大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)資料（2022年-2023年）

1、2022年-2023年最新第一章 隨機(jī)事件及其概率知識(shí)點(diǎn)：概率的性質(zhì)事件運(yùn)算古典概率事件的獨(dú)立性 條件概率 全概率與貝葉斯公式常用公式(1)P(A) = r/n P(A) = L(A)/L(S) (2)尸(A B) = P(A) + P(B) - P(AB)(加法定理)P( a ) = P(A )(設(shè)A , A A兩兩互斥,有限可加性) TOC o 1-5 h z ii12 nz=1P( A)=1-H1-P(A)(A, a, A 相互獨(dú)立時(shí))ii12 nz=1z=1(3)P(B/A)=P(AB)/P(A)(4)P(AB) =P(A)P(B/A) =P(B)P(A/B)P( AB) = P(A)

2、P(B)(A與5獨(dú)立時(shí))P( AB) =0(A, 5互不相容時(shí)) (5)P(A-B)=尸(AB) = P(A)- P(AB)P(A-B)二尸(AB) = P(A) - P(B)(當(dāng)B u A時(shí))n(6)尸P(A )P(B/A )(全概率公式) TOC o 1-5 h z II(其中AA為。的一個(gè)劃分，且P(A 0) HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 12 ni尸(A, / B)=(逆概率公式)P(A)P(B/A)IInZ P(A)P(B/A) i=12022年-2023年最新2022年-2023年最新P(X,y) eG = n f(x,y)dxd

3、y+oo/ (y)=Y00(x, y) gD其他.邊際密度函數(shù)計(jì)算+00f (x) = 1 /(X, y)dy；X00.常用分布1均勻分布 f(X, y) =0二維正態(tài)分布(X,Y)，p)X N(|i ,o 2),y N(|l ,02) TOC o 1-5 h z 11225.隨機(jī)變量的獨(dú)立性(X) F (y)XYp = p xp (G = 12 ) IJl,J HYPERLINK l bookmark18 o Current Document f(x,y) = f (x)xf (y) XY6.正態(tài)分布的可加性設(shè)q N(q,o,2)a=i,2)且己上，疝互獨(dú)立，那么12 n9自+自+匕N(X工

4、。2)12 幾也，iz=12022年-2023年最新應(yīng)用舉例1、設(shè)()的密度函數(shù)/幻)邛2，叱。那么L()。0淇他2、設(shè)離散型隨機(jī)變量(x,y)的聯(lián)合分布律為(X,y)(1,1)(1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)P i761791/18t/3cip-且x,y相互獨(dú)立，貝IJ( )o3、某箱中有100件產(chǎn)品，其中一、二、三等品分別為70、20 x10件，現(xiàn)從中隨機(jī)的抽取一件，記x其它 ，日23 i 1抽至等品 求(1) X和X的聯(lián)合分布律；(2)并求p(x WX )。 12124、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在曲線y = x，y = 圍成的區(qū)域。里服從 均勻分布，求聯(lián)合概率密度和

5、邊緣概率密度。102022年-2023年最新5、設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）的概率密度為/（%,田=卜己2y %2y1 求 p（yx）0 其它X.6、設(shè)隨機(jī)變量xxx相互獨(dú)立，并且均服從正態(tài)分布1 52,3X N（N ,o 2）= 1,2,3，貝 “X=（qX + b） （）?？醋鳂I(yè)習(xí)題 3： 1,2, 3,4,5, 6, 7,9, 10, 11,12,13,18第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)與計(jì)算隨機(jī)變量的方差（協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的性質(zhì)與計(jì)算主要內(nèi)容1、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算112022年-2023年最新 即勺分布,求成X).(X)曜型Zx pE(X)連季Pv(x)辦 I I

