自動(dòng)控制理論：7第七章 非線性系統(tǒng)的分析-2

1、2022/7/13四、由相平面圖求時(shí)間解 相軌跡是系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)c(t) ， 在相平面上的映象,它雖然可以反映系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的主要特征,但不能直接表示時(shí)間信息,如需要求出系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),可以采用以下兩種方法。1、根據(jù)相軌跡的平均斜率求時(shí)間t 設(shè)系統(tǒng)的相軌跡如圖7-20所示,設(shè)相點(diǎn)由A點(diǎn)轉(zhuǎn)移到B點(diǎn)所需的時(shí)間為tAB,考慮到 ,故在此期間 的平均值為圖7-20 由相軌跡求時(shí)間響應(yīng)2022/7/13據(jù)此可求得相點(diǎn)由A點(diǎn)轉(zhuǎn)移到B點(diǎn)所需的時(shí)間式中：用同樣的方法可求出相點(diǎn)由B點(diǎn)轉(zhuǎn)移到C點(diǎn)的時(shí)間,以次類推可得X(t)的曲線,便可以進(jìn)一步求得其時(shí)域響應(yīng)指標(biāo)。 2、用面積法求時(shí)間t 根據(jù)相軌跡圖,以x為橫坐標(biāo),

2、為縱坐標(biāo)畫出 曲線,如圖7-21所示。由于 即當(dāng)時(shí)間由t1變至t2時(shí),有2022/7/13 積分的數(shù)值等于 曲線與X軸之間包圍的面積,如圖7-21中陰影部分所示,利用解析法或圖解法可以求得此面積。圖7-21 由面積法求時(shí)間響應(yīng)2022/7/13第四節(jié) 非線性系統(tǒng)的相平面分析【例7-3】圖7-22為帶死區(qū)的繼電器系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)在靜止?fàn)顟B(tài)下施加階躍信號(hào)r(t)=Rl(t) ，試分析該系統(tǒng)性能。解：由結(jié)構(gòu)圖知得由系統(tǒng)線性部分的結(jié)構(gòu)有將上式轉(zhuǎn)換成關(guān)于 的方程并考慮非線性特性，有圖7-22 帶死區(qū)繼電器特性的非線性系統(tǒng)2022/7/13 非線性方程轉(zhuǎn)化為三個(gè)線性微分方程,它們分別對(duì)應(yīng)于相平面上I、II 、

3、III區(qū)。對(duì)相平面e的區(qū)域,即 I區(qū),則相應(yīng)方程可表示為 令 ，得I區(qū)相軌跡的等傾線方程 I區(qū)內(nèi)相軌跡的等傾線為一系列平行于e軸的直線,其中對(duì)應(yīng)于=0的等傾線為 ，此為I區(qū)相軌跡的漸近線。用等傾線法繪出I區(qū)相軌跡族如圖7-23所示。2022/7/13對(duì)-e的區(qū)域,即II區(qū),相應(yīng)方程表示為 即 相軌跡是斜率=1/T的直線或 者是 的 直線。對(duì)e-的區(qū)域,即III區(qū), 與I區(qū)內(nèi)相軌跡做法類似，用等傾線法可作出III區(qū)相軌跡族。2022/7/13 由圖中可以看出，在直線e=及e=-處，相軌跡發(fā)生了轉(zhuǎn)折，該直線稱為開(kāi)關(guān)線.它表示繼電器由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)換為另一種狀態(tài)。令 分別代入I、II、III區(qū)方程，其中

4、I、III區(qū)無(wú)解，表明相軌跡在I、III區(qū)內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)。圖7-23 帶死區(qū)繼電器非線性系統(tǒng)相平面圖2022/7/13 II區(qū)中的解為 ,表明在II區(qū)內(nèi) 的所有點(diǎn)都是奇點(diǎn)，都可以成為系統(tǒng)最終的平衡位置，這種線段稱為奇線。 從初始相點(diǎn)M1(R，0)出發(fā)，相軌跡經(jīng)過(guò)M2、M3、M4、M5最后終止在M6點(diǎn)。在M2、M3及M5處，繼電器的工作狀態(tài)都發(fā)生了轉(zhuǎn)換。M1處的誤差為正向最大值，M4處誤差為反向最大值，在終點(diǎn)M6處仍有殘余誤差，這是由于繼電器特性帶有死區(qū)，當(dāng)誤差的絕對(duì)值小于死區(qū)特征值時(shí)，非線性環(huán)節(jié)無(wú)輸出，系統(tǒng)進(jìn)入平衡狀態(tài)。2022/7/13第五節(jié) 描述函數(shù)法 描述函數(shù)法主要用于分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、自

