精品最全圓方程-圓的方程典型例題

1、. z.-圓與程- 圓的程典型例題類(lèi)型一：圓的程例 1 求過(guò)兩點(diǎn)A(1 , 4) 、B(3 , 2) 且圓心在直線y = 0 上的圓的標(biāo)準(zhǔn)程并判斷點(diǎn)P(2 , 4) 與圓的關(guān)系分析： 欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)P 與圓的位置關(guān)系， 只須看點(diǎn)P 與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，假設(shè)距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；假設(shè)距離等于 半徑，則點(diǎn)在圓上；假設(shè)距離小于半徑，則點(diǎn)在圓解法一： 待定系數(shù)法設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)程為 (x a)2 + (y b)2 = r2 圓心在 y = 0 上，故b = 0 圓的程為 (x a)2 + y2 = r2 又該圓過(guò)A(1 , 4) 、 B(3 ,

2、2) 兩點(diǎn)(|(1 a)2 +16 = r 2|(3 a)2 + 4 = r2解之得： a = 1 ， r2 = 20 所以所求圓的程為(x +1)2 + y2 = 20 解法二： 直接求出圓心坐標(biāo)和半徑因?yàn)閳A過(guò) A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 兩點(diǎn)，所以圓心 C 必在線段 AB 的垂直平分線 l 上，又因?yàn)閗AB = 1 3 = 1 ，故 l 的斜率為 1 ，又 AB 的中點(diǎn)為 (2 , 3) ，故 AB 的垂直平分線 l 的程為： y 3 = x 2 即x y +1 = 0 又知圓心在直線y = 0 上，故圓心坐標(biāo)為C(1 , 0)半徑 r = AC = (1+1)2 +42 =

3、20 4 2故所求圓的程為(x +1)2 + y2 = 20 又點(diǎn)P(2 , 4) 到圓心C(1 , 0) 的距離為d = PC = (2 +1)2 + 42 = 25 r 點(diǎn)P 在圓外說(shuō)明： 此題利用兩種法求解了圓的程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個(gè)關(guān)鍵的量，然后根據(jù) 圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來(lái)判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，假設(shè)將點(diǎn)換成直線又該如來(lái)判 定直線與圓的位置關(guān)系呢. z.-例 2 求半徑為 4，與圓 x2 + y2 4x 2y 4 =0 相切，且和直線 y = 0 相切的圓的程分析： 根據(jù)問(wèn)題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)程求解解： 則題意，設(shè)所求圓的程為圓C：(x a)2 + (y b

4、)2 = r2 圓C 與直線 y = 0 相切，且半徑為 4，則圓心C 的坐標(biāo)為 C (a , 4) 或C (a , 4) 1 2又圓 x2 + y2 4x 2y 4 =0 的圓心 A 的坐標(biāo)為(2 , 1) ，半徑為 3假設(shè)兩圓相切，則 CA= 4 + 3 = 7 或CA= 4 3 = 1(1) 當(dāng) C (a , 4) 時(shí) ， (a 2)2 + (4 1)2 = 72 ， 或 (a 2)2 + (4 1)2 = 12 ( 無(wú) 解 ) ， 故 可 得 1a = 2 士 2 10 所求圓程為 (x 2 2 10)2 + (y 4)2 = 42 ，或(x 2 + 2 10)2 + (y 4)2 =

5、 42 (2) 當(dāng) C (a , 4) 時(shí) ， (a 2)2 + (4 1)2 = 72 ， 或 (a 2)2 + (4 1)2 = 12 ( 無(wú) 解 ) ， 故 2a = 2 士 2 6 所求圓的程為 (x 2 2 6)2 + (y + 4)2 = 42 ，或(x 2 + 2 6)2 + (y + 4)2 = 42 說(shuō)明： 對(duì)此題，易發(fā)生以下誤解：由 題 意 ， 所 求 圓 與 直 線 y = 0 相 切 且 半 徑 為 4 ， 則 圓 心 坐 標(biāo) 為 C(a , 4) ， 且 程 形如 (x a)2 + (y 4)2 = 42 又圓 x2 + y2 4x 2y 4 = 0 ，即 (x 2)

