概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：第21講 正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)

1、 利用樣本方差 S 2是2的一個(gè)無偏估計(jì)，且 (n-1)S2/ 2 2n-1 的結(jié)論。8.3.1 單個(gè)正態(tài)總體方差的 2 檢驗(yàn) 設(shè) X1, X2, , Xn 為來自總體 N( , 2) 的樣本， 和 2未知，求下列假設(shè)的顯著性水平為 的檢驗(yàn)。思路分析: 1. H0: 2 =02；H1: 2 02 8.3 正態(tài)總體方差的檢驗(yàn) 當(dāng)原假設(shè) H0: 2 = 02成立時(shí)，S2和02應(yīng)該比較接近，即比值 S 2/02應(yīng)接近于1。所以,這個(gè)比值過大或過小 時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)。 合理的做法是: 找兩個(gè)合適的界限 c1 和 c2 , 當(dāng) c1(n-1)S2/02 02 同理，當(dāng) H0: 2 = 02成立時(shí)，有，此

2、檢驗(yàn)法也稱 2 檢驗(yàn)法。3*. H0: 2 02；H1: 2 02 (同2.)例1：某公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件的直徑 (單位: cm) 服從正態(tài)分布，并稱其標(biāo)準(zhǔn)差 0=0.048 ?，F(xiàn)隨機(jī)抽取5個(gè)部件，測得它們的直徑為 1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44.取=0.05，問:(1). 能否認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件的直徑 的標(biāo)準(zhǔn)差確實(shí)為= 0?(2). 能否認(rèn)為 0?解: (1). 的問題就是檢驗(yàn) H0: 2 = 02; H1: 2 02.其中，n=5， =0.05，0=0.048.故，拒絕原假設(shè) H0 ，即認(rèn)為部件直徑標(biāo)準(zhǔn)差不是 0.048 cm。 經(jīng)計(jì)算，得 S2=0.00

3、778,故，拒絕原假設(shè) H0，即認(rèn)為部件的直徑標(biāo)準(zhǔn)差超過了 0.048 cm。 (2). 的問題是檢驗(yàn) H0: 2 02 ; H1: 2 02. 該檢驗(yàn)主要用于上節(jié)中實(shí)施兩樣本 t 檢驗(yàn)之前，討論 12 =22 的假設(shè)是否合理。8.3.2 兩正態(tài)總體方差比的 F 檢驗(yàn)1. H0: 12 = 22；H1: 12 22. 設(shè)X1, X2, , Xm和Y1, Y2, , Yn 分別為抽自正態(tài)總體 N(1, 12)和 N(2, 22)的樣本, 欲檢驗(yàn) 當(dāng) H0: 12=22 成立時(shí), 12/22=1, 作為其估計(jì)，S12/S22也應(yīng)與 1 相差不大。當(dāng)該值過分地大或過分地小時(shí)，都應(yīng)拒絕原假設(shè)成立。 合

4、理的思路是：找兩個(gè)界限c1和c2, 當(dāng) c1 S12/S22 22 同理，當(dāng) H0: 12 =22成立時(shí)，有 S12/S22 Fm-1, n-1，例2：甲乙兩廠生產(chǎn)同一種電阻，現(xiàn)從甲乙兩廠的產(chǎn)品中分別隨機(jī)地抽取12個(gè)和10個(gè)樣品,測得它們的電阻值后，計(jì)算出樣本方差分別為S12=1.40，S22=4.38。3. H0: 12 22；H1: 12 22結(jié)論同 2。 以上檢驗(yàn)都用到了F分布，因此稱上述檢驗(yàn)為 F 檢驗(yàn)。 假設(shè)兩廠生產(chǎn)的電阻的電阻的阻值分別服從正態(tài)分布 N(1, 12)和 N(2, 22)。在顯著性水平 = 0.10下, 是否可接受： (l).12 =22；(2).1222. 解：(1

5、). 的問題是檢驗(yàn) H0: 12 =22；H1: 12 22.其中，m=12, n=10, =0.10, S12=1.40, S22=4.38, S12/S22 =0.32。利用第六章學(xué)過的及P237的附表5，有 Fm-1, n-1(1- /2) = F11, 9(0.95) = 1/F9, 11(0.05) = 1/(2.90) = 0.34.因 S12/S22 = 0.32 0.34，所以，無須再考慮Fm-1, n-1(/2)的值，就可得到拒絕12 =22的結(jié)論。 查P237 附表5，因查不到 F11, 9(0.10)，改用F10, 9(0.10)和F12, 9(0.10)的平均值近似之，