6、00 *I0 陰扮布且r=g(x),施.幻)曜虹g(x)p以y)型斗力(力(力公 I I00*I (XZ的聯(lián)合分布，0z=g(x,y),求E1(Z)鋰虹Zg(x, y )p (Z)連壁4fg(xy)dxdy I J IJi JR2(x,y)的聯(lián)合分布，求e(x)或夙y).方法 1 ：E(X)嗎型E(X)嚏型 0va，y)dxdy I IJ* jR2E(y)嚏型ZZy p仇丫)嚏型JJj/(x,y)dxdy J IJJ iR2方法2:先求出邊際分布，那么萬(wàn)/ 徽型S EX)=乙x pi i. * I石(y)離野Zy p2、性質(zhì)i頊X)連碧型J+V (x)dx-oo XE(y)連望型+CQyf (

7、y)辦-00 yE(X +X + + X )=E(X ) + E(X )+ +E(X )12n12n當(dāng)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)122022年-2023年最新石(xy) =E(x)r(y)；E(XX -X )=E(X)E(X ), (X ).1212n3、方差的計(jì)算即 D(X) = E(X - EXX易證 D(X) = E(X2)-(X)24.、方差性質(zhì)。(c)=O(2)O(qX+Z2)= q2O(X)特別地Q(X) = 2Z)(X)。(X y) = D(X) + D(Y) 2EX - E(X)Y - E(Y)特別地,當(dāng)x與也獨(dú)立與d(x 丫)= x(x)+。(丫)推廣：當(dāng)x,x .x相互獨(dú)立時(shí)，有d

8、(Ex)= Xdx12 ni5、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)/=1/=1協(xié)方差的計(jì)算 Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)COV (X, y) = EXY - EXEYcov(x,y)= prDX- jdtcovYx,y)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算Pxy =應(yīng)用舉例.某農(nóng)產(chǎn)品的需求量x（單位：噸）服從區(qū)間1200, 3000上的 均勻分布。假設(shè)售出這種農(nóng)產(chǎn)品1噸，可賺2萬(wàn)元，但假設(shè)銷132022年-2023年最新售不出去，那么每噸需付倉(cāng)庫(kù)保管費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)每年應(yīng)準(zhǔn)備 多少噸產(chǎn)品才可得到最大平均利潤(rùn)解設(shè)每年準(zhǔn)備該種產(chǎn)品k噸（1200kk （此時(shí)無(wú)庫(kù)存）Y = g （X）,2X-（k-X） Xs 2nvP|X-EX

9、| 1-.獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)X,X X獨(dú)立同分布，且X。0,2, 12100i那么 EX =，DX = _I 1 3! X N(100,100)那么(1) i-Q- (近似)中心極限定理100 ” 一”I X -100*(2)標(biāo)準(zhǔn)化后15Ex -100的分布函數(shù)是中L_JN(0,1)2022年-2023年最新2022年-2023年最新。（罷 X） 100（4） P（更i =1（切比雪夫不等式）x= 1 y X N（1, 1 ）同理 1W i 300（近似）i=11 r x -1W ji=1標(biāo)準(zhǔn)化后00N（0,1）尸（1 Y -1 2） 函乙x,.i =1D（ 1 更 X）21= 300

10、 = 1為75（切比雪夫不等式）162022年-2023年最新3.定理2設(shè)隨機(jī)變量XB(n, p), (=1,2)，那么對(duì) n任意xc R,有l(wèi)imP X幾一叩 x = O(x)- inp(l- pf 般章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念知識(shí)點(diǎn)：抽樣分布內(nèi)容提要1、基本概念樣本 統(tǒng)計(jì)量(常用統(tǒng)計(jì)量)2、抽樣分布定理設(shè)XN(0,l)。= 1,2 *且相互獨(dú)立，稱 (D，X 2= %2 + X2+X2=t? X2 2()12n /=1 i特別地：假設(shè)XN(O,1),那么X2/ 2(1)(2)設(shè)XN(O)I 2(初且X與Y相互獨(dú)立，那么稱T = XK幾)T2F(l,n)2F(n , n )F 2 12F(n ,

