寬度平板

2、，承受軸向載荷 F 作用。試計(jì)算板件的總伸長。板件的厚度為 ，長度為 l，左、右端的截面寬度分別為 b1 與 b2，材料的彈性模量為 E。題 12-2 圖解：由題圖可知，1 b2 b1 x Ax b1lF x b2 b1 bx 1l x2F 22EF 2l 1lb lV A x dx dx ln22E b2 b1 b1 b2 b12E00bx1lW 1 Fl2根據(jù)W V ，得到Flbl 2lnE b b b12112-3變關(guān)系為 c圖示等截面直桿，承受軸向載荷 F 作用。設(shè)桿的橫截面面積為 A，材料的應(yīng)力應(yīng) ，其中 c 為已知常數(shù)。試計(jì)算外力所作之功。題 12-3 圖解：根據(jù)FAl ,及 c得

3、lF cA由圖 12-3 可知，2圖 12-3 cA ddW fdl積分得2F 3l2cAW cAd l33 23c2 A2l012-4 圖示圓柱形大螺距彈簧，承受軸向拉力 F 作用。試用能量法證明彈簧的軸向變形為8FD3n 2G sin2 cos E cosGd 4式中：D 為彈簧的平均直徑，d 為彈簧絲的直徑，n 為彈簧的圈數(shù)，G 為切變模量。為螺旋升角，E 為彈性模量，題 12-4 圖解：由截面法M s FD sin,T s FD cos（a）22據(jù)能量守恒定律，有W V（b）其中，F(xiàn)2W （c）而l T 2 sl M 2 s 0 2GIds 0Vds（d）2EIP式中， l 為簧絲總長

4、，其值為Dncosl （e）將式（a）代入式（d），完成積分，并注意到式（e），得3GI sin2F 2D3nV (cos P)（f）EIcos8GIP最后，將式（c）和（f）代入式（b），化簡后，得 8FD n 2Gsin 32(cos)EcosGd 412-5 圖示等截面直桿，承受一對(duì)方向相反、大小均為 F 的橫向力作用。設(shè)截面寬度為 b、拉壓剛度為 EA，材料的泊松比為 。試?yán)霉Φ幕サ榷ɡ?，證明桿的軸向變形為l bFEA題 12-5 圖解：設(shè)該桿兩端承受軸向拉力 F1 作用，依據(jù)功的互等定理，有b FF l F 11EA由此得l bFEA12-6方向。當(dāng)正應(yīng)力 1 單獨(dú)圖示增強(qiáng)復(fù)合材料

5、，軸 1 沿方向，軸 2 垂直于作用時(shí)（圖 a），材料沿 1 和 2 方向的正應(yīng)變分別為 , 112 112EE11式中，E1 與 12 分別為復(fù)合材料的縱向彈性模量與縱向泊松比。當(dāng) 2 單獨(dú)作用時(shí)（圖 b），上述二方向的正應(yīng)變則分別為 E 21 2,212E22式中，E2 與 21 分別為復(fù)合材料的橫向彈性模量與橫向泊松比。試證明：12 21E1E2即上述四個(gè)彈性常數(shù)中，只有三個(gè)是獨(dú)立的。4題 12-6 圖解：依據(jù)功的互等定理，有 2 2 1 1即 ( 121 ) ( 21 2 )21EE12由此得12 21E1E212-8 圖示桁架，在節(jié)點(diǎn) B 承受載荷 F 作用。試用卡氏定理計(jì)算該節(jié)點(diǎn)的

6、鉛垂位移 B 。各桿各截面的拉壓剛度均為 EA。題 12-8 圖解：根據(jù)卡氏定理，有F51FNili Ni B FEA i 1各桿示如圖 12-8。5圖 12-8求 B 的運(yùn)算過程示如下表：由此得3 2 2 FaB （）2EA12-9 圖示剛架，承受載荷 F 作用。試用卡氏定理計(jì)算截面 C 的轉(zhuǎn)角。設(shè)彎曲剛度 EI 為常數(shù)。6lliFNiFNiFF l FNiNi i F12a2 F2222 Fa222a2 F2222 Fa23a1 F2121 Fa44a1 F2121 Fa45aF1Fa3 2 2 Fa2題 12-9 圖解：在截面 C 處假想附加一矩為 MC 的力偶（見圖 12-9），由圖M

