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1、第3講-行列式的降價處理-按行列展開第6節(jié) 行列式的降價處理：按行、列展開 降階、降級處理是數(shù)學處理的基本思路之一。對n階行列式也可使用這一思路：將n階行列式變成n-1階行列式進行處理，從而可層層降階到低階行列式進行處理，這便是行列式的按行或按列展開。一 特殊行列式的降階處理一般行列式的按行、按列展開特殊行列式的計算例：證明(降階處理)左端 右端一 特殊行列式的降階處理更一般地，如下行列式能否降階處理？又因綜上，有一般行列式的按行展開其中 上面分析表明，一般n階行列式可按某行展開成該行元素與其代數(shù)余子式的積的和的形式：此行列式相當于在行列式又因代數(shù)余子式可降階為如下形式(相等或符號相反)綜合前

2、述知識知，Aij 與 Mij 的有如下關系即Aij 可通過計算一個n-1階行列式得到。下式表明了行列式可降階處理。稱上式為行列式的按第i行展開式。(i=1,2,n)按第 j 列展開行列式 ？行列式的按行、列展開式表明行列式 = 某一行的元素分別與各自代數(shù)余子式的乘積之和對行列式d?當k=i時，是d按第i行的展開，仍為d；當ki時, 則表示的是d的第k行元素與另一行元素的代數(shù)余子式相乘。其結果是否仍為d?例，已知行列式 例：當ki時, 不妨設 ik，則 0.定理：設例：計算行列式問題：與化三角行列式相比，計算量有否變化？例：計算問題：與化三角行列式相比，計算量有否變化？注 意 行列式按行、列進行展開的著眼點不在于減少計算量，而在于其理論意義。當然在手算具體確定的行列式時，當行列式的某些行與列有大多數(shù) 0 時，能有效化簡計算，但這種做法卻沒有通用性。三 特殊行列式的計算(n-1行乘 -a1 加到第n行； n-2行乘 -a1 加到第n-1行，余類推)1 范德蒙德行列式(上邊最后一式右邊又是一個 n-1 級的范德蒙德行列式)從而有（歸納證明），2

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