11、n )F 2 1(3)設(shè)x、 2(),y 2(，且x與y相互獨(dú)立，那么稱 1 1F = * F )Y/n 1 2 217 設(shè)XjX2, X”是從正態(tài)總體N(n，O2)中抽取的一個(gè)17 簡(jiǎn)單隨質(zhì)樣本惻對(duì)樣本均值X及樣本方差S2,有：2022年-2023年最新(4)去 N(piJ 02)n工一口 N(0,1)GinS2、為 2 ( 1 ) TOC o 1-5 h z 定理3設(shè)X ,X _X是來(lái)自N(|li Q2), 12 31Y,Y Y是來(lái)自N(N Q2)的兩個(gè)獨(dú)立樣本,12 2分別表示樣本均值，S2,S2表示樣本方差 HYPERLINK l bookmark8 o Current Documen

12、t 12那么統(tǒng)計(jì)量18(矢乎)M 日) 12(n 1 )52 +(n 1112n +n -212t(n +n -2)122022年-2023年最新應(yīng)用舉例1、事件AB滿足尸(4B) = P(而”且尸= 0.6,那么尸(8)=()。2、事件A B相互獨(dú)立,p(A) = k, P(B) = 0.2, FA 8) = 0.6 貝取= ()o3、事件AB互不相容,尸= 0.3, P(B) = 0.5,那么P(N B)=()。4、假設(shè)尸(Z) = 0.3, P( 8) = 64, P(而)=0.5, P(百4 B)=()。5、A8,C是三個(gè)隨機(jī)事件， CuB， 事件OU。)- B與A的關(guān)系是()o6、5

13、張數(shù)字卡片上分別寫著1, 2, 3, 4, 5,從中任取3張， 排成3位數(shù)，那么排成3位奇數(shù)的概率是()07、某人下午5:00下班。他所積累的資料說(shuō)明：到家時(shí)間5:30 5:40 5:40 5:50 5:50、6:00 6:0。以后乘地鐵乘汽車某日他拋一森硬幣決定乘地鐵還是乘汽車。(1)試求他在5:405:50到家的概率；(2)結(jié)果他是5:47到家的。試求他是乘地鐵回家的概率。 解(1)設(shè)a二他是乘地鐵回家的,八二他是乘汽車回家的, 12B=第/段時(shí)間到家的, / = 1,2,3,4分別對(duì)應(yīng)時(shí)間段 5:305:40, 5:405:50, 5:506:00, 6:00 漏2022年-2023年最

14、新2022年-2023年最新S212 F(n -1-1)12.設(shè)總體x,y相互獨(dú)立，且都服從 N（0,32）， 而（x,x 一x）和（y,y丫）分別來(lái)自x和y的樣本，問(wèn)： TOC o 1-5 h z 12912 9X+X + +X服從什么分布 129（2）假設(shè) （丫2+丫2+丫2）服從 為2 分布，。=?129192022年-2023年最新解：.X.N(03)i=t2 9 X + X +12r n(o,32)+ X N(02)9i=1,2 9i = t2 99E那么z=1Y(.)2 %o2(9)c=1/9第七章參數(shù)估計(jì)知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)主要內(nèi)容1、矩法202022年-202

15、3年最新矩估計(jì)法的具體步驟：（1）求出u=E（x）= u（es，e）-12r 1r 12 k1 n（2）A 1 X r 廠=12, , kr n i=l 1令u = Ar r TOC o 1-5 h z 這是一個(gè)包含左個(gè)未知參數(shù)o/H，的方程組. 12 k件解出其中0,e,，。用5表示.12左 12左八八八用方程組的解。,。，。分別作為。,。，。12 e * k12 * * * k的估計(jì)量,這個(gè)估計(jì)量稱為矩估計(jì)量.（1）構(gòu)造似然函數(shù)：L = L（e ,0 .122、極大似然估計(jì)法0 ) = n f (x ,0 ,0 . 0 )ki 12 kz=l0得似然方程（組）：.分%J = 0或=0(，=