7、 ( x1 ) x1MM x (F ) x,C11MaaCM ( x2 ) 1M ( x ) Fx M,22CMC圖 12-9根據(jù)卡氏定理，得2 5Fa 1 x aa(Fx1 )( 1 )dx1 (Fx2 )(1)dx2 （）CEIa6EI0012-10 試用卡氏定理計(jì)算圖示各梁橫截面 A 的撓度A 與轉(zhuǎn)角A。設(shè)彎曲剛度 EI 為常數(shù)。題 12-10 圖7（a）解：令 Fa M A ，由圖 12-10a 易得M x x ，M x 1M x M Fx ，AFMA圖 12-10(a)注意到左半段梁上 M 0 ，于是得Fa31EIa (Fa F 6EI（）A0Fa2 1 A a(Fa Fx)(1)d

8、x 0（）EI2EI（b）解：令qa F ，并在 A 端附加一順鐘向的力偶矩 M A ，自 A 向左取坐標(biāo) x，有M ( x) x ，M ( x) 1M x M Fx 1 qx 2 ，AFM2A根據(jù)卡氏定理，得11qa41EI1a (qax q（）A224EI0a12qa3(qax qx2 )(1)dx （） 1 A EI23EI012-12 圖示圓截面軸，右半段承受集度為 m 的均布扭力矩作用。試用卡氏第二定理計(jì)算桿端截面 A 的扭轉(zhuǎn)角。設(shè)扭轉(zhuǎn)剛度 GIp 為常數(shù)。題 12-12 圖解：在 A 端附加一扭力矩 M A ，自 A 向左取坐標(biāo) x1 ，自軸中間截面向左取坐標(biāo) x2 ，于是有T x

9、1 M A mx1,T x2 M A ma及8T x1 T x2 1M AM A依據(jù)卡氏定理，得3ma2 1 aa(mx1 )(1)dx1 (ma)(1)dx 002AGI2GIpp12-14 圖示，承受集度為 q(x) 的分布載荷作用，現(xiàn)在，使梁發(fā)生橫向虛位移w* (x) ，該位移滿足位移邊界條件與變形連續(xù)條件，試證明：l w ( x)q( x)dx M ( x)d*l即證明外載荷 q (x) 在虛位移上所作之總虛功 We ，等于可能內(nèi)力 M(x)在相應(yīng)虛變形上所作之總虛功 Wi 。題 12-14 圖解：應(yīng)用下列微分關(guān)系 dwq dF dM,FS xSx,dxdxdx及分部積分公式，有d w

10、 d FllW e w ( x )q ( x )dx FS l0w ( x ) S d x w FSd xd xd xl00d Mll ll0 d x MM ( x )d M ( x )d Wid x0012-15 圖示階梯形與橫截面 A 的轉(zhuǎn)角 A 。，承受載荷 F 作用。試用載荷法計(jì)算橫截面 C 的撓度 C題 12-15 圖解：設(shè)兩種狀態(tài)如下：1令 F 1；2在截面 A 處假想加一順鐘向力偶矩 M A 1 ，坐標(biāo)示如圖 12-15。9圖 12-15三種彎矩方程為M x 1 x , 1M x F xM x1 1 x,1111133a 13a3M x 1 x , M x F xM x2 1 x

