泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究報(bào)告定稿

1、.PAGE . 泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究曾璐數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)1229S002【摘要】本文主要介紹了泰勒公式及其幾個(gè)常見函數(shù)的泰勒展式在高等數(shù)學(xué)應(yīng)用中的六個(gè)問題，即用泰勒公式求極限，證明不等式，進(jìn)展近似計(jì)算，求高階導(dǎo)數(shù)在*些點(diǎn)的數(shù)值、泰勒公式在常微分方程數(shù)值求解及斂散性判斷中的應(yīng)用?！娟P(guān)鍵詞】極限 不等式 近似計(jì)算 斂散性 高階導(dǎo)數(shù)及常微分方程,。1 引言泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的公式，它有帶皮亞諾余項(xiàng)和帶拉格朗日余項(xiàng)兩種形式。這兩種形式對解決高等數(shù)學(xué)中的一些復(fù)雜的問題有很大的幫助，下面對它具體的應(yīng)用進(jìn)展分析，以此來說明泰勒公式的根本思想及其重要性。2 根本知識點(diǎn)2.1

2、 泰勒公式介紹由一般的函數(shù),它在*點(diǎn)存在有階導(dǎo)數(shù)，我們把求得的各階導(dǎo)數(shù)組合，則可以重新構(gòu)成一個(gè)次多項(xiàng)式為：，這個(gè)多項(xiàng)式稱為函數(shù)在該點(diǎn)處的泰勒(Taylor)多項(xiàng)式,其中每一項(xiàng)的系數(shù)被稱為多項(xiàng)式的泰勒系數(shù)。如果一般的函數(shù)如果在*點(diǎn)處存在到階導(dǎo)數(shù)，這時(shí)構(gòu)成新的一個(gè)多項(xiàng)式： 它為函數(shù)在該點(diǎn)處的泰勒公式，而為泰勒公式的余項(xiàng)。2.2 麥克勞林公式的推導(dǎo)以上提到的泰勒公式是在任意點(diǎn)處得到的，如果點(diǎn)是一個(gè)特殊的點(diǎn)，那函數(shù)是否可得到新的一個(gè)多項(xiàng)式組合。我們以時(shí)來進(jìn)展推導(dǎo)：當(dāng)時(shí)，可得原函數(shù)的泰勒公式轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌男问?，如下：所以?dāng)時(shí)的函數(shù)的泰勒公式就是函數(shù)的麥克勞林Maclaurin公式。利用以上的麥克勞林公式，可

3、間接的求得其他一些函數(shù)的麥克勞林公式或泰勒公式。例1求在處的泰勒公式。解：由于，由函數(shù)泰勒公式則，例2 寫出函數(shù) 在時(shí)的冪級數(shù)展開式。解：該函數(shù)不是根本初等函數(shù)，所以應(yīng)先換為根本初等函數(shù)的形式，再利用的根本初等函數(shù)的泰勒展式進(jìn)展展開。，根據(jù)的函數(shù)展開式得，；所以時(shí)：所以函數(shù)在的冪級數(shù)展開式為：3 泰勒公式的六個(gè)應(yīng)用3.1 應(yīng)用一求極限比照擬復(fù)雜函數(shù)的極限運(yùn)算,可用的根本函數(shù)的泰勒展式來代替,讓原來的函數(shù)變的簡單并且是我們熟悉的,這樣就能容易的求出.例3 求極限解：此題可以用已學(xué)過的求極限的方法洛必達(dá)法則來求解，只是計(jì)算量較大，計(jì)算過程中易出錯(cuò)。在這里我們采用泰勒公式來求解。由于極限式的分母為，

4、所以進(jìn)展變換可得：所以例4 求極限解：此題也是利用初等函數(shù)的泰勒展式來進(jìn)展變換，因?yàn)闃O限的分母是，所以可得到：則利用等價(jià)無窮小量進(jìn)展轉(zhuǎn)換，可得極限3.2 應(yīng)用二證明不等式假設(shè)證明的不等式比擬復(fù)雜，特別是不等式中既有多項(xiàng)式又有初等函數(shù)的，對這樣的不等式不能再應(yīng)用移項(xiàng)、判號方法來證明，可以利用的條件對其構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，然后利用初等函數(shù)的泰勒公式來替換，再對這個(gè)新的函數(shù)進(jìn)展證明。 例5 證明不等式，其中證明： 構(gòu)造，當(dāng)，即， ，由泰勒公式得，當(dāng)時(shí)，其中所以在時(shí)，不等式成立。例6：證明不等式，其中 證明：構(gòu)造，有，由泰勒公式得，當(dāng)時(shí)，所以在時(shí)，不等式成立。3.3 應(yīng)用三近似運(yùn)算 利用泰勒公式對一些函

