上海2020高三數(shù)學(xué)一模分類匯編-數(shù)列(詳答版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2020年一模匯編數(shù)列填空題【奉賢1】計算：_.【答案】【解析】【靜安1】計算_.【答案】1【解析】1【普陀2】_.【答案】3【解析】極限的意義：【浦東2】_【答案】【解析】，?！鹃h行3】計算： 【答案】【解析】【崇明4】已知等差數(shù)列的首項為1，公差為2，則該數(shù)列的前項和_【答案】【解析】 【青浦4】我國古代莊周所著的莊子天下篇中引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”，其含義是：一根一尺長的木棒，每天截下其一半，這樣的過程可以無限地進(jìn)行下去.若把“一尺之棰”的

2、長度記為1個單位，則第天“日取其半”后，記木棒剩下部分的長度為，則_【答案】【解析】由題意是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以【長寧，嘉定，金山4】計算：。【答案】2【解析】極限化簡【浦東5】設(shè)是等差數(shù)列，且，則_ 【答案】 【解析】 ，【靜安5】設(shè)某種細(xì)胞每隔一小時就會分裂一次，每隔細(xì)胞分裂為兩個細(xì)胞，則小時后，個此種細(xì)胞將分裂為_個.【答案】【解析】【虹口5】設(shè)等差數(shù)列的前項和，若，則_.【答案】【解析】【崇明6】計算：=_.【答案】3【解析】分式上下同時除以，得，因為，所以答案為【普陀7】各項都不為零的等差數(shù)列滿足，數(shù)列 是等比數(shù)列，且，則_.【答案】8【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，知，又等

3、比數(shù)列的性質(zhì)有【黃浦7】若無窮等比數(shù)列滿足：，且（），則數(shù)列的所有項的和為_.【答案】 【解析】由，可得，所以數(shù)列的所有項的和為，故答案為【閔行8】若首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比，且，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】，又，即【青浦8】已知數(shù)列中，（），則_.【答案】【解析】，【徐匯8】已知等差數(shù)列的公差，表示的前項和，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍是_.【答案】【解析】 由題意得，數(shù)列是遞增數(shù)列，則，即，即,解得【楊浦8】已知數(shù)列的通項公式為，是數(shù)列的前項和，則_.【答案】【解析】因為，所以【松江9】在無窮等比數(shù)列中，若，則的取值范圍是_.【答案】.【解析】由題可知可得.【浦東11】已知數(shù)

4、列中，若對于任意的、，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】，則，則利用累加法可得到，由，可得，只需，得【寶山11】已知、均是等差數(shù)列，若前三項是、，則_.【答案】【解析】，【長寧，嘉定，金山11】已知數(shù)列滿足：，記數(shù)列得前項和為，若對所有滿足條件的數(shù)列，的最大值為M.最小值為m，則M+m=_.【答案】1078【解析】，可知一定是單調(diào)遞增數(shù)列，則，即，當(dāng)取最小值此時 當(dāng)時，取最大值此時 【徐匯11】 已知數(shù)列的前項和為，對任意，且，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】由題意得，當(dāng)為偶數(shù)時，即，所以（為奇數(shù)）當(dāng)為奇數(shù)時，即，所以（為偶數(shù)）于是可知奇數(shù)項，偶數(shù)項，所以可知二、選擇題【

5、奉賢14】一個不是常數(shù)數(shù)列的等比數(shù)列中，值為3的項數(shù)最多有（ ）【A】1個【B】2個【C】4個【D】無窮多個【答案】D【解析】比如公比，首項為3的數(shù)列，最多有無窮多個3，故選D【閔行16】已知各項為正數(shù)的非常數(shù)數(shù)列滿足，有以下兩個結(jié)論： 若，則數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列奇數(shù)項是遞增數(shù)列；則（ ）A. 對錯 B. 錯對 C. 均錯誤 D. 均正確【答案】D【解析】若，則不滿足題意，因此，若，則，而實際上，矛盾，所以必有，此時，成立。因此。此時假設(shè),則，即因此,即是遞增數(shù)列，對。若，由知，是遞增數(shù)列，因此的奇數(shù)項也是遞增數(shù)列。若，則假設(shè)（為正奇數(shù)），則因此故（為正奇數(shù)），即的奇數(shù)項也是遞增數(shù)列。對。綜

