《數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題》word版

1、競(jìng)賽講座 13平面三角競(jìng)賽講座 14染色問(wèn)題與染色方法競(jìng)賽講座 15函數(shù)方程競(jìng)賽講座 16不等式競(jìng)賽講座 17數(shù)學(xué)歸納法競(jìng)賽講座 18類(lèi)比、歸納、猜想競(jìng)賽講座 19排列組合、二項(xiàng)式定理競(jìng)賽講座13平面三角三角函數(shù)與反三角函數(shù)，是五種基本初等函數(shù)中的兩種，在現(xiàn)代科學(xué)的很多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用同時(shí)它也是高考、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的必考內(nèi)容之一一、三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 三角函數(shù)的性質(zhì)大體包括：定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等這里以單調(diào)性為最難它們?cè)谄矫鎺缀?、立體幾何、解析幾何、復(fù)數(shù)等分支中均有廣泛的應(yīng)用【例1】求函數(shù)y=2sin(-2x)的單調(diào)增區(qū)間。解：y=2sin(-2x)= 2sin(2x+

2、)。由2k-2x+2k+，kZ，得k-xk-，kZ。即原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：k-，k-（kZ）?！纠?】 若（0，），比較sin(cos)，cos(sin)，cos這三者之間的大小。解：在（0，）中，sinxxtgx，而0cosx1，sin(cos) cos。在（0，）中，y=cosx單調(diào)遞減，cos cos(sin)。sin(cos) cos0，f（）cos（sin）= cos 10，0 sin。=sin(ctg) ctg。作出函數(shù)y=ctgx在（0，）上的圖象，可看出：。證明：01，0sin1-=，k=2，3，n。(coscos cos)2()()()()=()2，coscos cos。二

3、、三角恒等變換眾多的三角公式，構(gòu)成了豐富多彩的三角學(xué)。要靈活地進(jìn)行三角恒等變換，除熟練地掌握三角公式以及一般的代數(shù)變形技巧外，更重要的是抓住三角式的結(jié)構(gòu)特征，從角和函數(shù)名入手，深入分析，靈活解題。【例1】（1）已知cos= -，sin(+)= ，且0，求sin的值。（2）已知sin(-)= ，求的值。提示：（1）sin=。（2）sin2=1-2 sin2(-)=；=。【說(shuō)明】三角變換重在角的變換。【例2】求coscoscoscos的值。解法1：利用公式coscos2cos4cos2n=，得coscoscoscos= -，coscoscoscos=。又coscos=，cos=，coscoscos

4、cos=。解法2：coscoscoscos= =。解法3：利用公式coscos(+)cos(-)= cos3，取=、?！纠?】求cos420+cos440+cos480的值。解：由倍角公式得cos4=()2= (1+2cos2+cos22)= +cos2+cos4，cos420+cos440+cos480= 3+(cos40+ cos80+ cos160)+(cos80+ cos160+ cos320)= +(cos40+ cos80+ cos160)= +(2cos60 cos20- cos20)= ?！纠?】若sin+cos=，cos+sin=，求sincos的值。解：令=-，則(1)(2

5、)得tg=， cos(+)=，sincos=sinsin= - cos(+)+ cos(-) = -?！纠?】已知f(x)=sin(x+)+cos(x-)是偶函數(shù)，0，求。解法一：由偶函數(shù)的定義，可得(cos+sin)sinx=0對(duì)任意xR成立。cos+sin=0，2 sin(+)=0，+=k，而0，=。解法二：由f(-)=f()，得=，然后驗(yàn)證f(x)是偶函數(shù)?！纠?】方程sinx+cosx+a=0在（0，2）內(nèi)有相異兩根、，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，以及+的值。解：sinx+cosx+a=0，sin (x+)= -。令t= x+，則t(，)，sint= -。作出函數(shù)y= sint，t(,)的圖象

