一道習(xí)題的演變

1、精彩的生成 能力的綻放 一節(jié)習(xí)題課的教學(xué)片段習(xí)題課不僅可以讓學(xué)生鞏固前面所學(xué)的知識(shí)，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力，更重要的是我們可以在習(xí)題課上以題目為載體，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)造性的思維能力請(qǐng)看下面一個(gè)教學(xué)片段：師：下面請(qǐng)大家來完成一組題目(教師用幻燈片出示第一題)(1)如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，AC10，BC4，求MN生1： 由中點(diǎn)的性質(zhì)可得MCAC=5，NC=BC=2，MN=MC+NC=7(教師板書過程)師：如果此題中AC、BC沒有具體的長(zhǎng)度,只知道AB14,其他條件不變,還能求出MN嗎?生2：能 師：請(qǐng)你先說說變換條件后的題目 生2： 如

2、圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，AB14，求MN(教師用幻燈片出示變式1) 師：在此題中還有MC5，NC =2嗎？生3：不一定有師：回答得非常好!那如何求MN呢?生3： 由中點(diǎn)的性質(zhì)可得MCAC，NC=BC，所以MN=MC+NC=AC+ BC=（AC+BC）=AB =7師：很好!請(qǐng)一位同學(xué)到黑板上寫一下過程,其余的人在自己的本子上寫(教師對(duì)小部分學(xué)生進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo))師：通過這兩題的練習(xí)大家有什么發(fā)現(xiàn)?（學(xué)生思考）生4：第一題由AC10，BC4，可得AB14，與第二題中的AB一樣長(zhǎng)第一題是第二題的特殊情況生5：只要AB14，C是線段AB上任意一點(diǎn)，M、N分別是AC、BC的中

3、點(diǎn)，都能求出MN =7生6：如果沒有線段AB的長(zhǎng)，只要有C是線段AB上任意一點(diǎn)，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，總有MN=AB師：同學(xué)們回答得都非常好! 生6都說出了老師要出的題目（教師用幻燈片出示變式2：如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，MN與AB之間有什么大小關(guān)系？）（由學(xué)生說一下理由）師：如果將第一題中的點(diǎn)C的位置改成在線段AB的延長(zhǎng)線上，其余的條件不變，MN的長(zhǎng)度是多少呢？（教師用幻燈片出示題目） （2）如圖，點(diǎn)C是線段AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，AC10，BC4，求MN（學(xué)生思考后）生7：MN=MB+BN=MB+ BC，但MB沒辦法求生8：我

4、把AC畫成10，BC畫成4，然后量出MN為3，但我不會(huì)說理由師：你非常聰明,度量法是我們學(xué)習(xí)幾何常用的一種方法與第一題相比，由于圖形比較復(fù)雜難度增加了我給大家?guī)c(diǎn)提示：1、兩題相比，它們有許多相同的條件，能不能在第一題的基礎(chǔ)上得到啟發(fā)？2、我們也可以將復(fù)雜的圖形進(jìn)行分解3、 MN可以表示成兩條線段的和，還可以怎樣表示呢？ (學(xué)生思考討論后到前面邊講解邊寫過程)生9：圖中的MNMCNC，再由M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，從而求出MC=AC=5, NC=BC=2 ，進(jìn)一步得出 MN3 生7：老師我用剛才的方法也求到了 MN=MB+BN=MB+ BC= MC-BC+BC =AC-BC=3師：很好!

5、生8有一股持之以恒的精神值得大家學(xué)習(xí)解決這個(gè)問題還有其他的方法，但生10的方法要簡(jiǎn)單一些,大家在解題的過程中盡可能選擇比較簡(jiǎn)潔的方法師：通過這一題的練習(xí),大家在解題思路和解題方法上有什么收獲？（學(xué)生暢所欲言）生10：遇到復(fù)雜的圖形就進(jìn)行分解，按照開始的思路不能繼續(xù)時(shí)，換個(gè)角度繼續(xù)思考生11：遇到的新問題如果感覺困難，可以和已經(jīng)會(huì)做的一些簡(jiǎn)單的題目做對(duì)比，看看有沒有相同的條件，能不能用類似的方法解決師：同學(xué)們說的非常好！我們現(xiàn)在能不能將第二題也像第一題一樣進(jìn)行變化并給予理由說明呢？（由學(xué)生到黑板上寫出變化后的題目并給出解題過程）變式1：點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，AB

6、6，求MN變式2：點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，MN與AB之間有什么大小關(guān)系 師：同學(xué)們完成的不錯(cuò)通過這些練習(xí)，我們已經(jīng)有了一些收獲，還能得到其他的結(jié)論嗎？生12：老師，我發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C在線段AB上與C在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)都有MN=AB 點(diǎn)C在線段AB上時(shí)點(diǎn)C也在線段MN上，MN=MC+NC；C在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)C也在線段MN的延長(zhǎng)線上，MNMCNC生13： 老師，我發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C在線段AB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)也有MN=AB這樣我就得到了點(diǎn)C只要在線段AB所在的直線上，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，總有MN=AB師: 生13總結(jié)得很到位大家掌聲鼓勵(lì)！ 生14：可以先有MN的長(zhǎng)度，然

7、后求AB生15：:老師，由這些題目我還想到了點(diǎn)C在 直線AB外，有沒有MN=AB呢？我經(jīng)過度量好像也有MN=AB，對(duì)嗎？師：你提的問題非常好！ MN=AB，至于成立的理由我們?cè)诎四昙?jí)會(huì)繼續(xù)學(xué)習(xí) 同學(xué)們?yōu)樯?4的鉆研精神鼓掌生16：我由線段的中點(diǎn)想到了線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)C只要在線段AB所在的直線上，M、N分別是AC、BC的三等分點(diǎn)，是否有MN=AB呢？師： 生16由線段的中點(diǎn)想到了線段的三等分點(diǎn)給大家提出了一個(gè)非常好的問題，請(qǐng)大家先思考然后一起來解決這個(gè)問題生17：我覺得線段的中點(diǎn)只有一個(gè)，但線段的三等分點(diǎn)有兩個(gè)，結(jié)合第一題的圖形，好像不一定成立師：同學(xué)們?cè)倏匆幌掠袥]有可能成立，如果成立的話需要

8、什么條件？生18：只要 MC=AC, NC=BC，就有MN=AB師：如果MC=AC, NC=BC，那MN與 AB之間應(yīng)是什么關(guān)系？生19： MN=AB 師：由 生16所引出的問題大家應(yīng)該得到了啟發(fā)，四等分點(diǎn)、五等分點(diǎn)的情況生20： 點(diǎn)C在線段AB所在的直線上，M、N分別是AC、BC的一個(gè)n等分點(diǎn)，只要 MC=AC, NC=BC，就有MN=AB師：同學(xué)們都很棒，老師真為你們高興！同樣點(diǎn)C在線段AB所在的直線外，只要 MC=AC, NC=BC，就有MN=AB這個(gè)內(nèi)容大家將在九年級(jí)學(xué)習(xí)生21：老師，我想到了 角的平分線和線段的中點(diǎn)有許多類似的性質(zhì)，借助于剛才的研究方法，我們也可以解決和角的平分線有關(guān)的一類題目 OABCMN 如圖，1）OC是AOB