6、2 + (y 1)2 = 32 ，其圓心為 A(2 , 1) ， 半 徑 為 3 假 設(shè) 兩 圓 相 切 ， 則 CA = 4 + 3 故 (a 2)2 + (4 1)2 = 72 ， 解 之 得 a = 2 士 2 10 所 以 欲 求 圓 的 程 為 (x 2 2 10)2 + (y 4)2 = 42 ， 或 (x 2 + 2 10)2 + (y 4)2 = 42 上述誤解只考慮了圓心在直線y = 0 上的情形，而疏漏了圓心在直線y = 0 下的情形另外，誤解中沒(méi)有考慮兩圓切的情況也是不全面的例 3 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0 , 5) ，且與直線x 2y = 0 和2x + y = 0 都相切的圓的

7、程分析： 欲確定圓的程 需確定圓心坐標(biāo)與半徑， 由于所求圓過(guò)定點(diǎn)A ，故只需確定圓心坐標(biāo) 又 圓與兩直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上解： 圓和直線x 2y = 0 與2x + y = 0 相切，圓心 C 在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線x 2y = 0 和2x + y = 0 的距離相等. z.-x 2y x + 2y = 5 5兩直線交角的平分線程是x + 3y = 0 或3x y = 0 又圓過(guò)點(diǎn)A(0 , 5) ，圓心C 只能在直線3x y = 0 上設(shè)圓心C(t , 3t) C 到直線2x+ y = 0 的距離等于 AC ， 2t + 3t = t2 + (3t 5)

8、2 5化簡(jiǎn)整理得 t2 6t +5 =0 解得： t = 1 或t = 5圓心是(1 , 3) ，半徑為 5 或圓心是(5 , 15) ，半徑為5 5 所求圓的程為(x 1)2 +(y 3)2 =5 或(x 5)2 + (y 15)2 = 125 說(shuō)明： 此題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的 程，這是過(guò)定點(diǎn)且與兩直線相切的圓的程的常規(guī)求法例 4 、 設(shè)圓滿足： (1)截y 軸所得弦長(zhǎng)為 2；(2)被x 軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為3:1，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線l：x 2y = 0 的距離最小的圓的程分析： 要求圓的程，只須利用條件求

9、出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)程滿足兩個(gè)條件 的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，假設(shè)能求出這軌跡的程，便可利用點(diǎn)到直線的距 離公式，通過(guò)求最小值的法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的程解法一： 設(shè)圓心為P(a , b) ，半徑為 r 則P 到x 軸、 y 軸的距離分別為 b 和 a 由題設(shè)知：圓截x 軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為90 ，故圓截x 軸所得弦長(zhǎng)為 2r r2 = 2b2又圓截 y 軸所得弦長(zhǎng)為 2 r2 = a2 +1 又P(a , b) 到直線x 2y = 0 的距離為- 5d 2 = a - 2b 25當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)取=號(hào)，此時(shí) dmin

10、= 5 (a = b這時(shí)有l(wèi)2b2 - a2 = 1(a = 1 (a = - 1 或lb = 1 lb = -1又 r2 = 2b2 = 2故所求圓的程為(x - 1)2 +(y - 1)2 = 2 或(x +1)2 + (y +1)2 = 2解法二： 同解法一，得a - 2bd = 5 a - 2b = 土 5d a2 = 4b2 土 4 5bd + 5d 2 將 a2 = 2b2 - 1代入上式得：2b2 土 4 5bd + 5d 2 + 1 = 0 上述程有實(shí)根，故編 = 8(5d 2 - 1) 0 ， d 555將 d = 代入程得b = 土1 5又2b2 = a2 + 1 a =

11、土1 由 a - 2b = 1知a 、 b 同號(hào)故所求圓的程為(x - 1)2 +(y - 1)2 = 2 或(x + 1)2 + (y + 1)2 = 2 說(shuō)明： 此題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的程，假設(shè)變換為求面積最小呢.類(lèi)型二：切線程、切點(diǎn)弦程、公共弦程例 5 圓 O ：x2 + y2 = 4 ，求過(guò)點(diǎn)P(2，4)與圓 O 相切的切線. z. z.-解： 點(diǎn)P(2，4)不在圓 O 上，切線PT 的直線程可設(shè)為y = k(x 2)+ 4根據(jù)d = r 2k + 4 = 21+ k2解得所以即3x 4y +10 = 03k = 4y = 3 (x 2)+44因?yàn)檫^(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條