5、數(shù)的近似運(yùn)算,就是利用函數(shù)的在的泰勒展式得到的，實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的麥克勞林展式，即：，期誤差項(xiàng)為 例7 lg11準(zhǔn)確到 解： 由于所以；期誤差不超過例8 估計(jì)，的絕對誤差。 解：由原式可建立新的函數(shù)，所以 例9 求的絕對誤差。 解：從題我們可以看出被積函數(shù)的泰勒展式很容易求得：根據(jù)題意我們?nèi)〉教?，則，這樣原積分就近似的轉(zhuǎn)換為：可得出，所以其實(shí)的近似值的誤差是很小的，我們也可以通過Matlab來驗(yàn)證函數(shù)與 的誤差由圖我們可以看出兩個(gè)函數(shù)之間的誤差為兩曲線間的面積，在區(qū)間0,0.5兩曲線幾乎重合，由此可知用泰勒公式來進(jìn)展誤差非常小，幾乎到達(dá)完全準(zhǔn)確的程度。3.5 應(yīng)用五*高階導(dǎo)數(shù)在一些點(diǎn)的值函數(shù)的泰勒

6、展開式,通過函數(shù)展開式我們可知的系數(shù)是,然而很容易我們就可求出該函數(shù)在*階導(dǎo)數(shù)的值。不需要在逐一求導(dǎo)，那樣會(huì)讓計(jì)算變的復(fù)雜。例10 函數(shù)，則求，解：函數(shù)的泰勒展式是的，即：，所以： ， ， ， 所以 例11 設(shè)，求， 解：由的泰勒公式：，由此可得：， ， = , 所以 ；得3.6 應(yīng)用六常微分方程數(shù)值求解 在許多科學(xué)研究領(lǐng)域?qū)?shù)學(xué)問題的研究越來越多，經(jīng)常會(huì)需要對常微分方程初值進(jìn)展求解，可是對微分方程求解初值問題一般比擬復(fù)雜，大多數(shù)都不可能求出來。但可以用數(shù)值方法求其特解，最后用程序在Matlab軟件來實(shí)現(xiàn)其算法。該程序的理論是用逐步逼近法來進(jìn)展,在這過程中泰勒公式有很大的作用。用泰勒公式求解有

7、給定和初值的聯(lián)立方程： 給出初值 (1) 求以上方程組(1)通過點(diǎn)的特解,其中。用逐步逼近計(jì)算求出在以下各點(diǎn)處的近似值,其中為軸上選取的步長。設(shè)在處,求出的近似值,為，則由泰勒公式可知： (2) 令,即可得出計(jì)算值的公式 (3) 其中 所以給定了初值條件時(shí),由方程(3),令,可得出：其中再取近似值時(shí)的保存一定的項(xiàng)數(shù),在求出后,再令,可求出,后面依次類推。例12 求滿足條件的數(shù)值解。解：由以上闡述的方法，我們選h=0.1,然后依次計(jì)算出t=0.1,0.2的值，再由逐次求導(dǎo)得出，當(dāng) 時(shí)，有由給出的初值條件我們可得到：以此類推計(jì)算出，這樣利用泰勒公式的無限逼近重復(fù)下去，然后描點(diǎn)可得數(shù)值解的圖像例13

8、以下用泰勒公式證明二階的Runge-Kutta格式解：二階的Runge-Kutta格式也是利用泰勒公式進(jìn)展逐步逼近的方法來推導(dǎo)的，它使計(jì)算誤差更小，精度更準(zhǔn)確。證明 因?yàn)?所以 把在處得到泰勒展開式：，1， 2將2帶入1得求在處的泰勒展開將代入得將與泰勒展開做比擬得由此比擬可得出二階的Runge-Kutta格式其準(zhǔn)確度更高，其本質(zhì)是利用泰勒公式的無限逼近思想來進(jìn)展證明的，從證明可看出最后的誤差是很小的。我們可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)用泰勒公式來進(jìn)展逐步逼近來求解，其實(shí)方法比擬簡單，但具體構(gòu)造這種格式往往是比擬困難的，因?yàn)樗仨毿枰惹蟪鰕的各階導(dǎo)數(shù)值。所以我們在應(yīng)用這個(gè)方法來解時(shí)必須要借助計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)其算法，

