二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)精簡版（含典例）

1、PAGE PAGE 8二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最值，通常選擇頂點(diǎn)式.（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：2、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下開口方向（軸）（軸）（0,0）(0, )(,0)(,)()(,把橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可以求得縱坐標(biāo))3.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：

2、由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱點(diǎn)的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 如：拋物線上兩點(diǎn)，由于縱坐標(biāo)相等，肯定是關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，所以對(duì)稱軸為：用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.4.拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：時(shí)，對(duì)稱軸為軸；（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); ,與軸交于正半軸；,

3、與軸交于負(fù)半軸. 5. 軸與拋物線的交點(diǎn) 軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). 6拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn) 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上） 沒有交點(diǎn) 7拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故 8二次函數(shù)的平移 1可以看成是由向左右平移 h個(gè)單位，再向上下平移 k個(gè)單位.注意當(dāng)h的前面是“”時(shí)，h0時(shí)，向右移；h 0時(shí)，向左移。 2二次函數(shù)的平移代表它上面的任意一點(diǎn)都做同樣的平移。即每個(gè)點(diǎn)都向左右平移 h個(gè)單位，再向上下平移 k個(gè)單位

4、 例如： 是由y=x2向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的。 =x2+4x+4+1 =(x+2)2+1的頂點(diǎn)為（-2，1）頂點(diǎn)（0，0）向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位為（-2，1）任取一個(gè)點(diǎn)（1，1）向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位為（-1，2） 上的特殊點(diǎn)（1，a+b+c）, （-1，a-b+c）, （2，4a+2b+c） （-2，4a-2b+c）9. 關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形 關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形 實(shí)質(zhì)形狀不變，即a不變，變化的是頂點(diǎn) 例如：=(x+2)2+1關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形 頂點(diǎn)（-2，1）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)（-2，-1）, 即頂點(diǎn)（-2，-1）.a不變=(x+2)2+1關(guān)于x軸對(duì)

5、稱的圖形y=(x+2)2-1 頂點(diǎn)（-2，1）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)（2， 1）, 即頂點(diǎn)（2，1）. a不變=(x+2)2+1關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形y=(x-2)2+110二次函數(shù)的增減性是以對(duì)稱軸的左右來考慮二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最值，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：2、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()開口方向(,把橫坐標(biāo)

6、代入二次函數(shù)解析式可以求得縱坐標(biāo))3.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱點(diǎn)的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 如：拋物線上兩點(diǎn)，由于縱坐標(biāo)相等，肯定是關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，所以對(duì)稱軸為：用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.4.拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：時(shí)，對(duì)稱軸為軸；（即

7、、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸. 5.直線與拋物線的交點(diǎn) （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). （2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). （3）拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn) 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上） 沒有交點(diǎn) （4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)

8、、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn). （6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故考點(diǎn)剖析1、二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)例1：（2008龍巖）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）Aa0，c0 Ba0，c0 Ca0，c0 Da0，c0 解答：D例2：（2006云南）二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（ ） A.向上、

9、直線x=4、（4，5） B.向上、直線x=-4、（-4，5）C.向上、直線x=4、（4，-5） D.向下、直線x=-4、（-4，5）解答：A 2、二次函數(shù)的增減性例3：（2008威海）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（1，2），B（3，2），C（5，7）若點(diǎn)M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論正確的是（ ） Ay1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy1y3y2 解答：B3、二次函數(shù)的最值例4：（2009荊門）函數(shù)y=(x2)(3x)取得最大值時(shí)，x=_解答：4、二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)例5：（2007廣州）二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D35、二次函數(shù)的平移例6：（2009烏魯木齊）要得到二次函數(shù)的圖象，需將的圖象（ ）A向左平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位B向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位C向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位D向右平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位6、二次函數(shù)與一元