隨機過程在金融中的應(yīng)用9基礎(chǔ)資產(chǎn)價格的變動-隨機積分ppt課件

1、 第九章 根底資產(chǎn)價錢的變動 -隨機微分方程 第一節(jié) 引 言 第二節(jié) 隨機微分方程的求解 第三節(jié) 隨機微分方程的主要方式 第四節(jié) 股票價錢對數(shù)正態(tài)分布的特性. 第一節(jié) 引 言隨機微分方程即將隨機價錢的變動分解為可預(yù)測和不可預(yù)測兩部分，且分解過程用到在時辰t的信息集。 對于不同的市場參與者來說他擁有不同的信息集，那么隨機微分方程的含義不同。如：假設(shè)一個市場參與者擁有“內(nèi)幕信息，可事先獲知影響價錢變動的一切隨機事件，那么在這種非現(xiàn)實情況下上式中的擴展項等于零。首頁.隨機微分方程的詳細方式以及誤差項 的定義都要依賴于信息集即維納過程 與信息集 相對應(yīng)。 緣由參與者知道 將如何變化，他就能完全預(yù)測這一

2、變量，即對任一時辰而言都有因此這類參與者的隨機微分方程可寫作而其他參與者的隨機微分方程那么是不變。闡明首頁.隨機微分方程可用于對衍生金融資產(chǎn)定價的緣由對于標的資產(chǎn)的價錢是如何隨時間而發(fā)生變動，此方程不但給出一個規(guī)范的模型，而且其推導(dǎo)過程與金融市場中的買賣者行為是一致的。實踐上：在一個給定的買賣日中，隨著時間的推移，買賣者總是不斷地預(yù)測資產(chǎn)的價錢并隨時記錄新事件的發(fā)生。這些事件中總會包含一些不可預(yù)測的部分，但過后這些不可預(yù)測部分也會被觀測，此時這些事件均已成為知事件，并變?yōu)橘I賣者擁有的新信息集的一部分。首頁.隨機微分方程模型普通條件即隨著時間地推移，主參數(shù)和擴展參數(shù)不會發(fā)生太大幅度地變動。前往首

3、頁.第二節(jié) 隨機微分方程的求解隨機微分方程所含未知數(shù)是一個隨機過程 ，因此求其解就是要找尋一個隨機過程，使其運動軌跡及發(fā)生概率都與其它需準確丈量的軌跡相關(guān)聯(lián)。一、解的含義首頁.察看在很短的且不延續(xù)的時間間隔上的有限差假設(shè)此方程的解是一個隨機過程 ，那么意味著1、如何找到一系列用來標識的隨機變量，以滿足上式中的增量2、能否知道滿足方程的隨機過程 的時態(tài)函數(shù)和分布函數(shù)。3、對任一給定的 和 ，能否找到一系列的隨機數(shù)對于一切的而言都滿足上面的等式。首先首頁.再尋求當時間間隔h趨于0時的方程的解其次假設(shè)延續(xù)的時間過程 ，滿足以下方程那么定義 是隨機微分方程 的解。首頁.那么隨機過程 ：二、解的類型1強

4、解知主參數(shù) ，擴展參數(shù) 以及隨機變動項稱為隨機微分方程 的強解。強解與普通微分方程的解是類似的注首頁.2弱解其中 是一維納過程.求得過程知主參數(shù) ，擴展參數(shù)使其滿足下面隨機微分方程那么稱 是隨機微分方程的弱解。首頁. 與 的區(qū)別一樣點都是均值為0，方差等于 的維納過程；密度函數(shù)的表達式一樣。從這個意義上來講，這兩個隨機誤差項之間不存在什么區(qū)別。不同點限定二者的一系列信息集不同。 雖然根本的密度函數(shù)是一樣的，但假設(shè)被不同的信息集來衡量，那實踐上這兩個隨機過程代表了現(xiàn)實生活中根本不同的兩種景象。闡明1首頁.其中的擴展項包含外生變量 ，它表示影響價錢進展完全不可預(yù)測變動的極其微小的事件。這一系列小事

