計(jì)數(shù)原理與概率初步(解析版)考試

1、 計(jì)數(shù)原理一、選擇題1(2021年高考全國(guó)乙卷理科)將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()A60種B120種C240種D480種【答案】C解析：根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵

2、是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解2(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為()A5B10C15D20【答案】C【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為（且）所以的各項(xiàng)與展開(kāi)式的通項(xiàng)的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬于中檔題3(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)的展開(kāi)式中的系數(shù)為()A12B16C20D24【答案】A【解析】因?yàn)?，所以的系?shù)為，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開(kāi)式通項(xiàng)公式求展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)

3、，是常規(guī)考法。4(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷（理）)的展開(kāi)式中的系數(shù)為()ABCD【答案】C解析：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故含的系數(shù)為，故選C5(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷理科)展開(kāi)式中的系數(shù)為()ABCD【答案】 C 【解析】因?yàn)?則展開(kāi)式中含的項(xiàng)為,展開(kāi)式中含的項(xiàng)為,故前系數(shù)為,選C 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問(wèn)題,第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng),分析好的項(xiàng)共有幾項(xiàng),進(jìn)行加和這類問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況,尤其是兩個(gè)二項(xiàng)式展開(kāi)式中的不同 6(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)的展開(kāi)式中的系數(shù)為()ABC40D80【答案】 C 【解析

4、】, 由 展開(kāi)式的通項(xiàng)公式: 可得: 當(dāng) 時(shí), 展開(kāi)式中 的系數(shù)為 , 當(dāng) 時(shí), 展開(kāi)式中 的系數(shù)為 , 則 的系數(shù)為 故選C 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 【點(diǎn)評(píng)】(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式,求解此類問(wèn)題可以分兩步完成:第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式,建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負(fù)整數(shù),且nr,如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求解的項(xiàng) (2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng),可先化簡(jiǎn)或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解 7(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每

5、項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A12種B18種C24種D36種【答案】 D【命題意圖】本題主要考查基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，以考查考生的邏輯分析能力和運(yùn)算求解能力為主【解析】解法一：分組分配之分人首先 分組將三人分成兩組，一組為三個(gè)人，有種可能，另外一組從三人在選調(diào)一人，有種可能；其次 排序兩組前后在排序，在對(duì)位找工作即可，有種可能；共計(jì)有36種可能解法二：分組分配之分工作工作分成三份有種可能，在把三組工作分給3個(gè)人有可能，共計(jì)有36種可能解法三：分組分配之人與工作互動(dòng)先讓先個(gè)人個(gè)完成一項(xiàng)工作，有種可能，剩下的一項(xiàng)工作在有3人中一人完成有種可能，但由兩項(xiàng)工作人數(shù)相同，所以要除以，共計(jì)有3

6、6種可能解法四：占位法其中必有一個(gè)完成兩項(xiàng)工作，選出此人，讓其先占位，即有中可能；剩下的兩項(xiàng)工作由剩下的兩個(gè)人去完成，即有種可能，按分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能解法五：隔板法和環(huán)桌排列首先讓其環(huán)桌排列，在插兩個(gè)隔板，有種可能，在分配給3人工作有種可能，按分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能【知識(shí)拓展】計(jì)數(shù)原理屬于必考考點(diǎn)，?？碱}型有1排列組合；2二項(xiàng)式定理，幾乎二者是隔一年或隔兩年交互出題，排列組合這種排序問(wèn)題?？?，已經(jīng)屬于高考常態(tài)，利用二項(xiàng)式定理求某一項(xiàng)的系數(shù)或求奇偶項(xiàng)和也已經(jīng)屬于高考常態(tài)，尤其是利用二項(xiàng)式定理求某一項(xiàng)的系數(shù)更為突出8(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)如圖，小明從街道的處出發(fā)，先

7、到處與小紅會(huì)合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()()A24B18C12D9【答案】B【解析】有種走法，有種走法，由乘法原理知，共種走法故選B9(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)的展開(kāi)式中，的系數(shù)為()A10B20C30D60【答案】C解析：在的5個(gè)因式中，2個(gè)取因式中剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取，其余因式取y,故的系數(shù)為=30，故選 C考點(diǎn)：本題主要考查利用排列組合知識(shí)計(jì)算二項(xiàng)式展開(kāi)式某一項(xiàng)的系數(shù)【名師點(diǎn)睛】本題利用排列組合求多項(xiàng)展開(kāi)式式某一項(xiàng)的系數(shù)，試題形式新穎，是中檔題，求多項(xiàng)展開(kāi)式式某一項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，先分析該項(xiàng)的構(gòu)成，結(jié)合所給多項(xiàng)式，分析如何得

8、到該項(xiàng)，再利用排列組知識(shí)求解10(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為5，則等于()A4B3C2D1【答案】D 解析：中含的項(xiàng)為：，即考點(diǎn)：（1）1071求二項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)或指定項(xiàng)系數(shù)；難度：B 備注：高頻考點(diǎn)11(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)設(shè)m為正整數(shù)，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，若13=7，則()A5B6 QUOTE C7D8【答案】解析：由題知=，=，13=7，即=，解得=6，故選B考點(diǎn): （1）1072求最大系數(shù)或系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）1311函數(shù)與方程思想難度：備注：高頻考點(diǎn) 12(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)將2名教師，4名學(xué)生分

9、成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()A12種B10種C9種D8種【答案】A解析：第一步，為甲地選一名老師和兩個(gè)學(xué)生，有=12種選法；第二步，為乙地選1名教師和2名學(xué)生，有1種選法故不同的安排方案共有261=12種考點(diǎn)：（1）1062分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用；（2）1065組合問(wèn)題難度：A備注：高頻考點(diǎn)二、填空題13(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是_(用數(shù)字作答)【答案】解析：其二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)：當(dāng)，解得的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是掌握的

10、展開(kāi)通項(xiàng)公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題14(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷（理）)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有 種。(用數(shù)字填寫答案)【答案】16解析：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，共有12+4=16種，方法二，間接法：種15(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)的展開(kāi)式中，的系數(shù)是 (用數(shù)字填寫答案)【答案】10【解析】設(shè)展開(kāi)式的第項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，即故答案為1016(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)的展開(kāi)式中的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則_【答案】分析：由已知得，故的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為，其系數(shù)之和為，解得考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理17(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)的展開(kāi)式中，的系數(shù)為15，則=_(用數(shù)字填寫答案)【答案】 解析：故考點(diǎn)