11、,2222233M x 2 x ,13aM x 2F x M x3 x ,3333333依據(jù)載荷法，有 1 aF 1 1 a 22F xa( x1 )(x1 )dx1(x)()dxCEI332EI2EI33a 13Fa()54EI及 1 EIxF 1 2EIxF 1 x2Fa2 aa (1 )(x )dx (1 )(x )dx 12()(x )dx3A1122333a33a32EI3a30a02 31Fa（）108EI12-16 圖示含梁間鉸的組合梁，外伸段承受均布載荷 q 作用。試用鏈兩側(cè)橫截面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角 。二梁各截面的彎曲剛度均為 EI。載荷法計(jì)算該鉸題 12-16 圖解：求 的狀態(tài)及坐

12、標(biāo)取法示如圖 12-16。圖 12-16兩種彎矩方程為10qM x 0,M x x21112M x 1 x2 ,M x qa x222a2M x 1 x3 ,M x qa x333a2由此得到qa33EI 1 EIxqa 1 EIxqaaa (1 )(x )dx (1 )(x )dx 23（）2233a2a20012-17 圖示桁架，在節(jié)點(diǎn) B 處承受載荷 F 作用。試用B 與桿 AB 的轉(zhuǎn)角。各桿各截面的拉壓剛度均為 EA。載荷法計(jì)算該節(jié)點(diǎn)的水平位移題 12-17 圖( a) 解：求 B 和 AB 的狀態(tài)分別示如圖 12-17a（1）和 a（2）。圖 12-17a求B 的運(yùn)算過程列表如下：1

13、1iliF NiF1a332a33故有3F Ni FNili3FaB i 1求 AB 的運(yùn)算過程列表如下： EA12EA（）故有3F Ni FNili 5 3F（）ABEA6EAi 1( b) 解：求B 和 AB 的狀態(tài)分別示如圖 12-17b（1）和 b（2）。圖 12-17b求B 的運(yùn)算過程列表如下：FliiF Ni1a112iliF NiF1a23aF2 3 F32a 1 3aF3 F33a 1 3aF23 F65 3 F63a363 Fa12故有(2 2 2 )Fa5F Ni FNiliB i 1（）EAEA求 AB 的運(yùn)算過程列表如下：故有 (2 45F Ni FNili2 )F（）

14、ABEAEAi 112-18 圖示剛架，彎曲剛度 EI 為常數(shù)。試用水平或鉛垂位移。載荷法計(jì)算截面 A 的轉(zhuǎn)角及截面 D 的13iliF NiF1a1aFF22a2a2F2 2F3a0F042a2a2F2 2F5a 1aFF2 4 2 F22a02F03a142a22F2 2Fa5a0F02 2 2 Fa題 12-18 圖( a) 解：求 A 及D 的狀態(tài)分別示如圖 12-18a（1）和（2）。圖 12-18a彎矩方程依次為q M x 1,M x1 x ,M x qax x2111112M x 1 x , M x qa xM x2 a,2222a2 M x 0,M x3 x ,M x 0333

15、依據(jù)載荷法，有 A （）及D （）( b)解：求 A 及 D 的狀態(tài)如圖 12-18b（1）和 b（2）所示。14圖 12-18b彎矩方程為M eM x 1 x, 1 x,M x Mxxa2a注意到 BC 段的 M 和 M 均為 0，AB 段的 M 為 0，于是得到 1 xMM e aa A ()(x)dx e（）EIaa3EI0a21EIxMMaD x)dx e()(e（）2a6EI012-21 圖示圓截面剛架，橫截面的直徑為 d，且 a =10d 。試按下述原則計(jì)算節(jié)點(diǎn) A 的鉛垂位移 A ，并進(jìn)行比較。同時(shí)考慮彎矩與軸力的作用；只考慮彎矩的作用。題 12-21 圖解：令 F=1 即為求A