6、：由圖象可以看出：當(dāng)-1 -1且-即-2a-或-a2時(shí)，sint= -有相異兩根t1、t2，原方程有相異兩根、，并且當(dāng)-2a-時(shí)，t1+t2=(+)+(+)=，+=；當(dāng)-a1，且B0，則AB?！纠?】已知a,b,c0，求證：a2ab2bc2cab+cbc+aca+b。2分析法【例4】若x,y0，求證：。【例5】若a,b,c是ABC的三邊長(zhǎng)，求證：a4+b4+c40，求證：abc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。【例7】已知ABC的外接圓半徑R=1，SABC=，a,b,c是ABC的三邊長(zhǎng)，令S=，t=。求證：tS。4反證法【例8】已知a3+b3=2，求證：a+b2。5數(shù)學(xué)歸納法【例9】

7、證明對(duì)任意自然數(shù)n，。二、不等式證明的若干技巧無(wú)論用什么方法來(lái)證明不等式，都需要對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍＿@種變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，找到突破口。1 變形技巧【例1】若nN，S=+，求證：nSn+1?！纠?】（1）若A、B、C0，求證：sinA+sinB+sinC3sin。（2）ABC的三內(nèi)角平分線分別交其外接圓于A,B,C，求證：SABCSABC。2 引入?yún)⒆兞俊纠?】將一塊尺寸為4870的矩形鐵皮剪去四角小正方形后折成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵盒，求鐵盒的最大容積?！纠?】在A

8、BC中，求證：a2+b2+c24+(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2。其中，a,b,c是ABC的三邊長(zhǎng)，= SABC。3 數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造【例5】證明：。4 遞推【例6】已知：x1=，x2=，xn=。求證：。三、放縮法【例1】若nN，n2，求證：?！纠?】、都是銳角，求證：9?！纠?】已知：a11，a1 a21，a1 a2an1，求證：?！纠?】S=1+，求S的整數(shù)部分S。【例5】設(shè)a0=5，an=an-1+，n=1,2,。求證：45a1000TON，即有PNTN=，P點(diǎn)在 N為球心，AD為直徑的球外，P點(diǎn)不屬于區(qū)域S由此可見(jiàn)，球O包含六個(gè)球的交集S，即S中不存在兩點(diǎn)，使其距離大于（2）結(jié)

9、構(gòu)類(lèi)比某些待解決的問(wèn)題沒(méi)有現(xiàn)成的類(lèi)比物，但可通過(guò)觀察，憑借結(jié)構(gòu)上的相似性等尋找類(lèi)比問(wèn)題，然后可通過(guò)適當(dāng)?shù)拇鷵Q，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為類(lèi)比問(wèn)題來(lái)解決【例3】任給7個(gè)實(shí)數(shù)xk（k=1，2，7）證明其中有兩個(gè)數(shù)xi，xj，滿足不等式0【分析】若任給7個(gè)實(shí)數(shù)中有某兩個(gè)相等，結(jié)論顯然成立若7個(gè)實(shí)數(shù)互不相等，則難以下手但仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)：與兩角差的正切公式在結(jié)構(gòu)上極為相似，故可選后者為類(lèi)比物，并通過(guò)適當(dāng)?shù)拇鷵Q將其轉(zhuǎn)化為類(lèi)比問(wèn)題作代換：xk=tgk（k l，2，7），證明必存在i，j，滿足不等式0tg(i-j)證明：令xk=tgk（k l，2，7），k（-，），則原命題轉(zhuǎn)化為：證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)i，j（-，），滿足0t

10、g(i-j)由抽屜原則知，k中必有 4個(gè)在0，）中或在（-，0）中，不妨設(shè)有4個(gè)在0，）中注意到tg00，tg=，而在0，）內(nèi)，tgx是增函數(shù)，故只需證明存在i，j，使0i-j j，則0i-j ，故0tg(i-j)這樣，與相應(yīng)的xi=tgi、xj=tgj，便有0（3）簡(jiǎn)化類(lèi)比 簡(jiǎn)化類(lèi)比，就是將原命題類(lèi)比到比原命題簡(jiǎn)單的類(lèi)比命題，通過(guò)類(lèi)比命題解決思路和方法的啟發(fā)，尋求原命題的解決思路與方法比如可先將多元問(wèn)題類(lèi)比為少元問(wèn)題，高次問(wèn)題類(lèi)比到低次問(wèn)題，普遍問(wèn)題類(lèi)比為特殊問(wèn)題等 【例4】已知xi0（i1，2，n），且xl+x2+xn=1。求證：1+ 【分析】我們可先把它類(lèi)比為一簡(jiǎn)單的類(lèi)比題：“已知xl0