12、，可見(jiàn)另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為x = 2 說(shuō)明： 上述解題過(guò)程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解此題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線程代入圓程，用判別式等于0 解決也要注意漏解還可以運(yùn)用 x x + y y = r 2 ，求出切點(diǎn)坐標(biāo) x 、 y 的值來(lái)解決，此時(shí)沒(méi)有漏解0 0 0 0例 6 兩圓 C ：x2 + y2 + D x + E y + F = 0 與 C ：x2 + y 2 + D x + E y + F = 0 相交于 A 、 B 兩1 1 1 1 2 2 2 2點(diǎn)，求它們的公共弦AB 所在直線的程分析： 首先求A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線AB

13、的程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程太 繁為了防止求交點(diǎn)，可以采用設(shè)而不求的技巧解： 設(shè)兩圓 C 、 C 的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為(x , y ) ，則有：1 2 0 0 x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 0 0 1 0 1 0 1x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 0 0 2 0 2 0 2得： (D D )x +(E E )y + F F = 0 1 2 0 1 2 0 1 2 A 、 B 的坐標(biāo)滿足程(D D )x +(E E )y + F F = 0 1 2 1 2 1 2程(D D )x +(E E )y + F F = 0 是過(guò) A 、 B 兩點(diǎn)

14、的直線程1 2 1 2 1 2又過(guò) A 、 B 兩點(diǎn)的直線是唯一的兩圓 C 、 C 的公共弦 AB 所在直線的程為(D D )x + (E E )y + F F = 0 1 2 1 2 1 2 1 2說(shuō)明： 上述解法中，巧妙地避開(kāi)了求A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒(méi)有去 求它，而是利用曲線與程的概念到達(dá)了目標(biāo)從解題的角度上說(shuō)，這是一種設(shè)而不求的技巧，從 知識(shí)容的角度上說(shuō)，還表達(dá)了對(duì)曲線與程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線程是一次程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)它 的應(yīng)用很廣泛例 7、過(guò)圓 x2 + y2 = 1 外一點(diǎn)M(2,3) ，作這個(gè)圓的兩條切線MA 、 MB ，切點(diǎn)分別是 A 、 B ，求

15、直線AB 的程。. z.-練習(xí)：1求過(guò)點(diǎn)M (3,1) ，且與圓 (x 一 1)2 + y2 = 4 相切的直線l 的程解：設(shè)切線程為y 一 1 = k(x 一 3) ，即kx 一 y 一 3k +1 = 0 ，圓心(1,0) 到切線l 的距離等于半徑2 ， | k 一 3k +1| = 2 ，解得 k = 一 3 ，k 2 +(一 1)2 4切線程為 y 一 1 = 一 (x 一 3) ，即3x + 4y 一 13 = 0 ，34當(dāng)過(guò)點(diǎn)M 的直線的斜率不存在時(shí)，其程為x = 3 ，圓心(1,0) 到此直線的距離等于半徑2 ， 故直線x = 3 也適合題意。所以，所求的直線l 的程是3x +

16、4y 一 13 = 0 或x = 352、過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓 x 2 + y 2 一 4x + 2y+ = 0 相切的直線的程為25解：設(shè)直線程為 y = kx ，即kx 一 y = 0 . 圓程可化為 (x 一 2)2 + (y + 1)2 = ，圓心為2，-1，210 2k + 1 10 1 1半徑為 .依題意有 = ，解得k = 一3 或 k = ，直線程為 y = 一3x 或y = x .2 k 2 + 1 2 3 33、直線5x + 12y + a = 0 與圓x 2 一 2x + y 2 = 0 相切，則a 的值為.5 + a = 1，解得a = 8 或a = 一18 .解：圓(x

17、一 1)2 + y 2 = 1 的圓心為1 ，0，半徑為 1，52 + 122類(lèi)型三：弦長(zhǎng)、弧問(wèn)題例 8、求直線l : 3x 一 y 一 6 = 0 被圓 C : x2 + y 2 一 2x 一 4y = 0 截得的弦 AB 的長(zhǎng). 例 9、直線 3x + y 一 2 3 = 0 截圓x 2 + y 2 = 4 得的劣弧所對(duì)的圓心角為解：依題意得，弦心距d = 3 ，故弦長(zhǎng) AB = 2 r 2 一 d 2 = 2 ，從而OAB 是等邊三角形，故截幾得的劣弧所對(duì)的圓心角為三AOB =3 .例 10、求兩圓 x2 + y2 一 x + y 一 2 = 0 和 x2 + y2 = 5 的公共弦長(zhǎng)類(lèi)

