2022屆山西省長治市三校高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，滿足，若，則( )A2020B4038C4039D40402已知函數(shù)，則的極大值點為( )ABCD3已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示.則（ ）ABCD4已知函數(shù)的一條切線為，則的最小值為（ ）A

2、BCD5設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個實數(shù)解，其中，則的取值范圍是（ ）ABCD6為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計兩科成績得到如圖所示的散點圖(兩坐標(biāo)軸單位長度相同)，用回歸直線近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系，根據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是()A線性相關(guān)關(guān)系較強，b的值為1.25B線性相關(guān)關(guān)系較強，b的值為0.83C線性相關(guān)關(guān)系較強，b的值為0.87D線性相關(guān)關(guān)系太弱，無研究價值7過拋物線的焦點F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)P為拋物線上的一動點，若，則的最小值是（ ）A1B2C3D48在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，若動點滿足 ，則的取值范圍是（ ）ABCD9已知集合的所有三個元素的

3、子集記為記為集合中的最大元素，則（）ABCD10一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成，則這個幾何體的表面積是（ ）ABCD11圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） ABCD12已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經(jīng)過點，則正方體被平面截得的截面面積為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若函數(shù)，則的值為_.14已知命題：，那么是_.15已知二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)和為512，其展開式中第四項的系數(shù)_16已知一個正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，側(cè)面積為，則該

4、棱錐的體積為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)（1）解不等式：；（2）求證：18（12分）棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)，某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花，為了評價該品種的棉花質(zhì)量，在棉花成熟后，分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機抽取21根棉花纖維進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：（記纖維長度不低于311的為“長纖維”，其余為“短纖維”）纖維長度甲地（根數(shù)）34454乙地（根數(shù)）112116（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過1.125的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.甲地乙地總

5、計長纖維短纖維總計附：（1）；（2）臨界值表；1111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828（2）現(xiàn)從上述41根纖維中，按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測，在這8根纖維中，記乙地“短纖維”的根數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19（12分）如圖，在四棱錐中，和均為邊長為的等邊三角形.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20（12分）已知，動點滿足直線與直線的斜率之積為，設(shè)點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若過點的直線與曲線交于，兩點，過點且與直線垂直的直線與相交于點，求的最

6、小值及此時直線的方程.21（12分）橢圓：的離心率為，點 為橢圓上的一點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為的直線過點，且與橢圓交于兩點，為橢圓的下頂點，求證：對于任意的實數(shù)，直線的斜率之積為定值.22（10分）已知函數(shù)（1）若曲線在處的切線為，試求實數(shù)，的值；（2）當(dāng)時，若有兩個極值點，且，若不等式恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】計算，代入等式，根據(jù)化簡得到答案.【詳解】，故，故.故選：.【點睛】本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.2A【解析】求出函

7、數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得極大值點即可.【詳解】因為，故可得，令，因為，故可得或，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點為.故選：A.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點，屬基礎(chǔ)題.3C【解析】由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意，即,解得；因為所以，當(dāng)時，.故選:C.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用,難度一般.4A【解析】求導(dǎo)得到，根據(jù)切線方程得到，故，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，計算得到答案.【詳解】，則，取，故，.故

8、，故，.設(shè)，取，解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.5B【解析】畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，計算得到答案.【詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，故，且.故.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)零點問題，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.6B【解析】根據(jù)散點圖呈現(xiàn)的特點可以看出，二者具有相關(guān)關(guān)系，且斜率小于1.【詳解】散點圖里變量的對應(yīng)點分布在一條直線附近，且比較密集，故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，且直線斜率小于1，故選B.【點睛】本題主要考查散

9、點圖的理解，側(cè)重考查讀圖識圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).7C【解析】設(shè)直線AB的方程為，代入得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得，從而得到，同理可得，再利用求得的值，當(dāng)Q，P，M三點共線時，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，可知拋物線的焦點為，則直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，代入得：.由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以.又直線CD的方程為，同理，所以，所以.故.過點P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得.所以，當(dāng)Q，P，M三點共線時，等號成立.故選：C.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意取最

10、值的條件.8D【解析】設(shè)出的坐標(biāo)為，依據(jù)題目條件，求出點的軌跡方程，寫出點的參數(shù)方程，則，根據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍，可求得結(jié)果.【詳解】設(shè) ，則， 為點的軌跡方程點的參數(shù)方程為（為參數(shù)） 則由向量的坐標(biāo)表達式有：又故選：D【點睛】考查學(xué)生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的能力，熟練掌握代數(shù)式轉(zhuǎn)換，能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積，屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有：直接法；定義法；相關(guān)點法；參數(shù)法；待定系數(shù)法9B【解析】分類討論，分別求出最大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數(shù)，即可得解.【詳解】集合含有個元素的子集共有，所以在集合中：最大元素為的集合有個；最大元素為的集合有；最大元素為的集