11、，x20，且xl+x2 =1，求證1+”本類(lèi)比題的證明思路為：2xl+x2l，021，則1xl+x2+22，即1(+)22，1+這一證明過(guò)程中用到了基本不等式和配方法這正是要尋找的證明原命題的思路和方法證明：由基本不等式有02xi+xj，則02(n-1)( xl+x2+xn)=n-11xl+x2+xn +2n，即1(+)2n1+所謂歸納，是指通過(guò)對(duì)特例的分析來(lái)引出普遍結(jié)論的一種推理形式它由推理的前提和結(jié)論兩部分構(gòu)成：前提是若干已知的個(gè)別事實(shí)，是個(gè)別或特殊的判斷、陳述，結(jié)論是從前提中通過(guò)推理而獲得的猜想，是普遍性的陳述、判斷其思維模式是：設(shè)Mi（i1，2，n）是要研究對(duì)象M的特例或子集，若Mi（

12、i1，2，n）具有性質(zhì)P，則由此猜想M也可能具有性質(zhì)P如果M，這時(shí)的歸納法稱(chēng)為完全歸納法由于它窮盡了被研究對(duì)象的一切特例，因而結(jié)論是正確可靠的完全歸納法可以作為論證的方法，它又稱(chēng)為枚舉歸納法 如果是M的真子集，這時(shí)的歸納法稱(chēng)為不完全歸納法由于不完全歸納法沒(méi)有窮盡全部被研究的對(duì)象，得出的結(jié)論只能算猜想，結(jié)論的正確與否有待進(jìn)一步證明或舉反例本節(jié)主要介紹如何運(yùn)用不完全歸納法獲得猜想，對(duì)于完全歸納法，將在以后結(jié)合有關(guān)內(nèi)容（如分類(lèi)法）進(jìn)行講解 【例5】證明：任何面積等于1的凸四邊形的周長(zhǎng)及兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和不小于4十【分析】四邊形的周長(zhǎng)和對(duì)角線的長(zhǎng)度和混在一起令人棘手，我們可以從特例考察起：先考慮面積

13、為1的正方形，其周長(zhǎng)恰為4，對(duì)角錢(qián)之和為2即其次考察面積為1的菱形，若兩對(duì)角線長(zhǎng)記為l1、l2，那么菱形面積S=l1l2，知l1+ l22=2=，菱形周長(zhǎng)： l42=4。由此，可以猜想：對(duì)一般的凸四邊形也可將其周長(zhǎng)和對(duì)角線長(zhǎng)度和分開(kāi)考慮【證明】設(shè)ABCD為任意一個(gè)面積為1的凸四邊形，其有關(guān)線段及角標(biāo)如圖則SABCD= (eg+gf+fh+he)sin (e+f)(g+h)，e+f+g+h2，即對(duì)角線長(zhǎng)度之和不小于abcd4，即周長(zhǎng)不小于4綜上所述，結(jié)論得證，【例 6】在一直線上從左到右依次排列著 1988個(gè)點(diǎn)P1，P2，P1988，且Pk是線段Pk-1Pk+1的k等分點(diǎn)中最靠近Pk+1的那個(gè)點(diǎn)

14、（2k1988），P1P2=1，P1987 P1988=l求證：2l3-1984。【分析】本題初看復(fù)雜，難以入手不妨先從特殊值出發(fā)，通過(guò)特殊值的計(jì)算，以便分析、歸納出一般性的規(guī)律當(dāng)k=1時(shí)，P1P2=1（已知）；當(dāng)k= 2時(shí)， P2是P1P3的中點(diǎn)，故P2P3= P1P2= 1；當(dāng)k=3時(shí)， P3是P2P4的三等分點(diǎn)中最靠近的那個(gè)分點(diǎn)，即P3P4= P2P4= ( P2P3+ P3P4) =P2P3+ P3P4，故P3P4= P2P3=由此可推得4 P5=，P5P6=由、，可歸納以下猜想：PkPk+1=Pk-1Pk?！咀C明】于是有：令k=1987，則有故2l3-1984。競(jìng)賽講座19-排列、組