5、件構(gòu)成的“歷史就是時辰的信息集 。計算強解是在給定 時，求滿足方程的值 ，也就是說為得到強解，需求知道集合 ，強解 與 是相互對應(yīng)的。計算弱解 時不需求思索生成信息集 的過程，但需思索與過程 的相關(guān)聯(lián)。又過程 可生成另外的信息集 ， 且它是 的鞅。闡明2因此，弱解需求滿足首頁.強解和弱解具有一樣的主項和擴展項，因此 和 具有類似的統(tǒng)計特性。給定均值和方差，兩解雖然有所不同，但我們并不能把二者區(qū)別開來。假設(shè)誤差項 知，那么金融分析家會選擇強解。三、解的選擇但是在運用解隨機微分方程的方法來對衍生金融產(chǎn)品進展定價時，并不能準確得悉過程 的實踐情況，我們可以運用的只需其動搖率和動搖趨勢，因此，在這種情

6、況下給衍消費品定價，應(yīng)運用弱解。首頁.四、隨機微分方程解的證明看一個特殊的隨機微分方程： 即在對看漲期權(quán)定價之中運用的布萊克休斯模型。變形首先計算由于普通積分首頁.而雖含有一個隨機項，但 的系數(shù)是一個不隨時間而改動的常數(shù)。因故即隨機微分方程的任何解都必需滿足這一積分方程 下面用伊藤定理來處理這一方程。調(diào)查備選項：首頁.用伊藤定理來計算隨機微分即假設(shè)那么這正是給定的隨機微分方程。因此，求得隨機微分方程的強解為：首頁.要求隨機微分方程的強解，應(yīng)思索備選解法，即找出依賴于參數(shù)的函數(shù)，如然后運用伊藤定理來檢驗這一備選項能否滿足隨機微分方程或相應(yīng)的積分方程。注五、資產(chǎn)現(xiàn)值的運用假設(shè) 是某資產(chǎn)的價錢，其價

7、值的添加帶有不確定性，即那么此隨機微分方程強解的備選答案是首頁.且最有效的預(yù)測值是條件期望：那么資產(chǎn)的現(xiàn)價 為：即現(xiàn)值等于時辰的預(yù)期價值用折現(xiàn)率來進展折現(xiàn)。首頁.要證明結(jié)論成立，需先計算由于故求 的方法：兩種1其中表示維納過程的條件密度函數(shù)利用維納過程的密度函數(shù)直接求。很難首頁.2 利用伊藤定理間接來求。簡單首先，令其次，用伊藤定理再次，思索相應(yīng)的積分方程最后，兩邊求均值而首頁.故假設(shè)記那么有所以且故得即從而首頁.即所以首頁.特別即當時間t = 0時，資產(chǎn)價錢等于預(yù)期未來的價錢用折現(xiàn)率r來進展折現(xiàn)。前往首頁.第三節(jié) 隨機微分方程的主要方式本節(jié)引見幾種特殊的隨機微分方程，并闡明它們是代表何種資產(chǎn)

8、的價錢以及是如何運用的。一、常系數(shù)線性隨機微分方程方式為：其中 是變量t的規(guī)范維納過程隨機微分方程中，主系數(shù)及擴展系數(shù)不隨時間的變動而變化，即與信息集是不相關(guān)的。首頁.方差適用條件在短暫的時間間隔h中，價錢變動的均值1資產(chǎn)價錢比較穩(wěn)定；2價錢變化趨勢是線性的；3動搖項不是無限大；4資產(chǎn)價錢不存在一種規(guī)律的“騰躍性。常系數(shù)的隨機微分方程描畫的是資產(chǎn)價錢圍繞線性趨勢進展的一種動搖。首頁.二、幾何隨機微分方程布萊克和休斯模型方式為：即主參數(shù)和擴展參數(shù)都依賴于時辰t 所掌握的信息，且趨勢變動和規(guī)范變動與 是成正比的。變形即闡明主項與擴展項對于 的相對變動仍是一個不變的常數(shù)。幾何模型描畫的是資產(chǎn)價錢價錢