5、振蕩特性及消除自振蕩的方法。雖然是一種近似方法，但對(duì)常見(jiàn)實(shí)際非線性系統(tǒng)而言，分析結(jié)果基本滿足工程需要，在非線性系統(tǒng)分析及設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用。它的應(yīng)用條件：1、非線性特性具有奇對(duì)稱；2、系統(tǒng)可化為一個(gè)線性環(huán)節(jié)和一個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的典型單位反饋系統(tǒng)；3、線性環(huán)節(jié)的低通濾波特性好；4、非線性環(huán)節(jié)的輸出中一次諧波分量幅值占優(yōu)。2022/7/13第五節(jié) 描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的定義 設(shè)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-24所示。其中線性部分的傳遞函數(shù)為 N(x)為非線性環(huán)節(jié)，它的輸出量與輸入量之間為非線性函數(shù) 若設(shè)其輸入為正弦信號(hào)x（t）=Sin t圖7-24 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2022/7/13則其輸出一般不

6、是正弦信號(hào)，但仍是一個(gè)周期信號(hào)，其傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為式中 這表明,非線性環(huán)節(jié)的輸出 信號(hào)y(t)中含有基波及各高次 諧波。通常諧波的次數(shù)越高， 其相應(yīng)的傅立葉系數(shù)越小，即相應(yīng)的諧波分量幅值就越小。 如果系統(tǒng)線性部分G(s)具有低通濾波特性，則高次諧波分量通過(guò)線性部分后將被衰減到忽略不計(jì), 可以近似認(rèn)為當(dāng)輸入為正弦信號(hào)x(t)時(shí)，只有y(t)的基波分量沿閉環(huán)反饋回路送至比較點(diǎn)，其高次諧波分量可忽略不計(jì)，即 2022/7/13式中 基波幅值 基波初相位 此時(shí)，非線性環(huán)節(jié)相當(dāng)于一個(gè)對(duì)正弦輸入信號(hào)的幅值及相位進(jìn)行變換的環(huán)節(jié)，可以仿照頻率特性的概念建立非線性特性的等效幅相特性。 定義：非線性環(huán)節(jié)輸出量的

7、基波分量與其輸入正弦量的復(fù)數(shù)比即為其描述函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 2022/7/13式中：N（X）非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù) X 正弦輸入信號(hào)的振幅 非線性環(huán)節(jié)輸出基波分量的振幅 非線性環(huán)節(jié)輸出基波分量相對(duì)于輸入信號(hào) 的相位描述函數(shù)一般為輸入信號(hào)振幅的函數(shù)，故記作N（X），當(dāng)非線性元件中包含儲(chǔ)能元件時(shí)，N同時(shí)為輸入信號(hào)振幅及頻率的函數(shù)，記作N（X，）。二、典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1、飽和特性 飽和非線性環(huán)節(jié)的輸入/輸出特性及其在正弦信號(hào)作用下的輸入輸出波形如圖7-25所示。2022/7/13 當(dāng)輸入正弦信號(hào)的幅值Xa時(shí)，由于飽和非線性作用，其輸出波形為一削頂?shù)恼也?，其?shù)學(xué)表達(dá)式為式中考慮到y(tǒng)(t)波形

8、的對(duì)稱性和周期性，故只列出0/2 區(qū)間的關(guān)系式 。圖7-25 飽和特性及其輸入輸出波形2022/7/13考慮到飽和非線性特性為單值奇對(duì)稱，有由上式，得飽和非線性的描述函數(shù)為2022/7/13實(shí)際應(yīng)用中，常將描述函數(shù)中的某些參數(shù)分離出來(lái)，將其歸算到線性部分中去， 構(gòu)成相對(duì)描述函數(shù)，又稱基準(zhǔn)描述函數(shù)。對(duì)飽和非線性特性，其相對(duì)描述函數(shù)為 分析非線性系統(tǒng)自振時(shí)，常用到相對(duì)描述函數(shù)的負(fù)倒特性。飽和非線性相對(duì)描述函數(shù)的負(fù)倒特性如圖7-20所示，隨輸入信號(hào)振幅X的增加，-1N0(X)曲線起于（-1，j0）點(diǎn)，趨向（-，j0）。 圖7-26 飽和特性相對(duì)描述函數(shù)負(fù)倒特性2022/7/132、死區(qū)特性用類似的方

