2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）試卷（教師版）

1、絕密啟用前2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項：1答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【

2、解析】【分析】由共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的運算即可得解.【詳解】故選 ：C2. 某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（ ）A. 講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B. 講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C. 講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D. 講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B【解析】【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、極差的概念，逐項判斷即可得解.【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯；

3、講座后問卷答題的正確率只有一個是個,剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對；講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差,所以C錯；講座后問卷答題的正確率的極差為，講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯.故選:B.3. 設(shè)全集，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的運算即可得解.【詳解】由題意，所以,所以.故選：D.4. 如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B【解析】【

4、分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，則該直四棱柱的體積.故選：B.5. 函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當時，所以，排除C.故選：A.6. 當時，函數(shù)取得最大值，則（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有故選：B.7. 在長方體中

5、，已知與平面和平面所成的角均為，則（ ）A. B. AB與平面所成的角為C. D. 與平面所成的角為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，解得對于A，A錯誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因為，所以，B錯誤；對于C，C錯誤；對于D，與平面所成角為，而，所以D正確故選：D8. 沈括的夢溪筆談是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式

6、：當時，（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.9. 甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以

7、，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐高，所以.故選：C.10. 橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】解：，設(shè)，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：A.11. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可【詳解】解：依題意可得，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)

8、間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：則，解得，即故選：C12. 已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得；構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可得，即可得解.【詳解】因為,因為當所以,即,所以；設(shè)，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，則_【答案】【解析】【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，所以，所以故答案為：14. 若雙曲線的漸近線與圓相切，則_【答

9、案】【解析】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）故答案為：15. 從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為_【答案】.【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出【詳解】從正方體的個頂點中任取個，有個結(jié)果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率故答案為：16. 已知中，點D在邊BC上，當取得最小值時，_【答案】#【解析】【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不

10、等式即可得解.【詳解】設(shè)，則在中，在中，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：. 三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17. 記為數(shù)列的前n項和已知（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值【答案】（1）證明見解析； （2）【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）由（1）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得【小問1詳解】解：因為，即，當時，得，即，即，所以，且，

11、所以是以為公差的等差數(shù)列【小問2詳解】解：由（1）可得，又，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時18. 在四棱錐中，底面（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值【答案】（1）證明見解析； （2）.【解析】【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以；【小問2詳解】解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，

12、則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.19. 甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立（1）求甲學校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望【答案】（1）； （2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計

13、算出對應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望【小問1詳解】設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為【小問2詳解】依題可知，的可能取值為，所以，,，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.20. 設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點當直線MD垂直于x軸時，（1）求C的方程；（2）設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為當取得最大值時，求直線AB的方程【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）設(shè)點的坐標及直線，由韋達定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合

14、韋達定理可解.【小問1詳解】拋物線的準線為，當與x軸垂直時，點M的橫坐標為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；【小問2詳解】設(shè)，直線，由可得，由斜率公式可得，直線，代入拋物線方程可得，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，所以，所以直線.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對斜率進行化簡，利用韋達定理得出坐標間的關(guān)系.21. 已知函數(shù)（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點，則【答案】（1） （2）證明見的解析【解析】【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最

15、值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導數(shù)即可得證.【小問1詳解】的定義域為，令,得當單調(diào)遞減當單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為【小問2詳解】由題知一個零點小于1,一個零點大于1不妨設(shè)要證,即證因為,即證因為,即證即證即證下面證明時，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上, ,所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛 ：本題是極值點偏移問題，關(guān)鍵點是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握（二）選考題：共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22. 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）（1）寫出的普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，求與交點的直角坐標，及與交點的直角坐標【答案】（1）； （2）的交點坐標為，的交點坐標為，【解析】【分析】(1)消去，即可得到的普通方程；(2)將曲線的方程化成普通方程，聯(lián)立求解即解出【小問1詳解】因為，所以，即的普通方程為【小問2詳解】因為，所以，