18、型四：直線與圓的位置關(guān)系例 11、直線 3x + y 一 2 3 = 0 和圓x 2 + y 2 = 4 ，判斷此直線與圓的位置關(guān)系 .例 12、假設(shè)直線y = x + m 與曲線y = 4 一 x2 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)m 的取值圍.解：曲線 y = 4 一 x2 表示半圓 x 2 + y 2 = 4(y 0) ，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)m 的取值圍 是 一 2 共 m 0) 沒(méi)有公共點(diǎn)，則 a 的取值圍是. z.-解：依題意有 a 1 a ，解得 2 1 a 0 ， 0 a 2 1 .2練習(xí) 2：假設(shè)直線 y = kx + 2 與圓(x 2)2 +(y 3)2 = 1 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

19、則k 的取值圍是.解：依題意有 1 ，解得 0 k ， k 的取值圍是(0, ) .2k 1 4 4k 2 + 1 3 33 、 圓 x2 + y2 +2x +4y 3 = 0 上到直線x + y +1 = 0 的距離為 2 的點(diǎn)共有 A 1 個(gè) B2 個(gè) C 3 個(gè) D4 個(gè)分 析 ： 把 x2 + y2 +2x +4y 3 = 0 化 為 (x +1)2 +(y + 2)2 = 8 ， 圓 心 為 (1， 2)， 半 徑為r = 2 2 ，圓心到直線的距離為 2 ，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于 2 ，所以選 C4 、 過(guò)點(diǎn)P( 3， 4)作直線l ，當(dāng)斜率為值時(shí)，直線l 與圓 C：

20、(x 1)2 +(y +2)2 = 4 有公共點(diǎn)，如下 列圖分析： 觀察動(dòng)畫(huà)演示，分析思路解： 設(shè)直線l 的程為 y即根據(jù)d r 有*整理得 O解得40 k 3 E類(lèi)型五：圓與圓的位置關(guān)系P問(wèn)題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如確定.例 14、判斷圓 C : x2 + y 2 +2x 6y 26 = 0 與圓1C : x 2 + y 2 4x + 2y + 4 = 0 的位置關(guān)系，2例 15：圓 x 2 + y 2 2x = 0 和圓 x 2 + y 2 + 4y = 0 的公切線共有條。解： 圓(x 1) 2 + y 2 = 1 的圓心為 O (1,0) ，半徑 r = 1，圓 x 2 + ( y +

21、 2) 2 = 4 的圓心為 O (0, 2) ，1 1 2半徑 r = 2 ， O O = 5, r + r = 3, r r = 1. r r O O r ， 直 線 與 圓 相 離 ， 圓 上 的點(diǎn) 到直 線的 最 大 距 離與 最 小 距 離的 差 是2(d + r) 一 (d 一 r) = 2r = 6 2 . z. z.4x - 1 cos9 - 3 cos9 - 3得sin9 - t cos9 = 2 - 3t ， 1 +t 2 sin(9 - 0) = 2 - 3t-例 19 (1)圓 O ：(x - 3)2 +(y - 4)2 = 1 ， P(x , y) 為圓 O 上的動(dòng)點(diǎn)

22、，求d = x2 + y2 的最大、最小值1(2)圓O ：(x +2)2 + y 2 = 1 ， P(x , y) 為圓上任一點(diǎn)求 y - 2 的最大、最小值，求 x - 2y 的最2 x - 1大、最小值分析： (1)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)程或數(shù)形結(jié)合解決 解： (1)(法 1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)程(x - 3)2 +(y - 4)2 = 1 ly = 4 + sin9 ,可設(shè)圓的參數(shù)程為(x = 3 + cos9 , 9 是參數(shù)則 d = x2 + y2 = 9 + 6cos9 + cos2 9 + 16 + 8sin9 + sin 2 9= 26 + 6cos9 +

23、 8sin9 = 26 + 10cos(9 - 0) 其中tan0 = 3max min所以 d = 26 + 10 = 36 ， d = 26 - 10 = 16 (法 2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值 d 1 等于圓心到原點(diǎn)的距離 d 1 加上半徑 1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值 d2 等于圓心到原點(diǎn)的距離d 1 減去半徑 1所以 d = 32 + 42 + 1 = 6 1d = 32 + 42 - 1 = 4 2max min(2) (法 1)由(x + 2)2 + y2 = 1 得圓的參數(shù)程： (x = -2 + cos9 , 9 是參數(shù)所以 d = 36 d = 16 ly = sin9

