22李永樂數(shù)學(xué)二《臨陣磨槍》

1、目錄禹竽數(shù)學(xué) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 第一部分基本計(jì)算1一、導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)，微分，全微分）的計(jì)算1 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 二、極限的計(jì)算9三、積分的計(jì)算12 HYPERLINK l bookmark11 o Current Document 四、微分方程求解22 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 第二部分基本應(yīng)用26 HYPERLINK l bookmark15 o Current Document 五

2、、微分的應(yīng)用一一單調(diào)性，凹凸性，極值，最值及不等式問題 26 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 六、微分的應(yīng)用一幾何問題33 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 七、積分的應(yīng)用34 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 八、常微分方程的應(yīng)用37 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 第三部分基本概念38 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 九、分段函數(shù)38 H

3、YPERLINK l bookmark28 o Current Document 十、積分定義問題一一定積分的定義求極限39 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 十一、曲率，曲率半徑 39 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 十二、漸近線3940十三、反常積分的收斂性線性代數(shù) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 一、行列式的計(jì)算42 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 二、伴隨

4、矩陣A* 45三、解方程組47 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 四、如何求矩陣A 51 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 五、線性相關(guān)與無關(guān)57 HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 六、線性表出的計(jì)算與推理61 HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 七、矩陣的秩、向量組的秩 64 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 八、特征值、特征向量 68九、關(guān)于 P

5、-AP=A 71十、求”階矩陣A的方幕A” 76 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 十一、二次型化標(biāo)準(zhǔn)形79 HYPERLINK l bookmark58 o Current Document 十二、二次型的正定84 HYPERLINK l bookmark60 o Current Document 十三、如何判斷相似、合同 87高等數(shù)學(xué)第一部分 基本計(jì)算計(jì)算是考研數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容.在考卷中呈現(xiàn)的可能是一道簡單的計(jì)算題，也可以融合在其 他題目中.考研數(shù)學(xué)的計(jì)算主要有極限計(jì)算，導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)，微分，全微分）的計(jì)算，積分（一元 積分，二重積分）的計(jì)算，

6、微分方程的求解.二、導(dǎo)數(shù)（偏昱數(shù)微分全微分）.1旳計(jì)第導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)，微分，全微分）的計(jì)算包括下面幾個(gè)內(nèi)容：1.1 一元顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（微分）計(jì)算A = g,則其在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)和微分分別為f心）=lim_ /（o）, 巧=”（zQdLzZf工0工2o遇到分段定義的函數(shù)在分段點(diǎn)的可導(dǎo)性判斷，會用到左（右）導(dǎo)數(shù)的概念.函數(shù)夕=/（在在點(diǎn)點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)f 5）= lim 2 2；”吋 z 一如函數(shù)夕=/（乂）在及點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)岸（Zo）= lim 了5）.Y x-xQ函數(shù)夕=在氐點(diǎn)可導(dǎo)可導(dǎo)（to ） = f+ （工0）12多元顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（全微分）計(jì)算以二元函數(shù)為例，z = f,y）學(xué) |=f：a0,y0） =

7、lim f（氐 + 丁 Pa）一 f 丁。以）學(xué) |= f； 5） = lim心。，）y I（吋旳）AyfOA J/）=字| 山 + 學(xué)I dydx I（x0 ,0）dy I（x0.0）一元顯函數(shù)（包括復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)，多元顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（全微分）計(jì)算比較簡單，在此 就不舉例介紹了.1.3隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算若方程F（x,y） = 0確定了一元隱函數(shù)y = 夕（工），由隱函數(shù)定義，我們有恒等式:F（z,y（j：）三 0, Vz 成立-1 若二元函數(shù)F（h，W連續(xù)可導(dǎo)（即F（d）的一階偏導(dǎo)數(shù)F；（zq）,F；（h，W均為連續(xù)函 數(shù)），且F：（,y）工0,方程F（z,y） = 0兩邊對工求導(dǎo)，f (x