9、在一種指數(shù)趨勢上的隨機動搖。對大多數(shù)資產(chǎn)價錢來說，這種指數(shù)趨勢似乎更符合實踐。首頁.三、平方根過程方式為： 遵照指數(shù)變動趨勢，但規(guī)范差那么是 的平方根的函數(shù)。方差即方差與 成正比的。在實踐情況中，這會增大了相對于 的變動。誤差項的方差與 是成比例的。因此，假設(shè) 隨的增大，資產(chǎn)價錢的變動率不是迅速添加，運用此模型更為適宜。方差首頁.四、均值調(diào)整過程方式為：假設(shè) 比均值 小，那么 ，這就使得 傾向于為正數(shù)，故 最終回復(fù)到均值 。闡明均值調(diào)整過程有一變動主趨勢，但此趨勢的偏向不是完全隨機的。過程 可與長期趨勢發(fā)生較小的偏離，但最終會回復(fù)到正常趨勢，這種偏離的平均度是由參數(shù) 來控制的，但參數(shù)變小時，偏

10、離的時間會變長。這時資產(chǎn)的價錢會顯示出一些可預(yù)見的周期性，使得模型與市場的有效性假設(shè)相違背。首頁.五、奧倫斯坦烏倫貝克過程方式為：其中主項與 負相關(guān)，系數(shù)為 ；擴展項屬于常參數(shù)類型。屬于均值調(diào)整隨機微分方程的一個特例。闡明這個模型表示資產(chǎn)價錢在0附近動搖，并且其偏離最終會回到長期的0均值形狀，參數(shù) 控制這種偏離的時間， 越大， 回復(fù)均值的速度越快。首頁.六、隨機動搖率隨機微分方程的主參數(shù)和擴展參數(shù)可經(jīng)過隨機性獲得，這對于衍生金融產(chǎn)品而言，更具有運用價值。由于動搖率不僅隨時間的變動而變動，而且在給定的價錢 下動搖也是隨機的。如設(shè)資產(chǎn)價錢 的隨機微分方程： 的變動遵照隨機微分方程：其中維納過程 ，

11、 是相關(guān)的首頁.資產(chǎn)動搖率的長期均值為 ，但在任一時辰t，實踐的動搖率能夠會偏離這一長期均值，調(diào)整系數(shù)為 那么市場參與者可以根據(jù)這些要素，更好地計算預(yù)期的資產(chǎn)價錢及預(yù)期的價錢動搖率。運用這種漸進的隨機微分方程，我們可獲得愈來愈復(fù)雜的模型以反映現(xiàn)實生活中的金融景象。增量 對變動率有不可預(yù)測的沖擊，它與對資產(chǎn)價錢 的沖擊是不相關(guān)的。前往首頁. 下面運用伊托定理來推導(dǎo) 變化所遵照的隨機過程。第四節(jié) 股票價錢對數(shù)正態(tài)分布的特性 假設(shè)股票價錢S遵照幾何布朗運動，即定義由于所以有伊托公式可得，函數(shù)G 所遵照的過程為首頁.由于 和 是常數(shù)，所以上式闡明G遵照的是推行的維納過程。它具有常數(shù)漂移率 和常數(shù)方差率

12、 。從而闡明，從時間t到T期間， 的變化呈正態(tài)分布特征，其均值為方差為假設(shè)令S表示如今時間t的股票價錢， 表示在未來某時T的股票價錢，那么在時間區(qū)間 中 的變化就是首頁.即有其中 表示均值為m，規(guī)范差為n的正態(tài)分布。根據(jù)正態(tài)分布的特征，那么下式也成立：這闡明 服從正態(tài)分布，其規(guī)范差與 成比例，也就是說股票價錢對數(shù)變化的不確定性是以規(guī)范差來估算的，且與估算的時間長短的平方根成比例。首頁.例6設(shè)有某種股票，其初始價錢為40美圓，年預(yù)期收益率為16%，年動搖性為20%。六個月后，該股票價錢的概率分布是什么？計算該分布的均值和規(guī)范差95%的置信區(qū)間。解在六個月后，股票價錢 的隨機分布服從對數(shù)正態(tài)分布，即有故 由于一個正態(tài)變量，位于均值的規(guī)范差為1.96范圍