淺談在整數(shù)除法中余數(shù)可以為零

1、淺談在整數(shù)除法中余數(shù)可以為零一、 困擾教師的問題不少小學(xué)數(shù)學(xué)教師問過我這樣一個問題:“在整數(shù)除法中,余數(shù)可不可以為0?”這個問題早有定論,于是我不假思索地肯定作答:“余數(shù)當(dāng)然可以為0?！辈涣蠈τ谶@一答案,他們并不同意,其理由如下:第一,人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué),從一年級上冊到六年級下冊,里面均無“余數(shù)可以為0”的表述。第二,現(xiàn)代漢語詞典(修訂本)(商務(wù)印書館, 1996 年 )第1553頁對“余數(shù)”一詞的解釋為:“整數(shù)除法中,被除數(shù)未被除數(shù)整除所剩的大于0而小于除數(shù)的部分。如276=43。即不完全商是4,余數(shù)是3?！边@就表明余數(shù)不能為0。在數(shù)學(xué)課本中找不到“余數(shù)可以為0” 的論述,

2、而在詞典中卻找到了“余數(shù)不能為0”的證據(jù),難怪讓他們對我的答案持懷疑態(tài)度。面對這樣一個困擾小學(xué)數(shù)學(xué)界同仁的問題,該怎樣來正本清源呢?我仔細(xì)地查閱了人教版全套小學(xué)數(shù)學(xué)課本,確實沒找到“余數(shù)可以為0”的表述,只在三年級下冊第26頁練習(xí)六第3題的指令性語言中,發(fā)現(xiàn)了三處“余數(shù)為0”的表述。我知道,這樣的表述既不是出現(xiàn)在正文中,又沒有說明道理,不足以成為論據(jù)。課本中沒有,看來只有通過合理思辨和相關(guān)考證來達(dá)到為小學(xué)同仁解惑之目的了。二、解惑所需的思辨1.要用對立統(tǒng)一的觀點(diǎn)看待0眾所周知,當(dāng)盤子中連一個桃子都沒有時,我們就說這盤中桃子的個數(shù)為0。從這個意義上講,0是空集的基數(shù),0表示“沒有”。然而,0又是

3、一個確定的數(shù),它是自然數(shù)列的起始數(shù),它既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù),它是唯一的中性數(shù)。從這個意義上講,0又表示“有”。這一點(diǎn)不難理解。比方說,小明在黑板上寫了一個“0”,你總不能說他什么都沒寫吧!再比方說,某地某時的氣溫為0攝氏度,你總不能說該地該時沒有溫度吧!所以,我們應(yīng)該用對立統(tǒng)一的辯證觀點(diǎn)看待0,懂得0既可表示“無”,又可表示“有”。用這一觀點(diǎn)考察整數(shù)除法,我們不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)155時,得到整數(shù)商3,既可以說“沒有余數(shù)”,也可以說“余數(shù)為0”,這兩種說法是完全等價的,因而都是正確的。2.要用發(fā)展變化的觀點(diǎn)看待概念間的關(guān)系人們對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識并非一成不變的,而是處于不斷發(fā)展變化之中的。例如,“整數(shù)”

4、與“分?jǐn)?shù)”最初是兩個并列的概念,它們相互排斥,涇渭分明,不容混淆。然而,出于數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要,后來,人們又把整數(shù)看做是分母為1,分子為該整數(shù)的假分?jǐn)?shù),如3=3/1,65=65/1。這樣一來,“分?jǐn)?shù)”的外延就擴(kuò)大了,“整數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”的關(guān)系也由并列關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榘P(guān)系。“整數(shù)”成了“分?jǐn)?shù)”的特例,整數(shù)集成了分?jǐn)?shù)集的真子集。原先,整數(shù)集與分?jǐn)?shù)集之并集才是有理數(shù)集,后來,這種廣義的分?jǐn)?shù)集實際上就是有理數(shù)集了。與此類似,人們研究整數(shù)除法時,先研究被除數(shù)能被除數(shù)整除的情形,如155,正好得到整數(shù)商3,記作155=3。后來才研究有余數(shù)的情形,如165,得到不完全商3后還余1,記作165=31。起初,“整除