16、 的狀態(tài)，坐標(biāo) x 自下順軸線向上取。（1）考慮 M 與 FN 同時(shí)作用M x 2 x,M x 2 Fx4415利用對(duì)稱性，F(xiàn)a3Fa16030F2EI22222a (x)(Fx)dx ()(F )a （）A44EA4412EI4EA3Ed0（2）只考慮 M 作用此時(shí)，有Fa316000FA 12EI3Ed（）比較可知，后者只比前者小 0.2%。12-23 圖示變截面梁端承受集中載荷 F = 1kN 作用，材料的彈性模量 E =200GPa。試用載荷法計(jì)算截面 A 的撓度。題 12-23 圖解：令 F=1 即為求 A 的狀態(tài)，自 A 向左取坐標(biāo) x，則有M x x,M x Fx梁截面之慣性矩為

17、x1.000 107b( x)h30.0103I z x (0.020 ) 5 (0.100 x)12126由此得6 1103 0.0560943x2M ( x)M ( x)6Fl0 400A dx 0.100 x dx 107 200 109m7EI ( x)10 E00z 0.01683m 16.83mm （）12-24 圖示結(jié)構(gòu)，在截面 C 處承受載荷 F 作用。試用載荷法計(jì)算該截面的鉛垂位移C 與轉(zhuǎn)角 C 。梁 BC 各截面的彎曲剛度均為 EI，桿 DG 各截面的拉壓剛度均為 EA。16題 12-24 圖解：令 F=1 作為求C 的狀態(tài)；求 C 的狀態(tài)如圖 12-24 所示，坐標(biāo)取法亦

18、示于圖中。圖 12-24梁的彎矩方程為 M x x ,M x1 1,M x Fx1111x M x2 2 , M x x ,M x Fx2222a桿的軸力為 2FN F N2,依據(jù)載荷法，得2Fa32EI1EA8 2FaaC ( x)(Fx )dx (22 )(22a) 2F )(（）1113EIEA0及1EIax(1)(Fx )dx ( 2 )(Fx)dx (2 )(2 2F )( 2a)1a C1122aEAa005Fa 24 2F（）6EIEA12-26 圖示結(jié)構(gòu)，在鉸鏈 A 處承受載荷 F 作用。試用間的相對(duì)轉(zhuǎn)角 。各曲桿各截面的彎曲剛度均為 EI。載荷法計(jì)算該鉸鏈兩側(cè)橫截面17題 1

19、2-26 圖解：求 的狀態(tài)如圖 12-26 所示。圖 12-26自 A 處量起，彎矩方程為M FR sin cos 1M cos,注意到左右對(duì)稱，2 2 EI ) FR (sin cos 1)Rd 2 (cos20( 2)FR22FR 2(sincos cos cos )d 2EI4EI0（）12-28 圖示圓弧形小曲率桿，橫截面 A 與 B 間存在一夾角為 的微小縫隙。試問在橫截面 A 與 B 上需加何種外力，才能使該二截面恰好密合。設(shè)彎曲剛度 EI 為常數(shù)。題 12-28 圖解：設(shè)在 A、B 面上需加一對(duì)力偶矩 Me 及一對(duì)力 F 后可使二截面恰好密合，現(xiàn)確定 Me 及 F之值。載荷狀態(tài)及

20、求 A/ B 、 A / B 的狀態(tài)分別示如圖 11-28（a）,（b）和（c）。18圖 12-28彎矩方程依次為 R1 cos M M FR1 cos ,M 1,Me根據(jù)載荷法，有 2 EI2R(1)M e FR(1 cos )Rd (M FR)A / BeEI02R223EIR(1 cos )M FR(1 cos )Rd (M e 2 FR)A / BeEI0根據(jù)題意要求，應(yīng)有 A / B , RA / B由此得EI F 0,M e2R2R 的力偶，可使縫隙處該二截面恰好密合。 EI結(jié)論：加一對(duì)矩為 M e12-29 圖示開口平面剛架，在截面 A 與 B 處作用一對(duì)與剛架平面垂直的集中力