6、上選【奉賢16】由9個互不相等的正數(shù)組成的矩陣中，每行中的三個數(shù)成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，下列判斷正確的有（ ） eq oac(,1)第2列必成等比數(shù)列； eq oac(,2)第1列中的不一定成等比數(shù)列； eq oac(,3).【A】1個【B】2個【C】3個【D】0個【答案】C【解析】由由題意設(shè)9個正數(shù)組成的矩陣是，由成等比數(shù)列，則有：，故 eq oac(,1)正確；，故 eq oac(,3)正確；再由題意設(shè)9個正數(shù)組成的矩陣是：，故 eq oac(,2)正確.【青浦16】設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：，給出下列結(jié)論： ； ； 是數(shù)列中的最大項； 使成立的最大自然數(shù)等于403

7、9；其中正確結(jié)論的序號為（ ）【A】【B】【C】【D】【答案】B【解析】由題意，正確；錯誤；分析可得，正確；錯誤，選B【松江16】已知集合,集合,定義為中元素的最小值，當(dāng)取遍的所有非空子集時，則對應(yīng)的的和記為，則=【A】 【B】 【C】 【D】【答案】C【解析】當(dāng)集合中最小元素是1時，,這樣的集合有個 當(dāng)集合中最小元素是2時，,這樣的集合有個 當(dāng)集合中最小元素是9時，,這樣的集合有個當(dāng)集合中最小元素是10時，,這樣的集合有個所以,錯位相減解得三、解答題【靜安19】設(shè)是等差數(shù)列，公差為，前項和為.（1）設(shè)，求的最大值.（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，且對任意的，都有，求的取值范圍.【答案】（1）202

8、0（2）【解析】（1）由題意，有 解得 （2分）所以數(shù)列 單調(diào)遞減，設(shè)，即，解得 所以的最大值是 （4分）（2）解：， 又正常數(shù) （2分）為等比數(shù)列 當(dāng)時，不符，舍去； （1分）當(dāng)時，不符，舍去； （2分）當(dāng)時， 所以， （3分）【青浦19】某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品具有60個月的時效性，在時效期內(nèi)，企業(yè)投入50萬元經(jīng)銷該產(chǎn)品，為了獲得更多的利潤，企業(yè)將每月獲得利潤的10%再投入到次月的經(jīng)營中，市場調(diào)研表明，該企業(yè)在經(jīng)銷這個產(chǎn)品的第個月的利潤是（單位：萬元），記第個月的當(dāng)月利潤率為，例.（1）求第個月的當(dāng)月利潤率；（2）求該企業(yè)在經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，哪一個月的當(dāng)月利潤率最大，并求出該月的當(dāng)月利潤率.【答案】

9、（1）；（2）第33個月的當(dāng)月利潤率最大，其當(dāng)月利潤率為.【解析】（1）依題意得當(dāng)時，；當(dāng)時，則當(dāng)時也符合上式，故當(dāng)時當(dāng)時所以第個月的當(dāng)月利潤為當(dāng)時是減函數(shù)，此時的最大值為，當(dāng)時當(dāng)且僅當(dāng)所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時的最大值為【徐匯20】 給正有理數(shù)、（，且和不同時成立），按以下規(guī)則排列： 若，則排在前面； 若，且，則排在的前面，按此規(guī)則排列得到數(shù)列.（例如：）.（1）依次寫出數(shù)列的前10項；（2）對數(shù)列中小于1的各項，按以下規(guī)則排列：各項不做化簡運(yùn)算；分母小的項排在前面；分母相同的兩項，分子小的項排在前面，得到數(shù)列，求數(shù)列的前10項的和，前2019項的和；（3）對數(shù)列中所有整數(shù)項，由小

10、到大取前2019個互不相等的整數(shù)項構(gòu)成集合，的子集滿足：對任意的，有，求集合中元素個數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2），；（3）【解析】（1）；（2）顯然的大小是以自然數(shù)順序（從開始）排列，于是按題設(shè)排列，數(shù)列各項中分子與分母為的為第一項，只有一個數(shù)；分子與分母和為的設(shè)為第二項，有兩個數(shù)；分子與分母和為的設(shè)為第三項，有二個數(shù)；分子與分母和為的設(shè)為第項，有個數(shù)。數(shù)列中小于的項在數(shù)列中第組中的倒數(shù)第個數(shù)，按題設(shè)規(guī)則排列得數(shù)列各項依次為：將此數(shù)列分母相同的各項分為一組，第組中各項為，其和為數(shù)列為等差數(shù)列，通項。前項和，設(shè)在第組，則有，可取，為第組的第個數(shù)，故綜上，。（3）設(shè)，則，都不在中，設(shè)，則，所