24、,y - 2 sin9 - 2 sin9 - 2則 = 令 = t ，亭 2 - 3t = sin(9 - 0) 施 1 亭 3 - 3 施 t 施 3 + 3 1 + t2 4 43 - 33 + 34，最小值為所以 t = ， t =max 4 min3 - 3 y - 2 3 + 3即 的最大值為4x - 1 4此時(shí)x - 2y = -2 + cos9 - 2sin9 = -2 + 5 cos(9 +0) . z.-所以x 一 2y 的最大值為 一2 + 5 ，最小值為 一2 一 5 (法 2)設(shè) y 一 2 = k ，則kx 一 y 一 k + 2 = 0 由于P(x , y) 是圓上

25、點(diǎn)， 當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)， 如下x 一 1列圖，兩條切線的斜率分別是最大、最小值由 d = =1 ，得k = 一 2k 一 k + 2 3 士 31+ k2 4y 一 2 3 + 3 3 一 3所以 的最大值為 ，最小值為 x 一 1 4 4令x 一 2y = t ，同理兩條切線在x 軸上的截距分別是最大、最小值由 d = =1 ，得 m = 一2 士 5 一 2 一 m5所以x 一 2y 的最大值為 一2 + 5 ，最小值為 一2 一 5 例 20： A(一2,0) ， B(2,0) ，點(diǎn)P 在圓(x 一 3)2 +(y 一 4)2 = 4 上運(yùn)動(dòng)，則 PA 2 + PB 2 的最小值是.

26、解：設(shè)P(x, y) ，則 PA 2 + PB 2 = (x +2)2 + y 2 +(x 一 2)2 + y 2 = 2(x2 + y 2 ) +8 = 2 OP 2 +8 .設(shè)圓心min為C(3,4) ，則 OP = OC 一 r = 5 一 2 = 3 ， PA 2 + PB 2 的最小值為 2 32 + 8 = 26 .練習(xí)：1：點(diǎn)P(x, y) 在圓 x 2 +(y 一 1)2 =1 上運(yùn)動(dòng).1求 y 一 1 的最大值與最小值； 2求2x + y 的最大值與最小值.x 一 2解：1設(shè) y 一 1 = k ，則k 表示點(diǎn)P(x, y) 與點(diǎn)2， 1連線的斜率. 當(dāng)該直線與圓相切時(shí)， k

27、 取得x 一 2最大值與最小值. 由 2k = 1 ，解得 k = 士 3 ， y 一 1 的最大值為 3 ，最小值為 一 3 .k 2 + 1 3 x 一 2 3 32設(shè)2x + y = m ，則m 表示直線2x + y = m 在y 軸上的截距. 當(dāng)該直線與圓相切時(shí)， m 取得最大值與最小值. 由 =1 ，解得m = 1 士 5 ， 2x + y 的最大值為1+ 5 ，最小值為1 一 5 .1 一 m52 設(shè)點(diǎn)P(x , y) 是圓 x2 + y2 =1 是任一點(diǎn)，求u = y 一 2 的取值圍 x +1分析一： 利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替x 、 y ，轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題來(lái)解決解法一： 設(shè)圓

28、 x2 + y2 =1 上任一點(diǎn)P(cos9 , sin9 ). z.lx2 + y2 = 1-則有 x = cos9 ， y = sin9 9 =0 , 2爪)cos9 + 1 u = sin9 _ 2 ， u cos9 + u = sin9 _ 2 u cos9 _ sin9 = _(u + 2) 即 u 2 + 1sin(9 _ Q) = u + 2 tan Q = u sin(9 _ Q) = (u + 2) u2 + 1又 sin(9 _ Q) 共 1 共1u + 2u2 + 13解之得： u 共 _ 4分析二： u = 的幾意義是過(guò)圓 x2 + y2 = 1 上一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)(_1

29、, 2)的連線的斜率，利用此直線與圓 x2 + y2 = 1 有公共點(diǎn)，可確定出u 的取值圍x + 1解法二： 由 u = y _ 2 得： y _ 2 = u(x +1) ，此直線與圓 x2 + y2 = 1 有公共點(diǎn)，故點(diǎn) (0 , 0) 到直線的距離d 共 1 共1u + 2u2 + 13解得： u 共 _ 4另外，直線 y _ 2 = u(x +1) 與圓x2 + y2 = 1 的公共點(diǎn)還可以這樣來(lái)處理：由 消去 y 后得： (u2 + 1)x2 +(2u2 + 4u)x +(u2 + 4u + 3) = 0 ，(y _ 2 = u(x + 1)此程有實(shí)根，故 編 = (2u2 + 4