6、得 F11, 9(0.10)=F10, 9(0.10)+F12, 9(0.10)/2 2.42+2.38/2 = 2.40.因 S12/S22 = 0.32 22. 在前面的討論中，我們總假定總體的分布形式是已知的。例如，假設(shè)總體分布為正態(tài)分布 N(, 2), 總體分布為區(qū)間 (a, b) 上的均勻分布，等等。 然而，在實(shí)際問題中，我們所遇到的總體服從何種分布往往并不知道。需要我們先對總體的分布形式提出假設(shè)，如：總體分布是正態(tài)分布N( , 2)，總體分布是區(qū)間(a, b)上均勻分布等，然后利用數(shù)據(jù) (樣本) 對這一假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，看能否獲得通過。8.4 擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 這是一項(xiàng)非常重要的工作,許多

7、學(xué)者視它為近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的開端。 解決這類問題的方法最早由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家 K. Pearson (皮爾遜) 于1900年在他發(fā)表的一篇文章中給出, 該方法后被稱為 Pearson 2檢驗(yàn)法，簡稱 2檢驗(yàn)。 設(shè)F(x)為一已知的分布函數(shù)，現(xiàn)有樣本X1, X2, , Xn，但我們并不知道樣本的總體 分布是什么?，F(xiàn)在試圖檢驗(yàn) H0：總體 X 的分布函數(shù)為F(x) ； (1) 對立假設(shè)為 H1：總體 X 的分布函數(shù)非F(x)。如果 F(x) 形式已知，但含有未知參數(shù) 或參數(shù)向量 =(1, 2, r ) ，則記其為F(x, )。這種檢驗(yàn)通常稱為擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。 不妨設(shè)總體 X 是連續(xù)型分布。檢驗(yàn)思想與步驟如下:

8、(1). 將總體 X 的取值范圍分成 k 個(gè)互不重疊的 小區(qū)間 I1, I2, , Ik，(2). 計(jì)算各子區(qū)間 Ii 上的理論頻數(shù)。如果總體的分布函數(shù)為F(x, )，那么每個(gè)點(diǎn)落在區(qū)間 Ii 上的概率均為n 個(gè)點(diǎn)中，理論上有n pi ( )個(gè)點(diǎn)落在 Ii 上, (稱為理論頻數(shù))。當(dāng)分布函數(shù)中含有未知參數(shù) 時(shí)，理論頻數(shù)也未知，要用來估計(jì) n pi ( )，其中 為 的極大似然估。(3). 計(jì)算各子區(qū)間 Ii 上的實(shí)際頻數(shù) fi 。 fi = X1, X2, , Xn Ii ， i=1, 2, , k . 計(jì)數(shù)符號(hào)，取集合中元素的個(gè)數(shù)(4). 計(jì)算理論頻數(shù)與實(shí)際頻數(shù)的偏差平方和?？梢宰C明：在 H

9、0 成立，且 n時(shí), (5). H0 的顯著性水平為 的檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?注意：該檢驗(yàn)方法是在 n 充分大時(shí)使用的，因而，使用時(shí)要注意 n 必須足夠地大, 以及 npi 不能太小這兩個(gè)條件。 在實(shí)用上，一般要求 n 50，以及所有npi 5。如果初始子區(qū)間劃分不滿足后一個(gè)條件, 則適當(dāng)?shù)貙⒛承┳訁^(qū)間合并，可使 npi 滿足上述要求。例1：為檢驗(yàn)棉紗的拉力強(qiáng)度 X (單位: 千克) 服從正態(tài)分布，從一批棉紗中隨機(jī)抽取300條進(jìn)行拉力試驗(yàn)，結(jié)果列在表8.2中。給定 = 0.01,檢驗(yàn)假設(shè) H0：拉力強(qiáng)度 X N(, 2) .解：本例中，并未給出各觀測值 Xi 的具體值,只給出了各觀測值的取值范圍，這