5、”與“有余數(shù)的除法”也是并列而互斥的概念,前者沒有余數(shù),后者有余數(shù),互不相容。后來,為了研究的方便,人們干脆把“有余數(shù)的除法”的外延擴(kuò)大,讓它把原先的兩個概念一并囊括。因為這很容易辦到:只要把“整除”時的“沒有余數(shù)”看做“余數(shù)為0”即可。這樣一來,“整除”就成了“有余數(shù)的除法”的特例,“整除”與“有余數(shù)的除法”也就順理成章地由對立變成統(tǒng)一,二者統(tǒng)一于廣義的“有余數(shù)的除法”之中。3.“余數(shù)為0”的說法有據(jù)可查事實上,“余數(shù)為0”的提法早已被數(shù)學(xué)界認(rèn)可。小學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊(人民教育出版社,1982年)第49頁有如下表述:“判定一個整數(shù)能不能被另一個正整數(shù)整除,只需進(jìn)行除法運(yùn)算即可。如果所得的余數(shù)為0

6、,就是整除的情況;如果所得的余數(shù)不為0,就是不能整除的情況。例如:a=91,b=13。ab=9113,商7余0。這表明91=137。即91能被13整除。a=97,b=19。9719商5余2。所以97不能被19整除。一般地,對于整數(shù)a和正整數(shù)b,如果進(jìn)行除法ab得商q,余數(shù)為r,就有a=bq+r。其中0r數(shù)學(xué)手冊(人民教育出版社,1979年)第1057頁“數(shù)論”的“輾轉(zhuǎn)相除法”中,有如下表述:“每一個整數(shù)a可以唯一地通過正整數(shù)b表示為a=bq+r, 0r上述不等式0r值得注意的是,“輾轉(zhuǎn)相除法”又稱“歐幾里得算法”,我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶早在公元1247年即在其著作數(shù)書九章中,對這一算法進(jìn)行過卓有

7、成效的研究。數(shù)學(xué)手冊(人民教育出版社,1979年)第1066頁“數(shù)論”的“同余式”中,有如下表述:“設(shè)以m為模,則可將全體整數(shù)分為m個類,同類的數(shù)都同余,不同類的數(shù)都不同余,稱這樣的類為同余類,每類中各取一數(shù)為代表,例如:0,1,2,m-1構(gòu)成一個完全剩余類。”由此易知,在以0為代表的這個剩余類中,每個數(shù)除以m,所得的余數(shù)均為0。也就是說,此類數(shù)中的每一個都是m的倍數(shù)。事實上,我們不僅從剩余類的理論中,看到了對“余數(shù)為0”的認(rèn)可,還可以運(yùn)用剩余類的理論和“抽屜原理”來解答一類有關(guān)整除性的題目。載有這類題目并給出解答的數(shù)學(xué)書籍比比皆是,下面舉一例。求證:在任意四個整數(shù)中,必有這樣的兩個數(shù),它們的

8、差能被3整除。證明:因為任何整數(shù)除以3,所得余數(shù)只可能是0,1,2三種。也就是說,所有整數(shù)按其除以3所得余數(shù)來分,可分為余數(shù)分別為0,1,2的三個剩余類。把每個剩余類都看做一個抽屜,三個剩余類就是三個抽屜。根據(jù)“抽屜原理”,把四個整數(shù)放進(jìn)三個抽屜,至少有一個抽屜里會有兩個整數(shù)。這兩個整數(shù)既屬同一個剩余類,它們除以3所得的余數(shù)必然相同,故其差除以3所得的余數(shù)必為0,也就是說,這個差必能被3整除。三、教材修改的建議綜上所述,在整數(shù)除法中,余數(shù)的確是可以為0的。但在現(xiàn)行的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中,對此卻完全不予涉及,遂令在教學(xué)中起主導(dǎo)作用的教師迷茫不解,實在沒有道理。由此觀之,教材必須修改。1.教材修改

9、的重要意義有利于學(xué)生認(rèn)識0的雙重意義,知道0既可表示“無”,又可表示“有”。使用修改后的教材教學(xué),能讓學(xué)生初步感知對立統(tǒng)一的辯證思想。有利于學(xué)生用發(fā)展變化的辯證唯物主義觀點(diǎn)認(rèn)識概念間的關(guān)系,知道當(dāng)學(xué)習(xí)了“有余數(shù)的除法”后,原來的“整除”(包括“表內(nèi)除法”)可以看做是“有余數(shù)的除法”的特例,由此理解“特殊”與“一般”的關(guān)系。有利于學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。2.教材修改的具體意見 要明確指出“沒有余數(shù)”就是“余數(shù)為0”。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊第四單元“有余數(shù)的除法”第50頁例題1為:“搬15盆花布置會場,每組擺5盆,可以擺幾組?”解答此題的橫式為 155=3(組)。接著,課本上還列出了豎式。這道例題顯