30、u)2 _ 4(u2 + 1)(u2 + 4u + 3) 0 ，3解之得： u 共 _ 4說(shuō)明： 這里將圓上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來(lái)，從而將求變量 u 的圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有 關(guān)知識(shí)來(lái)求解或者是利用其幾意義轉(zhuǎn)化成斜率來(lái)求解，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)捷便3、點(diǎn) A(_2,_2), B(_2,6), C(4,_2) ，點(diǎn)P 在圓 x 2 + y 2 = 4 上運(yùn)動(dòng)，求PA2 + PB 2 + PC2 的最大值和最小值.類(lèi)型八：軌跡問(wèn)題. z.|lx = x.-例 21、根底訓(xùn)練：點(diǎn)M 與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0) ， A(3,0) 的距離的比為 1 ，求點(diǎn)M 的軌跡程.2例 22、線段AB 的端點(diǎn)B 的坐標(biāo)是4

31、，3，端點(diǎn)A 在圓(x +1)2 + y 2 = 4 上運(yùn)動(dòng)，求線段AB 的中 點(diǎn)M 的軌跡程.例 23 如下列圖， 圓 O：x2 + y2 = 4 與 y 軸的正向交于 A 點(diǎn)，點(diǎn)B 在直線 y = 2 上運(yùn)動(dòng)，過(guò)B 做圓O 的切線，切點(diǎn)為C ，求編ABC 垂心H 的軌跡分析： 按常規(guī)求軌跡的法，設(shè)H(x , y) ，找 x , y 的關(guān)系非常難由于H 點(diǎn)隨B ， C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮H ， B ， C 三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系解： 設(shè)H(x , y) ， C(x , y ) ，連結(jié) AH ， CH ，則 AH BC ， CH AB ， BC 是切線OC BC ，所以O(shè)C / AH ， CH

32、/ OA ， OA = OC ，所以四邊形 AOCH 是菱形所以 CH = OA = 2 ，得(|y = y - 2,又 C(x , y ) 滿足x2 + y2 = 4 ，所以 x2 +(y - 2)2 = 4(x 豐 0) 即是所求軌跡程說(shuō)明： 題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識(shí)采取代入法求軌跡程做題時(shí)應(yīng) 注意分析圖形的幾性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡程，可考慮代入 法例 24 圓的程為 x2 + y2 = r2 ，圓有定點(diǎn)P(a , b) ，圓上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A 、 B ，使PA PB ，求矩形APBQ 的頂點(diǎn)Q 的軌跡程分析： 利用幾法求解，或利用轉(zhuǎn)移法

33、求解，或利用參數(shù)法求解解法一： 如圖，在矩形APBQ 中，連結(jié) AB ， PQ 交于M ，顯然OM AB ， AB = PQ ，在直角三角形 AOM 中，假設(shè)設(shè)Q(x , y) ，則 M( x +a , y + b) 2 2由 OM 2 + AM 2 = OA 2 ，即( x + a )2 + ( y + b)2 + 1 (x - a)2 + (y - b)2 = r2 ，2 2 4也即 x2 + y2 = 2r2 - (a2 + b2 ) ，這便是Q 的軌跡程解法二： 設(shè)Q(x , y) 、 A(x , y ) 、 B(x , y ) ，則 x 2 + y 2 = r 2 ， x 2 + y

34、 2 = r 2 1 1 2 2 1 1 2 2又 PQ 2 = AB 2 ，即. z.-(x a)2 + (y b)2 = (x x )2 + (y y )2 = 2r2 2(x x + y y ) 1 2 1 2 1 2 1 2又 AB 與PQ 的中點(diǎn)重合，故 x+ a = x + x ， y + b = y + y ，即1 2 1 2(x + a)2 + (y + b)2 = 2r2 + 2(x x + y y ) 1 2 1 2，有 x2 + y2 = 2r2 (a2 + b2 ) 這就是所求的軌跡程解法三： 設(shè) A(r cosa , r sina ) 、 B(r cosb , r s

35、in b ) 、 Q(x , y) ，由于 APBQ 為矩形，故AB 與 PQ 的中點(diǎn)重合，即有x + a = r cosa + r cosb ，y + b = r sina + r sin b ，又由PA PB 有r sina brcosaa . r sin b brcosba = 1 聯(lián)立、消去a 、 b ，即可得Q 點(diǎn)的軌跡程為 x2 + y2 = 2r2 (a2 + b2 ) 說(shuō)明： 此題的條件較多且較隱含，解題時(shí)，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾性質(zhì)，否則， 將使解題陷入困境之中此題給出三種解法其中的解法一是幾法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都