21、F。試用載荷法計(jì)算該二截面沿載荷作用方向的相對(duì)線位移 A / B 。彎曲剛度 EIy 與 EIz 以及扭轉(zhuǎn)剛度 GIt均為常數(shù)，且 Iy=Iz= I 。題 12-29 圖解：求A / B 的狀態(tài)及路徑分段坐標(biāo)示如圖 12-29。19圖 12-29載荷狀態(tài)及狀態(tài)的彎矩方程依次為M x1 Fx1,M x2 Fx2 ,M x3 Fx3 ,M x1 x1 M x2 x2M x3 x3兩種狀態(tài)的扭矩方程依次為T x Fl ,T x l2222T x3 Fl,根據(jù)載荷法，并據(jù) I y I z I ，T x3 l1l Fl 21EI1EI1EI1GIl / 2ll / 2l / 20 2Fx dx 2Fx

22、dx 2dx Fx dx 22A / BFl dx3 1122233GI40000tt33 5Fl 3Fl（）6EI2GI t12-30 圖示圓弧形小曲率桿，承受矩為 Me 的力偶作用。試用扭轉(zhuǎn)角 A 與鉛垂位移A 。彎曲剛度 EI 與扭轉(zhuǎn)剛度 GI t 均為常數(shù)。載荷法計(jì)算截面 A 的題 12-30 圖20解：求 A 和A 的狀態(tài)俯視圖如圖 12-30a 和 b 所示。圖 12-30求 A 的彎矩、扭矩方程依次為M sin ,T cos ,由此得M M esinT M e cos2Rd M e R M e R 1 EI 1 GI tM esin 2RdM ecos（）A2EI2GI t00求

23、A 的狀態(tài)的彎矩，扭矩方程依次為 Rsin , R1 cos MT由此得1EI1GItMR2MR2M Rsin Rd M R(cos cos )Rd A 22e2EIe2GIt（）ee0012-31 圖示桁架，在節(jié)點(diǎn) C 承受載荷 F 作用。試用載荷法計(jì)算該節(jié)點(diǎn)的鉛垂位移 y與水平位移 x 。各桿的材料相同，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系呈非線性，拉伸時(shí)為 c ，壓縮時(shí)亦同，其中 c 為已知常數(shù)。各桿的橫截面面積均為 A。題 12-31 圖21解：1令 F=1 作為求y 的狀態(tài)；求x 的狀態(tài)及各桿示如圖 12-31。圖 12-312內(nèi)力計(jì)算結(jié)果及桿長列于下表：3建立li 與 FNi 的關(guān)系根據(jù) c （壓縮時(shí)為

24、 c ）得 2 c 2或?qū)懗?l2F 2N c 2A2c 2l由此得F 2lF 2 ll N , Ni i l（拉取“”號(hào)，壓取“”號(hào)）iA2 c 2A2 c 24求位移根據(jù)載荷法及以上內(nèi)力結(jié)果，得22iF NiFNiFNili1010l210Fl310Fl4000l5202F2l6F 2l5 F Ni li i1y （）A2 c 25 FNi li 0 xi112-33 圖示等截面剛架，桿 AB 的左側(cè)及桿 BC 的頂面的溫度升高 T1，另一側(cè)的溫度升高 T2，并沿截面高度線性變化。試用載荷法計(jì)算截面 C 的鉛垂位移 y 、水平位移 x 與轉(zhuǎn)角 C 。橫截面的高度為 h，材料的線膨脹系數(shù)為

25、l 。題 12-33 圖解：1求d 和d設(shè)T2 T1 ，由題 12-32 之解可知， l T2 T1 dx , l T2 T1 dxddh22求截面 C 的位移求y ，x 和 C 的狀態(tài)依次示如圖 12-33a,b 和 c。圖 12-33由圖 a 可知，M x1 x1 ,M x2 l, 1F N 2由此得23 T T T T T T lll x dx l dx l21l211l21dxy1122hh20003l 2 T T l T T l21 l21 （）2h2由圖 b 可知，M x2 x2 1,F N由此得l T T l 2T T T T T T x ldx1 l x2 dx2 1l212l21