15、合、二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)知識(shí)1排列組合題的求解策略（1）排除：對(duì)有限條件的問(wèn)題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況排除，這是解決排列組合題的常用策略（2）分類(lèi)與分步有些問(wèn)題的處理可分成若干類(lèi)，用加法原理，要注意每?jī)深?lèi)的交集為空集，所有各類(lèi)的并集是全集；有些問(wèn)題的處理分成幾個(gè)步驟，把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，即得總的方法數(shù)，這是乘法原理（3）對(duì)稱(chēng)思想：兩類(lèi)情形出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，可用總數(shù)取半得每種情形的方法數(shù)（4）插空：某些元素不能相鄰或某些元素在特殊位置時(shí)可采用插空法即先安排好沒(méi)有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間（5）捆綁：把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個(gè)“大元素”，然

16、后與其它“普通元素”全排列，然后再“松綁”，將這些特殊元素在這些位置上全排列（6）隔板模型：對(duì)于將不可辨的球裝入可辨的盒子中，求裝的方法數(shù)，常用隔板模型如將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)縫隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，分別裝入4個(gè)不同的盒子中的方法數(shù)應(yīng)為，這也就是方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)2圓排列（1）由的個(gè)元素中，每次取出個(gè)元素排在一個(gè)圓環(huán)上，叫做一個(gè)圓排列（或叫環(huán)狀排列）（2）圓排列有三個(gè)特點(diǎn)：（ = 1 * roman i）無(wú)頭無(wú)尾；（ = 2 * roman ii）按照同一方向轉(zhuǎn)換后仍是同一排列；（ = 3 * roman iii）兩個(gè)圓排列只有在元素不同或者元素雖

17、然相同，但元素之間的順序不同，才是不同的圓排列（3）定理：在的個(gè)元素中，每次取出個(gè)不同的元素進(jìn)行圓排列，圓排列數(shù)為3可重排列允許元素重復(fù)出現(xiàn)的排列，叫做有重復(fù)的排列在個(gè)不同的元素中，每次取出個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序那么第一、第二、第位是的選取元素的方法都是種，所以從個(gè)不同的元素中，每次取出個(gè)元素的可重復(fù)的排列數(shù)為4不盡相異元素的全排列如果個(gè)元素中，有個(gè)元素相同，又有個(gè)元素相同，又有個(gè)元素相同（），這個(gè)元素全部取的排列叫做不盡相異的個(gè)元素的全排列，它的排列數(shù)是5可重組合（1）從個(gè)元素，每次取出個(gè)元素，允許所取的元素重復(fù)出現(xiàn)次的組合叫從個(gè)元素取出個(gè)有重復(fù)的組合（2）定理：從個(gè)元素每

18、次取出個(gè)元素有重復(fù)的組合數(shù)為：6二項(xiàng)式定理（1）二項(xiàng)式定理（）（2）二項(xiàng)開(kāi)展式共有項(xiàng)（3）（）叫做二項(xiàng)開(kāi)展式的通項(xiàng)，這是開(kāi)展式的第項(xiàng)（4）二項(xiàng)開(kāi)展式中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等（5）如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與最大（6）二項(xiàng)式開(kāi)展式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和，即7數(shù)學(xué)競(jìng)賽中涉及二項(xiàng)式定理的題型及解決問(wèn)題的方法二項(xiàng)式定理，由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，多年來(lái)在高考中未能充分展示應(yīng)有的知識(shí)地位，而數(shù)學(xué)競(jìng)賽的命題者卻對(duì)其情有獨(dú)鐘（1）利用二項(xiàng)式定理判斷整除問(wèn)題：往往需要構(gòu)造對(duì)偶式；（2）處理整除性問(wèn)題：構(gòu)造對(duì)偶式或利用與遞推式的