36、可以稱(chēng)為參數(shù)法解法二涉及到了 x 、 x 、 y 、 y 四個(gè)參數(shù)，故1 2 1 2需列出五個(gè)程；而解法三中，由于借助了圓 x2 + y2 = r2 的參數(shù)程，只涉及到兩個(gè)參數(shù)a 、 b ，故只需列出三個(gè)程便可上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想法 求解練習(xí)：1、由動(dòng)點(diǎn)P 向圓 x 2 + y 2 = 1 引兩條切線PA 、 PB ，切點(diǎn)分別為A 、 B ， 三APB =600 ，則動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡程是.解： 設(shè)P(x, y) . 三APB =600， 三OPA =300. OA AP ， OP = 2OA = 2， x 2 + y 2 = 2 ，化簡(jiǎn)得 x 2 +

37、y 2 = 4 ，動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡程是x 2 + y 2 = 4 .練習(xí)穩(wěn)固：設(shè) A(c,0),B(c,0)(c 0) 為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 到 A 點(diǎn)的距離與到 B 點(diǎn)的距離的比為定值a(a 0) ，求P 點(diǎn)的軌跡.PA(x + c)2 + y 2 = a ，(x c)2 + y 2解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為P(x, y) . 由 = a(a 0) ，得PB. z.-化簡(jiǎn)得 (1 - a 2 )x 2 +(1 - a 2 ) y 2 + 2c(1 + a 2 )x + c 2 (1 - a 2 ) = 0 .當(dāng) a 豐 1 時(shí)，化簡(jiǎn)得 x2 + y 2 + 2c(1+ a 2 ) x + c 2 =

38、 0，整理得 (x - 1 + a 2 c)2 + y 2 = ( 2ac )2 ；1 - a 2 a 2 - 1 a 2 - 1當(dāng) a = 1 時(shí)，化簡(jiǎn)得x = 0 .所以當(dāng) a 豐 1 時(shí)， P 點(diǎn)的軌跡是以 (1 + a 2 c, 0) 為圓心， 2ac 為半徑的圓；a 2 - 1 a 2 - 1當(dāng) a = 1 時(shí)， P 點(diǎn)的軌跡是 y 軸.2、兩定點(diǎn)A(-2,0) ， B(1,0) ，如果動(dòng)點(diǎn)P 滿足 PA = 2 PB ，則點(diǎn)P 的軌跡所包圍的面積等于 解 ： 設(shè) 點(diǎn) P 的 坐 標(biāo) 是 (x, y) . 由 PA = 2 PB ， 得 (x + 2)2 + y 2 = 2 (x -

39、 1)2 + y 2 ， 化 簡(jiǎn) 得(x - 2)2 + y 2 = 4 ，點(diǎn)P 的軌跡是以2 ，0為圓心， 2 為半徑的圓，所求面積為4爪 .4 、定點(diǎn)B(3,0) ，點(diǎn) A 在圓x 2 + y 2 = 1 上運(yùn)動(dòng)， M 是線段 AB 上的一點(diǎn)， 且 AM = 1 MB ，問(wèn)點(diǎn)M3的軌跡是什么.解：設(shè) M(x, y), A(x , y ) . AM = 1 MB ， (x - x , y - y ) = 1 (3 - x,-y) ，1 1 3 1 1 3x - x1 = (3 - x) x1 = x - 1|ly - y1 = - y1 = y . 點(diǎn) A 在圓 x 2 + y 2 = 1

40、上運(yùn)動(dòng)， x12 + y12 = 1 ，( 4 x - 1)2 + (4 y)2 = 1，即 (x - 3 ) 2 + y 2 = 9 ，點(diǎn)M 的軌跡程是 (x - 3 ) 2 + y 2 = 9 .3 3 4 16 4 16例 5、定點(diǎn)B(3,0) ，點(diǎn) A 在圓x 2 + y 2 = 1 上運(yùn)動(dòng)， 三AOB 的平分線交 AB 于點(diǎn)M ，則點(diǎn)M 的軌 跡程是.解：設(shè) M(x, y), A(x , y ) . OM 是三AOB 的平分線， AM = OA = 1 ， AM = 1 MB . 由變式 11 1 MB OB 3 3可得點(diǎn)M 的軌跡程是 (x - 3 ) 2 + y 2 = 9 .4