9、法可以求得死區(qū)特性的描述函數(shù)為其相對(duì)描述函數(shù)為它的相對(duì)描述函數(shù)的負(fù)倒特性如圖7-27所示。也是一條沿負(fù)實(shí)軸變化的曲線。但它隨X的增加，從（- ，j0）沿負(fù)實(shí)軸趨向（-1，j0）點(diǎn)。圖7-27 死區(qū)特性相對(duì)描述函數(shù)負(fù)倒特性2022/7/133、間隙特性間隙特性的描述函數(shù)為：其相對(duì)描述函數(shù)為它的相對(duì)描述函數(shù)的負(fù)倒特性如圖7-28所示。圖7-28 間隙特性相對(duì)描述函數(shù)負(fù)倒特性2022/7/134、繼電器特性繼電器特性的描述函數(shù)為：其相對(duì)描述函數(shù)為它的相對(duì)描述函數(shù)的負(fù)倒特性如圖7-29所示。圖7-29 繼電器特性的負(fù)倒描述函數(shù)2022/7/13 常見(jiàn)非線性特性描述函數(shù)見(jiàn)表7-1。表7-1 常見(jiàn)非線性特

10、性描述函數(shù)2022/7/13續(xù)表7-1 常見(jiàn)非線性特性描述函數(shù)2022/7/13第六節(jié) 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng) 許多包含非線性環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)對(duì)方框圖的變換及簡(jiǎn)化，都可以表示成由線性部分G（s）（低通濾波器）與非線性部分N相串聯(lián)的系統(tǒng)。如圖7-30所示 對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí),必然要分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及是否產(chǎn)生自振蕩。 描述函數(shù)法對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性、產(chǎn)生自振蕩的條件、自振蕩的振幅及頻率、消除自振蕩的途徑等問(wèn)題，都可得出較為符合實(shí)際的結(jié)果。 自振蕩是非線性系統(tǒng)內(nèi)部自發(fā)的持續(xù)振蕩，與外加給定信號(hào)及干擾信號(hào)無(wú)關(guān)，可認(rèn)為r(t)=0,n(t)=0。 圖7-30 非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)2022/7/13

11、 假定由于自振產(chǎn)生系統(tǒng)輸出信號(hào)，經(jīng)反饋后成為非線性環(huán)節(jié)的輸入，是一個(gè)正弦信號(hào)。從前述可知非線性環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)為非正弦信號(hào)周期信號(hào)，其中包括基波及高次諧波，僅有基波信號(hào)通過(guò)線性環(huán)節(jié)，得以反饋到非線性部分。 但是一般說(shuō)來(lái)，高次諧波的幅值較小，當(dāng)系統(tǒng)的線性部分具有低通濾波特性時(shí)，高次諧波將被進(jìn)一步衰減。因此，可以認(rèn)為能夠通過(guò)線性部分又反饋到非線性環(huán)節(jié)輸入端的信號(hào)只是基波正弦信號(hào)。這個(gè)結(jié)果，與前面的假定相吻合。 2022/7/13在上述的條件下，用非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)近似表示非線性環(huán)節(jié)的特性，此時(shí)非線性系統(tǒng)的方框圖如圖7-31所示。 圖7-31 非線性控制系統(tǒng)方框圖2022/7/13 描述函數(shù)N(x)

12、是一個(gè)復(fù)變量，它的幅值及相角是輸入信號(hào)幅值X的函數(shù)。將N(x)看成一個(gè)可變的放大系數(shù)，使用線性系統(tǒng)頻率特性的概念，圖7-31所示系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為： 閉環(huán)特征方程式為 或 對(duì)于某一個(gè)特定的X o及o，上式成立，相當(dāng)于線性系統(tǒng)中G(j)=-l的情況，將產(chǎn)生等幅的周期性振蕩。式中- 1N(X)為描述函數(shù)的負(fù)倒特性，它相當(dāng)于線性系統(tǒng)的臨界點(diǎn)(-1，j0)。 2022/7/13一、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用 在復(fù)平面上同時(shí)作出線性部分的頻率特性G（j）及非線性部分描述函數(shù)的負(fù)倒特性- 1N(X)，判斷非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法如下： (1)如果在復(fù)平面上，-1N(X)曲線不被G(j)曲線所包圍，如圖7-32

13、(a)所示，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 (2)如果在復(fù)平面上，-1N(X)曲線被G(j)曲線所包圍，如圖7-32(b)所示，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (3)如果在復(fù)平面上，-1N(X)曲線與G(j)曲線相交，如圖7-32(c)所示，則在非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生周期性振蕩，振蕩的振幅由-1N (X)曲線交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的X值決定，振蕩的頻率由 G (j)曲線交點(diǎn)處的值決定。2022/7/13圖7-32 非線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析2022/7/13二、自振蕩分析若復(fù)平面中-1N (X)曲線與G (j)曲線有交點(diǎn)，則該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)著可能的等幅振蕩，問(wèn)題是這個(gè)等幅振蕩能否穩(wěn)定地存在？也就是說(shuō)，如果系統(tǒng)受到某個(gè)擾動(dòng)使振蕩的振幅發(fā)