8、,y (z) = 0F； (x,y) + Fy (z,y) yr (x)= 0即y （工）=_憶 壬理，或?qū)懗沙蓺q3FdxF 3y從這里可見：函數(shù)y = y（d）存在并可導(dǎo)有一個(gè)必要條件是:尺（工，夕） 工 0.同樣，若二元函數(shù)FQq）二階連續(xù)可導(dǎo)（即F（x,）的二階偏導(dǎo)數(shù)FL（hq）,碼（工夕）， 必（工，夕）均為連續(xù)函數(shù)），且尺（_力）工0,則方程F（_,y） = 0確定的一元隱函數(shù)夕=夕（工）也二階可導(dǎo)，再次求導(dǎo):F；4- F；（無，） j/（無）=0F （工，L + 2F；y Cx,y）yCx） + F打（工，夕）夕（攵）了 + Fy= 0所以一元隱函數(shù)（=（& ）的二階導(dǎo)數(shù)為=略（F

9、； ） 2器護(hù) + （ （； ）2，其中, E，（L,碼，碼 均為（_,（的函數(shù).多元隱函數(shù)也有類似的結(jié)論：若三元函數(shù)F（_z,q,z ）連續(xù)可導(dǎo)（即F（x,y,z）的一階偏導(dǎo) 數(shù) F： （x,y,z） ,Fy （x,y,z）,F （x,y,z）均為連續(xù)函數(shù)），且 F；（久,夕，之）工0,方程 F（x,y,z）= 0確定了一個(gè)二元隱函數(shù)乂 = z（Q,y）,由隱函數(shù)定義有恒等式：F （j：, y ,z /（工）=0的隱函數(shù)夂=）= , V y成立.兩邊對夕求導(dǎo)，1 =蘿學(xué)，所以dr dj/dj?=丄=丄dydfdydx d=r同樣，若函數(shù)/Q）二階連續(xù)可導(dǎo)（*工）的二階導(dǎo)函數(shù)尸（是是連續(xù)函數(shù)）

10、，且（工）工0, 則函數(shù)夕=的反函數(shù)久=廣1 （夕）二階導(dǎo)數(shù)存在，（工= f （工）d（無）315參數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（:X = 0（t）若函數(shù)8 = 2的反函數(shù)存在，則_ ;（門可以確定夕是工的函數(shù)（參數(shù)函數(shù)）.若Z, 0（0均連續(xù)可導(dǎo)（卩（t），0&）的導(dǎo)函數(shù)/（/）,/（/）均連續(xù)），且卩（/）工0,則參數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為史 dy = _dL dw dzd7若卩（）,/（）均二階連續(xù)可導(dǎo)（卩，0（t）的二階導(dǎo)函數(shù)（），,（&）均連續(xù)），且/（O豐0,則參數(shù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為d? y = d（ /）（/） d（ /）0（ /） A?力316變限積分定義的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算冷工）變上限積分為為/（山，變

11、下限積分為為/（）&,一般的復(fù)合變限積分為| jgt.a(z)若2 ）在a,刃上連續(xù),aQ），B（z）可導(dǎo)，則復(fù)合變限積分|fWdt定義的函數(shù)在a刃J a（Q）上可導(dǎo)且（ /Xt）dr）=）/（工）一*0：（工）（/（2）例1.1設(shè)（&）在0,+岡）上存在且連續(xù),/（0） H0,/（0） HO求常數(shù)a,仔,使得函數(shù)g(z)af （ x） + 妙（一 2無），f （工），無V 0工$ 0在2 = 0處可導(dǎo).【解】要使g（z）在z = 0處可導(dǎo)，則g（z）必須在工=0處連續(xù).limg （無）=lim“（一力）+ 妙（ 2工） = /（0） + 妙（0） HfO -0（）1limg(jc) = li

12、m/(H)=于(0) lo+0+故有 af (0) + pf (0) = /(0) , + /?= 1.又有 gf- (0) = g+ (0),故-數(shù)學(xué)二一(0) 2妙，(0) = /(0)a + 20=1a +B = 1(a = 3聯(lián)立可得彳，解得彳.a + 20 = 12例1.2求由方程2工2 +y +2 + 2巧一 2工一 2夕一 4z+4 = 0確定的函數(shù)z =玖工,切 的極值.【考點(diǎn)】隱函數(shù)求導(dǎo)（偏導(dǎo)兒極值的判斷.【解】 這是求函數(shù)極值的題目，但是根據(jù)極值的充分條件與必要條件，首先要求函數(shù)乂 = z（scy）的駐點(diǎn)，然后求二階偏導(dǎo)數(shù)，判斷駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn).所以我們首先求函數(shù)N =夕）