10、樣的數(shù)據(jù)稱為區(qū)間數(shù)據(jù)。樣本均值與樣本方差可通過下列式計(jì)算： (1). 先將數(shù)據(jù) Xi 分成13組，每組落入一個(gè)區(qū) 間，區(qū)間的端點(diǎn)為：(2). 計(jì)算數(shù)據(jù)落入各子區(qū)間的理論頻數(shù)。因分布中含有兩個(gè)未知參數(shù)，所以，理論頻數(shù)只能近似地估計(jì)。落入第 i 個(gè)子區(qū)間Ii 的理論頻數(shù)的估計(jì)為 ， 其中(3). 計(jì)算數(shù)據(jù)落入各子區(qū)間上的實(shí)際頻數(shù) fi 。 fi = X1, X2, , Xn Ii ， i=1, 2, , 10 . (4). 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值因?yàn)?k =10，r =2，所以上述 2分布的自由度為 k-r-1=7。由(5). H0 的顯著性水平為 的檢驗(yàn) 于是，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為棉紗拉力強(qiáng)度不服從正

11、態(tài)分布。 孟德爾在關(guān)于遺傳問題的研究中，用豌豆做實(shí)驗(yàn)。豌豆有黃和綠兩種顏色，在對它們進(jìn)行兩代雜交之后，發(fā)現(xiàn)一部分雜交豌豆呈黃色，另一部分呈綠色。其數(shù)目的比例大致是 3:1。 2檢驗(yàn)的一個(gè)著名應(yīng)用例子是孟德爾豌豆實(shí)驗(yàn)。奧地利生物學(xué)家孟德爾在1865年發(fā)表的論文，事實(shí)上提出了基因?qū)W說，奠定了現(xiàn)代遺傳學(xué)的基礎(chǔ)。他的這項(xiàng)偉大發(fā)現(xiàn)的過程有力地證明了統(tǒng)計(jì)方法在科學(xué)研究中的作用。因此，我們有必要在這里將這一情況介紹給大家。 這只是一個(gè)表面上的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。但它啟發(fā)孟德爾去發(fā)展一種理論，以解釋這種現(xiàn)象。他大膽地假定存在一種實(shí)體，即現(xiàn)在我們稱為“基因”的東西，決定了豌豆的顏色。這基因有黃綠兩個(gè)狀態(tài)，一共有四種組合：

12、 孟德爾把他的實(shí)驗(yàn)重復(fù)了多次，每次都得到類似結(jié)果。(黃, 黃)，(黃, 綠)，(綠, 黃)，(綠, 綠). (黃, 黃)，(黃, 綠)，(綠, 黃)，(綠, 綠). 孟德爾認(rèn)為, 前三種配合使豆子呈黃色,而第四種配合使豆子呈綠色。從古典概率的觀點(diǎn)看，黃色豆子出現(xiàn)的概率為3/4，綠色豆子出現(xiàn)的概率為1/4。這就解釋了黃綠顏色豆子之比為什么總是接近 3:1 這個(gè)觀察結(jié)果。 孟德爾這個(gè)發(fā)現(xiàn)的深遠(yuǎn)意義是他開辟了遺傳學(xué)研究的新紀(jì)元。下面的例子就是用 2檢驗(yàn)來檢驗(yàn)孟德爾提出黃綠顏色豌豆數(shù)目之比為 3:1的論斷。例2：孟德爾豌豆試驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)黃色豌豆為25粒, 綠色豌豆11粒，試在 =0.05下, 檢驗(yàn)豌豆黃

13、綠之比為3:1。解：定義隨機(jī)變量 X(1). 將 (-, ) 分成兩個(gè)區(qū)間(2). 計(jì)算每個(gè)區(qū)間上的理論頻數(shù)，這里 n = 25+11=36, 不存在要估計(jì)的未知參數(shù), 故(3). 實(shí)際頻數(shù)為，f1=25， f2=11 .(4). 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值(5). H0 的顯著性水平為 的檢驗(yàn) 所以，接受原假設(shè)，即認(rèn)為豌豆的黃綠之比為 3:1 。例3：某醫(yī)院一年中出生的嬰兒共計(jì)1521人,其中男嬰802人，女嬰719人。給定 =0.05，試問：能否認(rèn)為男嬰、女嬰出生概率相同？解：用 X 表示服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量, X 取0, 1兩個(gè)值，X=1表示男嬰， X=0表是女嬰。則問題就是檢驗(yàn)假設(shè) H0：p1 = PX=0=0.5.(1). 將 (-, ) 分成兩個(gè)區(qū)間(2). 計(jì)算每個(gè)區(qū)間上的理論頻數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)區(qū) 間上的理論概率 p1= p2=0.