41、 16練習(xí)穩(wěn)固：直線y = kx + 1 與圓x 2 + y 2 = 4 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，以O(shè)A 、 OB 為鄰邊作平行四邊形OAPB ，求點(diǎn)P 的軌跡程.解：設(shè)P(x, y) ， AB 的中點(diǎn)為M . OAPB 是平行四邊形，M 是OP 的中點(diǎn)，點(diǎn)M 的坐標(biāo)為( x , y ) ， 且 OM AB . 直 線 y = kx + 1 經(jīng) 過(guò) 定 點(diǎn) C(0,1) ， OM CM ， 2 2. z.1 1 2 2 lx2 + y2 + x 一 6y + m = 0 1 2-OM . CM = ( x , y ) . ( x , y 一 1) = ( x ) 2 + y ( y 一 1)

42、 = 0 ，化簡(jiǎn)得 x 2 +(y 一 1)2 = 1 . 點(diǎn) P 的軌跡程是2 2 2 2 2 2 2x 2 + (y 一 1)2 = 1 .類(lèi)型九：圓的綜合應(yīng)用例 25 、 圓 x2 + y2 + x 一 6y + m = 0 與直線 x + 2y 一 3 = 0 相交于 P 、 Q 兩點(diǎn)， O 為原點(diǎn)，且 OP OQ ，數(shù) m 的值分析： 設(shè)P 、Q 兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1 , y1 ) 、(x2 , y2 ) ，則由kOP . kOQ = 一 1，可得x1x2 + y1 y2 = 0 ，y再利用一元二次程根與系數(shù)的關(guān)系求解或因?yàn)橥ㄟ^(guò)原點(diǎn)的直線的斜率為 ，由直線l 與圓的程構(gòu) xy造以 x

43、為未知數(shù)的一元二次程，由根與系數(shù)關(guān)系得出kOP . kOQ 的值，從而使問(wèn)題得以解決解法一： 設(shè)點(diǎn)P 、 Q 的坐標(biāo)為(x , y ) 、 (x , y ) 一面，由OP OQ ，得1 1 2 2kOP . kOQ = 一 1 ，即 1 . 2 = 一 1，也即： x1x2 + y1 y2 = 0 1 2另一面， (x , y ) 、 (x , y ) 是程組 的實(shí)數(shù)解，即 x 、 x 是程(x + 2y 一 3 = 05x2 +10 x + 4m 一 27 = 0 的兩個(gè)根 x + x = 一2 ， x x = 4m 一 27 1 2 1 2 5又 P 、 Q 在直線x + 2y 一 3 =

44、 0 上， y y = 1 (3 一 x ) . 1 (3 一 x ) = 1 9 一 3(x + x ) + x x 1 2 2 1 2 2 4 1 2 1 2m +12將代入，得 y y = 1 2 5將、代入，解得m = 3 ，代入程，檢驗(yàn)編 0 成立， m = 3 解法二： 由直線程可得3 = x + 2y ，代入圓的程 x2 + y2 + x 一 6y + m = 0 ，有x2 + y2 + 1 (x + 2y)(x 一 6y) + m (x + 2y)2 = 0 ，3 9整理，得(12 + m)x2 +4(m 一 3)xy +(4m 一 27)y2 = 0 由于 x 士 0 ，故可

45、得(4m 一 27)(y )2 + 4(m 一 3) y +12 + m = 0 x x- k OP ， k OQ是上述程兩根故kOP . kOQ = 一 1 得12 + m = 一1，解得m = 3 4m 一 27經(jīng)檢驗(yàn)可知m = 3 為所求說(shuō)明： 求解此題時(shí)，應(yīng)防止去求P 、 Q 兩點(diǎn)的坐標(biāo)的具體數(shù)值除此之外，還應(yīng)對(duì)求出的m 值進(jìn)展必要的檢驗(yàn)，這是因?yàn)樵谇蠼膺^(guò)程中并沒(méi)有確保有交點(diǎn)P 、 Q 存在y解法一顯示了一種解這類(lèi)題的通法，解法二的關(guān)鍵在于依據(jù)直線程構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于 的二次齊 x次程，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時(shí)也可看出，這種法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵 成之感例 26、對(duì)于圓 x2 +(y 一 1)2 = 1 上任一點(diǎn)P(x , y) ，不等式x + y + m