14、生變化，系統(tǒng)是否具有恢復(fù)到擾動(dòng)前的等幅振蕩狀態(tài)的能力？如果系統(tǒng)具備這種能力，則該等幅振蕩能夠穩(wěn)定地存在，并能被觀察到，稱這個(gè)穩(wěn)定的等幅振蕩為自持振蕩。反之，振蕩不能穩(wěn)定地存在，必然轉(zhuǎn)移到其它運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(收斂到零或發(fā)散)。2022/7/13二、自振蕩分析以圖7-32(c) 為例進(jìn)行分析。圖中-1N (X)曲線與G (j)曲線有兩個(gè)交點(diǎn)a和b， 對(duì)應(yīng)于不同的振蕩頻率和振幅。對(duì)a點(diǎn)，振幅及頻率為Xa及 (j)，若由于擾動(dòng)使振蕩的振幅略有增大，這時(shí)工作點(diǎn)將沿-1N (X)曲線由a點(diǎn)移動(dòng)到c點(diǎn)。由于c點(diǎn)不被G (j)所包圍，故系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，周期振蕩的振幅要衰減，并逐步恢復(fù)到Xa，即自動(dòng)返回原狀態(tài)；若由于

15、擾動(dòng)使振蕩的振幅略有減小，這時(shí)工作點(diǎn)將沿-1N (X)曲線由a 點(diǎn)轉(zhuǎn)移到d點(diǎn)，2022/7/13由于 d點(diǎn)被G (j)所包圍，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，輸出將發(fā)散，其結(jié)果將使輸出信號(hào)振幅變大，工作點(diǎn)又從d點(diǎn)返回a點(diǎn)。由此可見(jiàn)a點(diǎn)是穩(wěn)定的等幅振蕩點(diǎn)，形成可觀察到的穩(wěn)定自持振蕩。 用相同方法分析b點(diǎn)的等幅振蕩狀態(tài)。若干擾使得振蕩加劇，則系統(tǒng)的工作點(diǎn)由b點(diǎn)移至e點(diǎn)，由于e點(diǎn)被G (j)曲線包圍。故系統(tǒng)將發(fā)散，振蕩的振幅繼續(xù)變大,更加遠(yuǎn)離b點(diǎn)。若干擾使振蕩振幅略有減小，則工作點(diǎn)由b點(diǎn)轉(zhuǎn)移到f點(diǎn)，f點(diǎn)不被G(j)包圍，所以系統(tǒng)的振蕩將收斂，振幅將一步減小，更加遠(yuǎn)離b點(diǎn)。由此可見(jiàn)，b點(diǎn)的振蕩狀態(tài)是不穩(wěn)定的，無(wú)法觀察到

16、。 2022/7/13 顯然，圖7-32(c)所示系統(tǒng)將最終呈現(xiàn)兩種可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：當(dāng)擾動(dòng)較小，其振幅小于Xb時(shí)，系統(tǒng)趨于平衡狀態(tài)，不出現(xiàn)自振蕩。當(dāng)擾動(dòng)較大，其幅值超過(guò)了Xb時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)自持振蕩，其振幅為 Xa，角頻率為a。 判別-1/N(X)與G(j)曲線交點(diǎn)是否是穩(wěn)定的自振點(diǎn)還有一個(gè)簡(jiǎn)便方法：若在交點(diǎn)處，被 G (j)包圍的-1N(X)部分對(duì)應(yīng)的振幅X值小于未包圍部分對(duì)應(yīng)的X值，則該交點(diǎn)為穩(wěn)定的自振點(diǎn)。若在交點(diǎn)處，被G(j)包圍的-1/N(X)部分對(duì)應(yīng)的振幅X值大于未包圍部分對(duì)應(yīng)的X值，則該交點(diǎn)為不穩(wěn)定的自振點(diǎn)?；颍涸诮稽c(diǎn)處，若沿X增加的方向，-1/N(X)從穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域，則系

17、統(tǒng)不穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)；反之，若從不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域，則系統(tǒng)穩(wěn)定自振2022/7/13三、分析系統(tǒng)自振蕩的例題 例1：判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，交點(diǎn)是否為自振點(diǎn)0ImRe0ImRe0ImRe0ImReG(j)G(j)G(j)G(j)-1/N(A)-1/N(A)-1/N(A)-1/N(A)aba(1)(4)(3)(2)(1)不穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)點(diǎn)(4) a穩(wěn)定自振點(diǎn) b不穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)點(diǎn)(3)穩(wěn)定的自振點(diǎn)(2)穩(wěn)定2022/7/13(5)穩(wěn)定的自振點(diǎn)0ImRe0ImRe0ImRe0ImReG(j)G(j)G(j)G(j)-1/N(A)-1/N(A)-1/N(A)-1/N(A)abab(5)7)(8)(6)(6) a不穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)點(diǎn) b穩(wěn)定自振