11、以，得能否取到，我們構(gòu)造，則集合的子集符合題意，所以集合中元素個數(shù)最大值為；解法二：由，我們構(gòu)造奇數(shù)集合，由于任意兩個奇數(shù)的和一定是偶數(shù)，所以對于任意，則有，即集合的子集符合題設(shè)，假設(shè)存在，使得集合滿足題設(shè)，則必有，使得，于是存在，使得為奇數(shù)，且，所以與題設(shè)矛盾。綜上，集合中元素個數(shù)最大值是?！鹃L寧，嘉定，金山20】（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，為其前項的和，且，成等差數(shù)列.(1)寫出、的值，猜想數(shù)列的通項公式；(2)證明你在(1)中猜想的結(jié)論；(3)設(shè)，為數(shù)列的前項和.若對于任意，都有，求實數(shù)的值.【答案】(1) ，猜想 (2)

12、證明略 (3) 或【解析】(1)，成等差數(shù)列 分別令，有 又各項均為正數(shù)解得， 因此猜想的通項公式為(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中猜想的結(jié)論：當(dāng)時，符合結(jié)論；假設(shè)當(dāng)時，有，則則 即 又各項均為正數(shù) 即當(dāng)時也滿足結(jié)論綜上所述，(1)中猜想的結(jié)論的通項公式為成立(3)依題意得：則對于任意都有使其成立化簡得： 又 當(dāng)時，成立；當(dāng)時，有化簡得： 又在時取得最大值 又 或 經(jīng)檢驗得：或都符合條件【楊浦21】已知無窮數(shù)列的前項和為，若對于任意的正整數(shù)，均有，則稱數(shù)列具有性質(zhì)。（1）判斷首項為1，公比為-2的無窮等比數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說明理由。（2）已知無窮數(shù)列具有性質(zhì)，且任意相鄰四項之和都相等，求證：（

13、3）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若無窮數(shù)列具有性質(zhì)，求的取值范圍?！敬鸢浮浚?）具有性質(zhì) （2）略 （3）【解析】（1）奇數(shù)時，偶數(shù)時，具有性質(zhì)（2）得任意相鄰四項之和均相等即是以4為周期的數(shù)列 設(shè) 由具有性質(zhì)得，假設(shè) 則具有性質(zhì) 對任意的恒成立但趨于無窮大時，趨于負(fù)無窮大， 不可能對任意的恒成立假設(shè)不成立，（3）為等差數(shù)列，不妨設(shè)得前項和為又恒成立恒成立【寶山21】已知數(shù)列滿足，（是自然對數(shù)的底數(shù)），且，令. （1）證明：； （2）證明：是等比數(shù)列，且的通項公式是； （3）是否存在常數(shù)，對任意自然數(shù)均有成立？若存在，求的取值范圍，否則，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1

14、）易知：，因為若，再有可得為常數(shù)列，與題設(shè)矛盾；故；（2），為不為零的常數(shù)列，即為等比數(shù)列；又可得，為等比數(shù)列，可計算得首項為，公比為，故通過累加法可得：；（3）時，由可得成立；時，為偶數(shù)；，為奇數(shù)；綜上，【崇明21】已知無窮數(shù)列，滿足：對任意的，都有，記（表示個實數(shù)中的最大值）（1）若，求，的值；（2）若，求滿足的的所有值；（3）設(shè)，是非零整數(shù)，且，互不相等，證明：存在正整數(shù)，使得數(shù)列，中有且只有一個數(shù)列自第項起各項均為【答案】（1）（2）（3）見解析.【解析】（1）（2）若，記則，當(dāng)時，由，得，不符合；當(dāng)時，由，得，符合；當(dāng)時，由，得，符合；綜上，的所有取值是. （3）先證明“存在正整數(shù)，

15、使中至少有一個為0”假設(shè)對任意正整數(shù)，都不為0，由是非零整數(shù)，且互不相等，得，若對任意，都不為0，則，即對任意，當(dāng)時，所以，所以，單調(diào)遞減，由為有限正整數(shù)，所以，必存在正整數(shù)，使得，矛盾所以，存在正整數(shù)，使中至少有一個為0不妨設(shè)，且，則，且，否則，若，因為，則必有，矛盾于是，且，所以，依次遞推，即有：對，且，此時有且僅有一個數(shù)列自第項起各項均為0綜上，結(jié)論成立【奉賢21】有限個元素組成的集合，.集合中的元素個數(shù)記為.定義.集合的個數(shù)記為.當(dāng)時，稱集合具有性質(zhì).（1）設(shè)集合具有性質(zhì)，判斷集合中的三個元素是否能組成等差數(shù)列，請說明理由；（2）設(shè)正數(shù)列的前項和為，滿足，其中，數(shù)列中的前2020項：組

