2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）試卷（教師版）

1、絕密啟用前2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【

2、解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得解.【詳解】故選 ：C2. 某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)知識(shí)為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：則（ ）A. 講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于B. 講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于C. 講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D. 講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B【解析】【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯(cuò)；

3、講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè),剩下全部大于等于,所以講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對(duì)；講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散,所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯(cuò)；講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為，講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為,所以錯(cuò).故選:B.3. 設(shè)全集，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，所以,所以.故選：D.4. 如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B【解析】【

4、分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，則該直四棱柱的體積.故選：B.5. 函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時(shí)，所以，排除C.故選：A.6. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有故選：B.7. 在長(zhǎng)方體中

5、，已知與平面和平面所成的角均為，則（ ）A. B. AB與平面所成的角為C. D. 與平面所成的角為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，解得對(duì)于A，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過(guò)作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與平面所成角為，而，所以D正確故選：D8. 沈括的夢(mèng)溪筆談是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式

6、：當(dāng)時(shí)，（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.9. 甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以

7、，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐高，所以.故選：C.10. 橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】解：，設(shè)，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：A.11. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可【詳解】解：依題意可得，因?yàn)?，所以，要使函?shù)在區(qū)

8、間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：則，解得，即故選：C12. 已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，即可得解.【詳解】因?yàn)?因?yàn)楫?dāng)所以,即,所以；設(shè)，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，則_【答案】【解析】【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，所以，所以故答案為：14. 若雙曲線的漸近線與圓相切，則_【答

9、案】【解析】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）故答案為：15. 從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為_(kāi)【答案】.【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出【詳解】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)，有個(gè)結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有個(gè)，故所求概率故答案為：16. 已知中，點(diǎn)D在邊BC上，當(dāng)取得最小值時(shí)，_【答案】#【解析】【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不

10、等式即可得解.【詳解】設(shè)，則在中，在中，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：. 三、解答題：共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17. 記為數(shù)列的前n項(xiàng)和已知（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值【答案】（1）證明見(jiàn)解析； （2）【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，得，即，即，所以，且，

11、所以是以為公差的等差數(shù)列【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得，又，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)18. 在四棱錐中，底面（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值【答案】（1）證明見(jiàn)解析； （2）.【解析】【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以；【小?wèn)2詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，

12、則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.19. 甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望【答案】（1）； （2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計(jì)

13、算出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望【小問(wèn)1詳解】設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為【小問(wèn)2詳解】依題可知，的可能取值為，所以，,，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.20. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，（1）求C的方程；（2）設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合

14、韋達(dá)定理可解.【小問(wèn)1詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，直線，由可得，由斜率公式可得，直線，代入拋物線方程可得，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，所以，所以直線.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對(duì)斜率進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)間的關(guān)系.21. 已知函數(shù)（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則【答案】（1） （2）證明見(jiàn)的解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最

15、值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，?得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為【小問(wèn)2詳解】由題知一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證因?yàn)?即證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上, ,所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛 ：本題是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過(guò)分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握（二）選考題：共10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計(jì)分選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）（1）寫(xiě)出的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)【答案】（1）； （2）的交點(diǎn)坐標(biāo)為，的交點(diǎn)坐標(biāo)為，【解析】【分析】(1)消去，即可得到的普通方程；(2)將曲線的方程化成普通方程，聯(lián)立求解即解出【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，即的普通方程為【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以?/p>