16、 1,2 左)=0(，= 1,2 左)a In （0,0 . 0 ）12 k50（3）解方程組求出估計(jì)量3、估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性假設(shè)e（。）= e貝帕為。的無(wú)偏估計(jì)212022年-2023年最新X是總體均值X的無(wú)偏估計(jì)，EDEX = EXS2是總體方差02的無(wú)偏估計(jì)，即E52 = 02 4、區(qū)間估計(jì)單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間 432(7 9), (7- 11)應(yīng)用舉例P 71 ,1412.設(shè)總體x的概率分布為222022年-2023年最新 TOC o 1-5 h z X 123P 20(1-0) 9 21-20+02其中9(05是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值:X =1,21x=3，x=3，

17、x=2，x=1。求。的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì) 2345值。解石(X) = 3 40 + 302 X = 20 J6L(9 ) = P(X =1,X=3X=3, X=2, X=1,)12345=404(1-0)63 P 4 141 5第八章假設(shè)檢驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)主要內(nèi)容232022年-2023年最新、假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟242022年-2023年最新.提出檢驗(yàn)假設(shè)H (稱為原假設(shè))和備擇假設(shè)； 0.尋找檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量g(X,X ),并在H為真 1n0的情況下確定其分布(或極限分布)；.給定顯著水平a (0a1),確定拒絕域W;.由樣本值x1,xn計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量g(X1,Xn)鬻;作判斷：假設(shè)g(x1,

18、xn)落在拒絕域W內(nèi)，那么拒絕否那么接受H0 (相容).2、范圍單側(cè)與雙側(cè)檢驗(yàn)總體均值P 8.2.1 147總體方差P 8.2.2 150242022年-2023年最新2022年-2023年最新那么由全概率公式有2022年-2023年最新p（q）=尸（4）尸（紇 14）+ p（A）p（bj a）由上表可知尸但 I 王）=0.4, P（B A） = 0.3 P（A） = P（A） = 0.5 212212P（B+=0.5 x 0.4 + 0.3 x 0.5 = 0.35（2）由貝葉斯公式P（A |B）= P倭 B,）_ 0.5x04 _ 42%,）0.3578、盒中12個(gè)新乒乓球，每次比賽從中任

19、取3個(gè)來(lái)用，比賽后仍放回盒中，求：第三次比賽時(shí)取到3個(gè)新球的概率?？醋鳂I(yè)習(xí)題1：4, 9, 11, 15, 16第二章隨機(jī)變量及其分布知識(shí)點(diǎn)：連續(xù)型（離散型）隨機(jī)變量分布的性質(zhì)連續(xù)型（離散型）隨機(jī)變量分布（包括隨機(jī)變量函 數(shù)的分布）常用分布重要內(nèi)容1 .分布函數(shù)的性質(zhì)(1)凡出單調(diào)遞增，Elk x F(x) F(x)12F(-=lim F(x)= 0X00尸(+oo) = lim F(x) = 1Xf+00F(x)右連續(xù),即尸(x+0) =尸(x)0 F (x) 1 xw R.分布律的性質(zhì)2022年-2023年最新(1)非負(fù)性 ovp W1,(/ = 12.)/規(guī)范性 z P=17.分布密度函數(shù)的性質(zhì),(1)非負(fù)性 f(x)2O (xeF?) +oo(2)規(guī)范性 f(x)dx = 100.概率計(jì)算P(Xa) = F(a)P(xX x) = P(XX2)-P(Xx)P(X=a) = F(a)-F(a-O)X為連續(xù)型隨機(jī)變量：P(X = a) = F(a)-F(a-O) = OaP(Xa)= i f(x)dx0000_X-XJ2.常用分布 二項(xiàng)分布：?f X -日| 1.o = 2-1 = 68.27% PX-i2-(y = 20(2)-1 = 95.45% P|X-|li|0)Xk泊松定理Ckpk (1 - p