第一章Fourier變換 復(fù)變函數(shù)與積分變換 教學(xué)課件

1、工程數(shù)學(xué)之積分變換第四版東南大學(xué)數(shù)學(xué)系 張元林編高等教育出版社引言在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，為了把較復(fù)雜的運算簡單化，人們常常采用所謂的變換的方法來到達目的。如十七世紀，航海和天文學(xué)積累了大批觀察數(shù)據(jù)，需要對它們進行大量的乘除運算。在當(dāng)時，這是非常繁重的工作，為了克服這個困難，1614年納皮爾Napier)創(chuàng)造了對數(shù)，它將乘除運算轉(zhuǎn)化為加減運算，通過兩次查表，便完成了這一艱巨的任務(wù)。十八世紀，微積分學(xué)中，人們通過微分、積分運算求解物體的運動方程。到了十九世紀，英國著名的無線電工程師海維賽德Heaviside為了求解電工學(xué)、物理學(xué)領(lǐng)域中的線性微分方程，逐步形成了一種所謂的符號法，后來就演變成了今天

2、的積分變換法。即通過積分運算把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)。同時，將函數(shù)的微積分運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，把復(fù)雜、耗時的運算簡單、快速完成。積分變換的理論和方法不僅在數(shù)學(xué)的學(xué)多分支中，而且在其它自然科學(xué)和各種工程技術(shù)鄰域中都有著廣泛的應(yīng)用。第一章 Fourier變換1.1 Fourier積分1.1.1 傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式設(shè) 是以 為周期的周期函數(shù)，如果它在區(qū)間 上滿足狄利克雷條件：1 在 上連續(xù)或者只有有限個第一類間斷點；2 在 上只有有限個極值點。那么， 在 上就可以展開成傅氏級數(shù)，在 的連續(xù)點處，級數(shù)的三角形式為： (1.1)其中，假設(shè)令 ，那么(1.1)式可寫成或這就是傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式。1

3、.1.2 傅立葉積分定理假設(shè) 在 上滿足以下條件：1 在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件；2 在無限區(qū)間 上絕對可積即積分 收斂，那么有 (1.2)成立，而左端的 在它的間斷點處，應(yīng)以 來代替。這個公式稱為傅立葉積分公式。假設(shè) 為奇函數(shù)，那么有假設(shè) 為偶函數(shù)，那么有它們分別稱為傅立葉正弦積分公式和傅立葉余弦積分公式。例1 求函數(shù) 的傅立葉積分表達式。解：根據(jù)Fourier積分公式的復(fù)數(shù)形式，有當(dāng) 時， 應(yīng)以代替。練習(xí)： 求矩形單脈沖函數(shù) 的傅里葉積分公式。解：1.2 Fourier變換1.2.1 Fourier變換的概念在(1.2)式中，設(shè) (1.3)那么 (1.4)(1.3)式稱為 的傅立葉變

4、換式，可記為 叫做 的象函數(shù)，(1.4)式稱為 的傅立葉逆變換，可記為 叫做 的象原函數(shù)。當(dāng) 為奇函數(shù)時，叫做 的傅立葉正弦變換，而叫做 的傅立葉正弦逆變換。當(dāng) 為偶函數(shù)時，叫做 的傅立葉余弦變換，而叫做 的傅立葉余弦逆變換。注：假設(shè) 僅在 上有定義，且滿足Fourier積分存在定理的條件，也可采用奇延拓或偶延拓的方法，得到 相應(yīng)的Fourier正弦積分展開式或余弦積分展開式。例1 求函數(shù) 的傅立葉變換及其積分表達式，其中 ，這個 叫做指數(shù)衰減函數(shù)，是工程技術(shù)中常碰到的一個函數(shù)。解：傅立葉變換為故所求積分表達式為例2 求函數(shù) 的正弦變換和余弦變換。解： 的正弦變換為 的余弦變換為1.2.2 非

5、周期函數(shù)的頻譜Fourier變換和頻譜概念有著密切的聯(lián)系，隨著無線電技術(shù)、聲學(xué)、振動學(xué)的蓬勃開展，頻譜理論也相應(yīng)地得到了開展。在頻譜分析中，傅氏變換 又稱為 的頻譜函數(shù)，而模 稱為 的振幅頻譜，簡稱頻譜，它是 的偶函數(shù)，即 。1.3 Fourier變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)設(shè) ， ， 是常數(shù)，那么 2、對稱性質(zhì)假設(shè) ，那么有 ， 3、位移性質(zhì) 例1 求矩形單脈沖 的頻譜函數(shù)。解一：由定義，有解二：因的頻譜函數(shù)為故4、微分性質(zhì)如果 在 上連續(xù)或只有有限個可去間斷點，且當(dāng) 時， ，那么 推論：假設(shè) 在 上連續(xù)或只有有限個可去間斷點，且 那么有 象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式例2 函數(shù) ，試求 及 。解：由中例1可知

6、，的傅里葉變換為利用象函數(shù)的求導(dǎo)公式，有5、積分性質(zhì)假設(shè) 時，那么 運用傅立葉變換的線性性質(zhì)、微分性質(zhì)以及積分性質(zhì)，可以將線性常系數(shù)微分方程包括積分方程和微積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，通過解代數(shù)方程與求傅立葉逆變換，就可以得到相應(yīng)的原方程的解。1.4 卷積與相關(guān)函數(shù)1. 卷積的概念假設(shè)給定兩個函數(shù) 和 ，那么由積分確定的 的函數(shù)稱為 和 的卷積，記作 ，即卷積滿足交換律和對加法的分配律：例1 假設(shè) 求 與 的卷積。由 ，可知當(dāng) 時，的區(qū)間為 ，故2.卷積定理假設(shè) 都滿足Fourier積分定理中的條件，且 ， ，那么1或 2 例2 求單位階躍函數(shù)和指數(shù)衰減函數(shù)的傅立葉變換的卷積 。解：1.5 Fourier變換的應(yīng)用例1 求積分方程的解，其中解：該積分方程可以改寫為故 可看作 的傅立葉逆變換，從而有例2 求解積分方程其中 為函數(shù)，且和 的傅立葉變換都存在。解：設(shè) ， ，和，由卷積定理知，積分方程右端第二項等于 ，因此上述積分方程兩端取傅立葉變換，由卷積定理可得所以由傅立葉逆變換，可求得積分方程的解例3 求常系數(shù)非齊次線性微分方程的解，其中 為函數(shù)。解：設(shè) ， ，利用傅立葉變換的線性性質(zhì)和微