10、然起著承上啟下的作用:既承接二年級下冊的“表內(nèi)除法”,又由此介紹除法豎式,為“有余數(shù)的除法”的教學(xué)作鋪墊。第51頁例題2是:“一共有23盆花,每組擺5盆,最多可以擺4組,還多3盆。”這是“有余數(shù)的除法”的首個例題。解答時,課本上先列出橫式:235=4(組)3(盆)。再在橫式下方列出豎式,并用虛線將兩個式子中的3連接,標(biāo)上“余數(shù)”二字。課本上述編排頗具匠心,但還應(yīng)作點(diǎn)補(bǔ)充。建議在這兩道例題后面,不失時機(jī)地編排一段對“0”的辯證認(rèn)識的文字,讓學(xué)生懂得:“0”雖然表示“沒有”,但它同時又是一個確定的數(shù),從這個意義上講,“0”也表示“有”。緊接著,還要引導(dǎo)學(xué)生對這兩道例題的豎式進(jìn)行觀察和比較,發(fā)現(xiàn)例題

11、1豎式中最下面的“0”與例題2豎式最下面的“3”處于相同的位置,“3”既表示余數(shù),“0”也可看成是余數(shù)。過去我們說155恰好等于3,“沒有余數(shù)”,現(xiàn)在我們也可說155,商為3,“余數(shù)為0”。相信這樣處理,學(xué)生能在輕松愉快中接受辯證唯物主義思想的啟蒙教育。要明確指出除數(shù)為a時,共有a種不同的余數(shù):0,1,2,a-1。三年級上冊第52頁例題3為:“如果上例中一共有16盆花,可以擺幾組?多幾盆?如果是17盆,18盆,24盆,25盆呢?”課本上列出了一組式子:155=3(組)165=3(組)1(盆)175=3(組)2(盆)185=3(組)3(盆)195=3(組)4(盆)205=(組)215= (組)(

12、盆)225= (組)(盆)235=245=255=在這組式子的右邊,提了一個問題:“觀察余數(shù)和除數(shù),你發(fā)現(xiàn)了什么?”旨在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“余數(shù)小于除數(shù)”的結(jié)論。此題編得不錯,無須大改。關(guān)鍵是要增加一段文字,要告訴學(xué)生:“155=3(組)”也可寫作“155=3(組)0(盆)”。這樣,展現(xiàn)在學(xué)生面前的余數(shù)就有0,1,2,3,4五種,就不會由于余數(shù)0的隱匿,而使學(xué)生誤認(rèn)為“一個整數(shù)除以5,只有1,2,3,4四種余數(shù)”了。到四年級學(xué)習(xí)了“用字母表示數(shù)”后,課本還應(yīng)當(dāng)用更具概括性的語言告訴學(xué)生:在整數(shù)除法中,如果除數(shù)是a,則余數(shù)只能是0,1,2,a-1,一共有a種。當(dāng)今時代,數(shù)學(xué)不僅作為工具,發(fā)揮著越來越重要的作用,而且,數(shù)學(xué)作為一種文化,也日益深入人心。近年來,人們對0的雙重意義的認(rèn)識越來越到位了。這不,沒有距離被稱作“零距離”;不收關(guān)稅被稱作“零關(guān)稅”。把沒有誤差稱作“零誤差”;把沒有風(fēng)險稱為“零風(fēng)險”。而像“零增長” “零收益” “零虧損” “零排放” “零損耗” “零學(xué)費(fèi)” “零片酬”“零首付”“零月租”“零利息”之類的提法早已見諸各媒體。隨著時間的推移,像這類以“零”為模式的詞匯還在不斷地誕生。前些時候,美國國務(wù)卿希拉里克林頓由于不滿下屬的荒唐行為,還首創(chuàng)了“零忍耐”一詞,令人頗感新鮮?！?”本是數(shù)學(xué)中的元素,在數(shù)學(xué)的整數(shù)除法中,又實實在在地存在著余數(shù)為0的現(xiàn)象,而為什么在我們的小