9、不然我們是很難算出來的。3.6 應(yīng)用七斂散性的判斷3.6.1數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性的判斷對于一般的數(shù)項(xiàng)級數(shù)也可用M判別法、阿貝爾判別法及狄利克雷判別法等。然而也有一些比擬復(fù)雜的數(shù)項(xiàng)級數(shù)用以上方法都不能解決，則我們可以用泰勒公式近似替代，使題目變的簡單。例14判斷級數(shù)的斂散性。解：由對進(jìn)展泰勒展式原式可得:所以 因?yàn)榧墧?shù)是正項(xiàng)級數(shù)，由用比擬判別法可知：如果，； 則正項(xiàng)級數(shù)和正項(xiàng)級數(shù)的收斂性一樣。因此，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)檎?xiàng)級數(shù)是收斂的，所以級數(shù)也是收斂的。3.6.2 廣義積分收斂性的判斷對于判斷廣義積分的收斂性主要是對被積函數(shù)的判斷，通常先考慮比擬判別法、狄利克雷判別法或阿貝爾判別法。當(dāng)被積函數(shù)比擬復(fù)雜時(shí)，可

10、以用泰勒公式對其被積函數(shù)進(jìn)展展開，使計(jì)算更容易。例15 判斷無窮積分的收斂性。解：可看出該積分的被積函數(shù)是有3個(gè)初等函數(shù)組成，所以我們可以用的泰勒展式對其進(jìn)展展開可得：，又知和的泰勒展式是的，由此可得：，由比擬判別法可得：， ， 因?yàn)槭諗康?，所以無窮積分是收斂的。例16 判斷瑕積分的斂散性.解：可很容易的知道是瑕點(diǎn)，用泰勒公式對被積函數(shù)進(jìn)展展開得：由比擬判別法得：， 所以瑕積分是發(fā)散的。注：由以上給出的例題分析，可以得出用泰勒公式對級數(shù)和廣義積分的判斷的解題思路是相似，首先是用函數(shù)的泰勒展式來代替，再利用常用的斂散性的判斷方法來進(jìn)展討論。4 總結(jié)本文對泰勒公式的根本知識點(diǎn)進(jìn)展了說明，同時(shí)探討了

11、它在高等數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用。泰勒公式的實(shí)質(zhì)就是多項(xiàng)式函數(shù)的逼近，用無限的多項(xiàng)式函數(shù)來近似等于有限的初等函數(shù)。只要準(zhǔn)確的理解這一根本思想，在分析題設(shè)條件時(shí)注意其題型特點(diǎn)，在應(yīng)用泰勒公式處理數(shù)學(xué)問題時(shí)掌握好一些技巧與規(guī)則，這樣就能準(zhǔn)確的應(yīng)用泰勒公式來解決問題?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1.華東師大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析上M 高等教育 2006年6月第3版2.王貴保 泰勒公式的行列式表示與應(yīng)用J 師專學(xué)報(bào)2003年6月 3.同濟(jì)大學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析M 高等教育 2007年4月第6版4.平，石永廷 探究泰勒公式在求解高等數(shù)學(xué)中的問題J *職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào) 2003年12月5.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等數(shù)學(xué)M 高等教育 2007年

12、4月第6版 6.安世全 泰勒公式及其應(yīng)用J 高等數(shù)學(xué)研究 2001年第3期7.遲炳榮，王秀紅 用數(shù)學(xué)歸納法證明泰勒公式J 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2008年第9期8.何青龍，躍 微分中值定理和泰勒公式的一些應(yīng)用J 中國教育開展研究 2010年第6期Applied research of Taylors Formula in advanced mathematicsZeng LuAbstractThis thesis gives an outline of Taylors Formula and some mon function e*pansions 6 related applied questions of it in advanced mathematics are discussed in the thesis, that is, how to get limit by Taylors Formula, how to prove Inequality, how to do appro*imate calculation, and some numerical value of higher derivative, as