19、結(jié)合；（3）求證不等式：通過(guò)二項(xiàng)式展開(kāi)，取展開(kāi)式中的若干項(xiàng)進(jìn)行放縮；（4）綜合其他知識(shí)解決某些綜合問(wèn)題：有些較復(fù)雜的問(wèn)題看似與二項(xiàng)式定理無(wú)關(guān)，其實(shí)通過(guò)觀察、分析題目的特征，聯(lián)想構(gòu)造合適的二項(xiàng)式模型，便可使問(wèn)題迅速解決例題分析例1數(shù)1447,1005,1231有某些共同點(diǎn)，即每個(gè)數(shù)都是首位為1的四位數(shù)，且每個(gè)四位數(shù)中恰有兩個(gè)數(shù)字相同，這樣的四位數(shù)共有多少個(gè)？例2有多少個(gè)能被3整除而又含有數(shù)字6的五位數(shù)？例3有個(gè)人參加收發(fā)電報(bào)培訓(xùn)，每?jī)扇私Y(jié)為一對(duì)互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對(duì)方式？例4將個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子中，要使每個(gè)盒子都不空，共有多少種放法？例5在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面

20、的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少個(gè)？例6用8個(gè)數(shù)字1,1，7,7，8,8，9,9可以組成不同的四位數(shù)有多少個(gè)？例7用五種顏色給正方體的各個(gè)面涂色，并使相鄰面必須涂不同的顏色，共有多少種不同的涂色方式？例8某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品（每只產(chǎn)品可區(qū)分），每次取一只測(cè)試，直到4只次品全部測(cè)出為止求最后一只次品在第五次測(cè)試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？例9在平面上給出5個(gè)點(diǎn)，連結(jié)這些點(diǎn)的直線互不平行，互不重合，也互不垂直，過(guò)每點(diǎn)向其余四點(diǎn)的連線作垂線，求這此垂線的交點(diǎn)最多能有多少個(gè)？例10。.8位政治家舉行圓桌會(huì)議，兩位互為政敵的政治家不愿相鄰，其入坐方法有多少種？例11某城

21、市有6條南北走向的街道，5條東西走向的街道如果有人從城南北角（圖點(diǎn)）走到東南角中點(diǎn)最短的走法有多少種？例12用4個(gè)1號(hào)球，3個(gè)2號(hào)球，2個(gè)3號(hào)球搖出一個(gè)9位的獎(jiǎng)號(hào)，共有多少種可能的號(hào)碼？例13將個(gè)相同的小球，放入個(gè)不同的盒子（）（1）有多少種不同的放法？（2）如果不允許空盒應(yīng)有多少種不同的放法？例148個(gè)女孩和25個(gè)男孩圍成一圈，任意兩個(gè)女孩之間至少站著兩個(gè)男孩（只要把圓旋轉(zhuǎn)一下就重合的排列認(rèn)為是相同的）例15設(shè)，求的值例16當(dāng)時(shí)，的整數(shù)部分是奇數(shù)還是偶數(shù)？證明你的結(jié)論例17已知數(shù)列（）滿足：求證：對(duì)于任意正整數(shù)，是一次多項(xiàng)式或零次多項(xiàng)式例18若（），求證：例19設(shè)的整數(shù)部分，求的個(gè)數(shù)數(shù)字例20已知（）求的個(gè)位數(shù)字例21試證大于的最小整數(shù)能被整除（）例22求證：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式例23設(shè)，且求證對(duì)于每個(gè)，都有訓(xùn)練題18次射擊，命中3次，其中愉有2次連續(xù)命中的情形共有（）種（A）15（B）30（C）48（D）602在某次乒乓球單打比賽中，原計(jì)劃每?jī)擅x手恰比賽一場(chǎng)，但有3名選手各比賽了2場(chǎng)之后就退出了，這樣，全部比賽只進(jìn)行了50場(chǎng)。那么，在上述3名選手之間比賽的場(chǎng)數(shù)是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）33若的展開(kāi)式為，則的值為（A）（B）（C）（D）4某人從樓下到樓上要走11級(jí)樓梯，每步可走1級(jí)或2級(jí)，不同的走法有（）種（A）144（