11、合有；最大元素為的集合有；所以故選：【點睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題，其本質(zhì)在于弄清計數(shù)原理，分類討論，分別求解.10C【解析】畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個正方體中挖掉個球而形成的，所以它的表面積為.故選：C【點睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算，考查空間想象能力和運算求解能力.11B【解析】三視圖對應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體，利用割補法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，它是一個圓柱截去上面一塊幾何體，把該幾何體補成如下圖所示的圓柱，其體積為，故原幾何體的體積為. 故選：B.【點睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾

12、何體的體積，復(fù)原幾何體時注意三視圖中的點線關(guān)系與幾何體中的點、線、面的對應(yīng)關(guān)系，另外，不規(guī)則幾何體的體積可用割補法來求其體積，本題屬于基礎(chǔ)題.12B【解析】先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面，然后利用面面平行的性質(zhì)定理，得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求

13、出的值，進而計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則；故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)運算法則的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力14真命題【解析】由冪函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.【詳解】已知命題：，因為在上單調(diào)遞增，則，所以是真命題，故答案為：真命題【點睛】本題主要考查了判斷全稱命題的真假，屬于基礎(chǔ)題.15【解析】先令可得其展開式各項系數(shù)的和，又由題意得，解得，進而可得其展開式的通項，即可得答案.【詳解】令，則有，解得，則二項式的展開式的通項為，令，則其展開式中的第4項的系數(shù)為，故答案為：【點睛】此題考查二項式定理的應(yīng)用，解題時需要區(qū)分展開式中各項系數(shù)

14、的和與各二項式系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題.16【解析】如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設(shè)，根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到答案.【詳解】如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設(shè)，.故答案為：.【點睛】本題考查棱錐的側(cè)面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）； （2）見解析.【解析】（1）代入得，分類討論，解不等式即可；（2）利用絕對值不等式得性質(zhì)，比較大小即可.【詳解】（1）由于，于是原不等式化為，若，則，解得；若，則，解得

15、；若，則，解得綜上所述，不等式解集為（2）由已知條件，對于，可得又，由于，所以又由于，于是所以【點睛】本題考查了絕對值不等式得求解和恒成立問題，考查了學(xué)生分類討論，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題.18（1）在犯錯誤概率不超過的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”（2）見解析【解析】試題分析：（1）可以根據(jù)所給表格填出列聯(lián)表，利用列聯(lián)表求出，結(jié)合所給數(shù)據(jù)，應(yīng)用獨立性檢驗知識可作出判斷；（2）寫出的所有可能取值，并求出對應(yīng)的概率，可列出分布列并進一步求出的數(shù)學(xué)期望試題解析：（）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：甲地乙地總計長纖維91625短纖維11415總計212141根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得所以

16、，在犯錯誤概率不超過的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系” （）由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數(shù)為，的可能取值為：1,1,2,3， ， 的分布列為：1123 19 (1)見證明；(2) 【解析】(1) 取的中點，連接，要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面，即證， 即可；(2) 以為坐標(biāo)原點，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，代入公式，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）取的中點，連接，因為均為邊長為的等邊三角形，所以，且因為，所以，所以，又因為，平面，平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）因為，為等邊三角形，所以，又因為，所以，在中，由正弦定理，得：，所以.以為

17、坐標(biāo)原點，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則平面的一個法向量為，依題意，平面的一個法向量所以故二面角的余弦值為.【點睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.20（1）（2）的最小值為1，此時直線：【解析】（1）用直接法求軌跡方程，即設(shè)動點為，把已知用坐標(biāo)表示并整理即得注意取值范圍；（2）設(shè)：，將其與曲線的方程聯(lián)立

18、，消元并整理得，設(shè)，則可得，由求出，將直線方程與聯(lián)立，得，求得，計算，設(shè).顯然，構(gòu)造，由導(dǎo)數(shù)的知識求得其最小值，同時可得直線的方程.【詳解】（1）設(shè)，則，即整理得（2）設(shè)：，將其與曲線的方程聯(lián)立，得即設(shè)，則，將直線：與聯(lián)立，得設(shè).顯然構(gòu)造在上恒成立所以在上單調(diào)遞增所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”即的最小值為1，此時直線：.（注：1.如果按函數(shù)的性質(zhì)求最值可以不扣分；2.若直線方程按斜率是否存在討論，則可以根據(jù)步驟相應(yīng)給分.）【點睛】本題考查求軌跡方程，考查直線與橢圓相交中的最值直線與橢圓相交問題中常采用“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)交點坐標(biāo)為，設(shè)直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元，然后用韋達定理得（或），把這個代入其他條件變形計算化簡得出結(jié)論，本題屬于難題，對學(xué)生的邏輯推理、運算求解能力有一定的要求21（1）；（2）證明見解析【解析】（1）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解得，進而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線，代入橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，以及點在直線上滿足直線方程，化簡整理，即可得到定值【詳解】（1）因為，所以， 又橢圓過點， 所以 由，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .（2）證明 設(shè)直線：， 聯(lián)立得， 設(shè)，則 易知故所以對于任意的，直線的斜率之積為定值.【點睛】本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線方程