16、合的集合記作，將集合中的所有元素從小到大進(jìn)行排序，即滿足，求； （3）已知集合，其中數(shù)列是等比數(shù)列，且公比是有理數(shù)，判斷集合是否具有性質(zhì)，說明理由.【答案】（1）否；（2）；（3）具有性質(zhì)【解析】（1）因為集合具有性質(zhì)，所以= -1分因為中的元素可能為 -1分這六個元素同時滿足，所以集合中的三個元素不可能組成等差數(shù)列 -2分（2）由，得、相減得到得，所以 -1分所以 ，得到 -1分集合中的所有元素從小到大進(jìn)行排序得到滿足其中與數(shù)對；，；，；，；，對應(yīng). -2分所以 解得當(dāng)時， 所以對應(yīng)的數(shù)對為，所以 -2分（3）設(shè)數(shù)列的公比為，則的元素至多有個 -2分因為，所以設(shè)，所以或只要證明恒不成立即可.

17、 -1分即，假設(shè)即（*）因為是有理數(shù)，設(shè)，且互質(zhì)得所以左邊是的倍數(shù)，右邊不是的倍數(shù)，所以（*）式不成立所以集合具有性質(zhì) -5分【閔行21】已知數(shù)列滿足（1）當(dāng)時，寫出所有的可能；（2）當(dāng)時，若且對任意的恒成立，求數(shù)列的通項公式；（3）記數(shù)列的前項和為，若，分別為等差數(shù)列，求?！敬鸢浮俊窘馕觥坷奂拥谩竞缈?1】在數(shù)列中，且對任意的，、構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列.（1）求證：、成等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)，試問是否存在極限？若存在，求出其值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）；（3） 【解析】由題意得 則、成等比數(shù)列（2）由題意知 為奇時， 為偶時， 則（3） 則【黃浦

18、21】對于數(shù)列，若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和，則稱為數(shù)列.（1）若的前項和，試判斷是否是數(shù)列，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列是首項為，公差為的等比數(shù)列，若該數(shù)列是數(shù)列，求的取值范圍；（3）設(shè)無窮數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，有窮數(shù)列、是從中取出部分項按原來的順序所組成的不同數(shù)列，起所有項和分別為、，求是數(shù)列時與所滿足的條件，并證明命題“若且，則不是數(shù)列”.【答案】（1）見解析 （2） （3）見解析【解析】（1）由，可知， 2分故對一切正整數(shù)都成立，故是數(shù)列4分（2）由題意知，該數(shù)列的前項和為，6分由數(shù)列是數(shù)列，可知，故公差，對滿足中的每一個正整數(shù)都成立8分對于都成立由，可得，故的

19、取值范圍是 10分（3）若是數(shù)列，則，若，則，又由對一切正整數(shù)都成立，可知，即對一切正整數(shù)都成立，由，且，故，可得 12分若，則，又由對一切正整數(shù)都成立，可知，即對一切正整數(shù)都成立，又當(dāng)時，當(dāng)時不成立，故有或，解得 所以是數(shù)列時，與所滿足的條件為或14分下面用反證法證明命題“若且，則不是數(shù)列”假設(shè)是數(shù)列，由，可知且中每一項均為正數(shù)，若中的每一項都在中，則由這兩數(shù)列是不同數(shù)列，可知，若中的每一項都在中，同理可得 15分若中至少有一項不在中且中至少有一項不在中，設(shè)是將中的公共項去掉之后剩余項依次構(gòu)成的數(shù)列，它們的所有項和分別為，不妨設(shè)中的最大項在中，設(shè)為，則，則，故，所以，故總有，與矛盾故不是數(shù)列

20、 18分【普陀21】數(shù)列與滿足是數(shù)列的前項和（）.（1）設(shè)數(shù)列是首項和公比都為的等比數(shù)列，且數(shù)列也是等比數(shù)列，求 的值；（2）設(shè)，若且對恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)，若存在整數(shù)，且，使得成立，求的所有可能值.【答案】（1）（2）（3）-1和-2【解析】（1）由條件得，即，則，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，又，則當(dāng)，時，則滿足題意，故所求的的值為 （2）當(dāng)時， ，以上個式子相加得，又，則，即. 由知數(shù)列是遞增數(shù)列，又，要使得對恒成立，則只需，即，則（3） 由條件得數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，則則，當(dāng)時，即時，則當(dāng)時，與矛盾又，即時，.當(dāng)時，又，即當(dāng)，時，與矛盾.又，則或，當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得.綜上得的所有可能值為和.（3），則為等差數(shù)列，對任意恒成立，存在時，使，則先變大后變?。ㄖ浮缱兓侍卣鳎?，在時，.又，.那么從易到難猜測：當(dāng)時，代入得