2022屆廣東省惠州市惠東高三適應性調(diào)研考試數(shù)學試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

2、要求的。1已知集合，則集合（ ）ABCD2已知集合，集合，則AB或CD3已知點，是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點，且在點處的切線與直線AB平行，則( )A，b為任意非零實數(shù)B，a為任意非零實數(shù)Ca、b均為任意實數(shù)D不存在滿足條件的實數(shù)a，b4中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題；“三百七十八里關，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝才得到其關，要見每朝行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：“有一個人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達目的地，求該人每天走的路程.”由這個描述請算出這人第四天走的路程為（ ）A6里B12里C24里D48里5設是等差

3、數(shù)列，且公差不為零，其前項和為則“，”是“為遞增數(shù)列”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件6已知雙曲線的右焦點為為坐標原點，以為直徑的圓與雙 曲線的一條漸近線交于點及點，則雙曲線的方程為（ ）ABCD7公元前世紀，古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當比賽開始后，若阿基里斯跑了米，此時烏龜便領先他米，當阿基里斯跑完下一個米時，烏龜先他米，當阿基里斯跑完下-個米時，烏龜先他米.所以，阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時，

4、烏龜爬行的總距離為（ ）A米B米C米D米8已知數(shù)列an滿足a1=3，且an+1=4an+3 (nN*)，則數(shù)列an的通項公式為（ ）A22n-1+1B22n-1-1C22n+1D22n-19設且，則下列不等式成立的是（ ）ABCD10設，若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是( )ABCD11給出以下四個命題：依次首尾相接的四條線段必共面；過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數(shù)是（ ）A0B1C2D312設為虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于( )A第一象限B第

5、二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知為偶函數(shù)，當時，則_14從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為_.15已知三棱錐中，且二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為_.16在中，點在邊上，且，設，則_（用，表示）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，四棱錐的底面中，為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角，平面平面，為中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值大小.18（12分）設函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）如果對

6、所有的0，都有，求的最小值；（）已知數(shù)列中，且，若數(shù)列的前n項和為，求證：.19（12分）已知函數(shù).（1）當時，不等式恒成立，求的最小值；（2）設數(shù)列，其前項和為，證明：.20（12分）設函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若對恒成立，求的取值范圍.21（12分）已知函數(shù)（，）滿足下列3個條件中的2個條件：函數(shù)的周期為；是函數(shù)的對稱軸；且在區(qū)間上單調(diào).（）請指出這二個條件，并求出函數(shù)的解析式；（）若，求函數(shù)的值域.22（10分）某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機抽取了20人的分數(shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分數(shù)（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）：若分數(shù)不低于95分，則稱該員工

7、的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.（1）從這20人中任取3人，求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率；（2）根據(jù)這20人的分數(shù)補全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234估計所有員工的平均分數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；若從所有員工中任選3人，記表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】弄清集合B的含義，它的元素x來自于集合A，且也是集合A的元素.【詳解】因，所以，故，又， ，則，故集合.故選：D.【點睛】本題考查

8、集合的定義，涉及到解絕對值不等式，是一道基礎題.2C【解析】由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C3A【解析】求得的導函數(shù)，結(jié)合兩點斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡可得，為任意非零實數(shù).【詳解】依題意，在點處的切線與直線AB平行，即有，所以，由于對任意上式都成立，可得，為非零實數(shù).故選：A【點睛】本題考查導數(shù)的運用，求切線的斜率，考查兩點的斜率公式，以及化簡運算能力，屬于中檔題4C【解析】設第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程【詳解】設第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得（里，（里故選：C【點睛】本

9、題考查等比數(shù)列的某一項的求法，考查等比數(shù)列等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎題5A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，若，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在，使得當時，則，不合乎題意；若，由且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則對任意的，合乎題意.所以，“，”“為遞增數(shù)列”；必要性：設，當時，此時，但數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“，”“為遞增數(shù)列”.因此，“，”是“為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)

10、合等差數(shù)列的前項和公式是解決本題的關鍵，屬于中等題6C【解析】根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點代入可得，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】由雙曲線，則漸近線方程：， 連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.7D【解析】根據(jù)題意，是一個等比數(shù)列模型，設，由，解得，再求和.【詳解】根據(jù)題意，這是一個等比數(shù)列模型，設，所以，解得，所以 .故選：D【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的實際應用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.8D【解析】試題分析：因為an+1=4an+3，所以an+1+1=

11、4(an+1)，即an+1+1an+1=4，所以數(shù)列an+1是以a1+1=4為首項，公比為4的等比數(shù)列，所以an+1=44n-1=4n=22n，即an=22n-1，所以數(shù)列an的通項公式是an=22n-1，故選D考點：數(shù)列的通項公式9A【解析】 項，由得到，則，故項正確；項，當時，該不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，即不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，即不等式不成立，故項錯誤綜上所述，故選10D【解析】令，可得.在坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象（如圖所示）.當時，.由得.設過原點的直線與函數(shù)的圖象切于點，則有，解得.所以當直線與函數(shù)的圖象切時.又當直線經(jīng)過點時，有，解得.結(jié)合圖象可得當直線與函數(shù)的

12、圖象有3個交點時，實數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個零點時，實數(shù)的取值范圍是.選D.點睛：已知函數(shù)零點的個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解.11B【解析】用空間四邊形對進行判斷；根據(jù)公理2對進行判斷；根據(jù)空間角的定義對進行判斷；根據(jù)空間直線位置關系對進行判斷.【詳解】中，空間四邊形的四條線段不共面，故錯誤.中，由

13、公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故正確.中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故錯誤.中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故錯誤.故選：B【點睛】本小題考查空間點，線，面的位置關系及其相關公理，定理及其推論的理解和認識；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.12A【解析】利用復數(shù)的除法運算化簡，求得對應的坐標，由此判斷對應點所在象限.【詳解】，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)對應點所在象限，屬于基礎題.二、填

14、空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可【詳解】.故答案為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，對數(shù)函數(shù)的運算，考查運算求解能力14【解析】基本事件總數(shù)，抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種，由此能求出抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率【詳解】從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，基本事件總數(shù)，抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種，分別為：，則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為故答案為：【點睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運算求解能

15、力，求解時注意辨別概率的模型15【解析】設的中心為T，AB的中點為N，AC中點為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點為球心O，將的長度求出或用球半徑表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設的中心為T，AB的中點為N，AC中點為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點為球心O，如圖所示因為，所以，又二面角的大小為，則，所以，設外接球半徑為R，則，在中，由余弦定理，得，即，解得，故三棱錐外接球的表面積.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問題，解決此類問題一定要數(shù)形結(jié)合，建立關于球的半徑的方程，本題計算量較大，是一道難題.16【解

16、析】結(jié)合圖形及向量的線性運算將轉(zhuǎn)化為用向量表示，即可得到結(jié)果【詳解】在中，因為，所以，又因為，所以故答案為：【點睛】本題主要考查三角形中向量的線性運算，關鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）見解析；（2）【解析】（1）設中點為，連接、，首先通過條件得出，加，可得，進而可得平面，再加上平面，可得平面平面，則平面；（2）設中點為，連接、，可得平面，加上平面，則可如圖建立直角坐標系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：設中點為，連接、，為等邊三角形，即， ，平面，

17、平面，平面，為的中位線，平面，平面，平面，、為平面內(nèi)二相交直線，平面平面，平面DMN，平面；（2）設中點為，連接、為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角，、共線，平面平面.平面平面平面，交線為，平面平面.設，則在中，由余弦定理，得：又，為中點，建立直角坐標系（如圖），則，.，設平面的法向量為，則，取，則，平面的法向量為，二面角為銳角，二面角的余弦值大小為.【點睛】本題考查面面平行證明線面平行，考查向量法求二面角的大小，考查學生計算能力和空間想象能力，是中檔題.18（）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（）；（）證明見解析【解析】（）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過解關于導數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)

18、間；（）設g（x）f（x）ax，先求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的最小值；（）先求出數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，問題轉(zhuǎn)化為證明：，通過換元法或數(shù)學歸納法進行證明即可【詳解】解：（） f（x）的定義域為（1，+），當時，f（x）2，當時，f（x）2，所以函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（）設，則，因為x2，故，（）當a1時，1a2，g（x）2，所以g（x）在2，+）單調(diào)遞減，而g（2）2，所以對所有的x2，g（x）2，即f（x）ax；（）當1a1時，21a1，若，則g（x）2，g（x）單調(diào)遞增，而g（2）2，所以當時，g（x）2，即f（x）ax

19、；（）當a1時，1a1，g（x）2，所以g（x）在2，+）單調(diào)遞增，而g（2）2，所以對所有的x2，g（x）2，即f（x）ax；綜上，a的最小值為1（）由（1an+1）（1+an）1得，anan+1anan+1，由a11得，an2，所以，數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，故，由（）知a1時，x2，即，x2法一：令，得，即因為，所以，故法二：下面用數(shù)學歸納法證明（1）當n1時，令x1代入，即得，不等式成立（1）假設nk（kN*，k1）時，不等式成立，即，則nk+1時，令代入，得，即：，由（1）（1）可知不等式對任何nN*都成立故考點：1利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；1、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值； 3

20、、數(shù)列的通項公式；4、數(shù)列的前項和；5、不等式的證明19（1）；（2）證明見解析.【解析】（1），分，三種情況推理即可；（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到證明.【詳解】（1）由，得.當時，方程的，因此在區(qū)間上恒為負數(shù).所以時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立；當時，方程有兩個不等實根，且滿足，所以函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上大于零，函數(shù)在區(qū)間上單增，又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零，不滿足題意；當時，在區(qū)間上，函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù)，所以在區(qū)間上恒為正數(shù)，不滿足題意；綜上可知：若時，不等式恒成立，的最小值為.（2）由第（1）知：若時，.若，則，即成立.將換成，得成立，即，以此類推，得，上述各式相加，得，又，所以.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)恒成立問題、證明數(shù)列不等式問題，考查學生的邏輯推理能力以及數(shù)學計算能力，是一道難題.20（1）或；（2）或.【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對值定義將不等式化為三個不等式組，分別求解集，最后求并集（2）根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，再解含絕對值不等式可得的取值范圍.試題解析：（1）等價于或或，解得：或.故不等式的解