13、的一階偏導(dǎo).記 F（jc,y 9Z）= 2 j；2 + y + Z + 2xy 一 2jc 2 y 一 4z + 4,則4_z + 2y 2,dy芋2+ 2工-2,芋=2乂 一 4所以以嘗=_1，字=一壬 + 書 1 函數(shù) z = z（z,y） 的駐點(diǎn)滿足djcz 一 Z dyz ZJ2工 + y 一 1 = 01攵 + y 1 = 0 駐點(diǎn)為（0,1）,此時(shí)由 2 工2 + ） + Z + 2巧一2x 2y+ 4 = 0 解得勺=1,勺 =3.下面求函數(shù)z = z（x,y）的二階偏導(dǎo)數(shù)以確定駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn).方法如下：昭=4,昭=2,昭 =0,必=2,碼=0,肥=21 ,z 1 點(diǎn)，昭（F；

14、 ）2 2F：F；F【+ Fz （F：）2(0,1,1)=2,(F：)3碼(E 尸 f；FF + F；FF(0,1,1)B =丨(0,1,1)c = Lz =O=| (0,1,1)_(F；)3A O,AC B2 0,隱函數(shù)z = zscy在(0,1)點(diǎn)取到極小值1.在 z = 0,y = 1 ,z = 3 點(diǎn),A =制 總(盼-2總FX+E(E碼(F昭F；F； F；F；F； +F：F；F；（F；）Fj （F；）2 二 2碼F；F；丄 F；（尺嚴(yán)=1,(0,1,1)(0,1,1)(0,1,3)(0,1,1)(0,1,3)d2zB =d.xdy I （0,1,3）C=37I=A 0,隱函數(shù)z =

15、zCx,y）在（0,1）點(diǎn)取到極大值3.【評注】1為了使大家更清楚計(jì)算過程，簡單的化簡就不在這兒一一寫出.2.本題用極值的充分與必要條件定理求駐點(diǎn)，并判斷駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，可結(jié)合微分的應(yīng) 用相關(guān)知識.（F；）3玖（2 2咒FF 土肥（E嚴(yán)(0,1,3)(0,1,3)(0,1,3)=一1,例1.3于（）| x y I dy,其中a v b及/（y）為可微的函數(shù)，求F（z）【解】當(dāng) z C (a，&)時(shí),F(h) = (:x yfyAy + f (y j：)f(y)dy=x /(y)dy yf(y)Ay + yf(y)Ay x fkydy JaJ aJzJ i=hJ f(y)(：y j f(y)A

16、yj yfCyAy + J yfCy)Ay 則 F Q) = J _/()d* J fCy)Ay + x_f(H)+(r) xf xf (工)F(Q) = fO + f(jc) = 2/l.z).當(dāng)x住（a, b時(shí)，比如攵 a，則有F(c)=j (y j)f(y)Ay =yfyAy (df f(y)Ay J aJ aFQ)fCy)AyFQ) = 0同理z $ b時(shí)，有FQ） = 0,故FqJ2/(x),I 0,x f （a,）其他設(shè)y = e + In x（h 0）,則其反函數(shù)x 乂（？）的微分分=【考點(diǎn)】反函數(shù)求微分.【分析】 字=禾+丄，所以以=占=T,，函數(shù)工=工（3夕的微分為dr =

17、f . dy.olcx aydysee + 1jrex + 1dr例1.5z = a（ sin t） + 的 d2 y，求亍J亍號y = a（ 1 cos t） dd a.x【考點(diǎn)】參數(shù)表示的函數(shù)求導(dǎo).【解】 申（方=q（ sin /）,/（/） =a（l cos ）,所以d(r2旳一d一心一sin t1 cos t卩（）丁1Q( 1 COs t)2例1.6設(shè)方程A = /（*+_/）+& +（）確定y是2的函數(shù)，其中f（u）可導(dǎo)，則dy =d(r *【考點(diǎn)】隱函數(shù)求導(dǎo).【分析】 記 F(z,y) =+ jf2) + fx + y) v 則嶼陣產(chǎn)掄學(xué)dx所以歲-2.工f （工2 +夕2） +”

18、（工 + 夕），學(xué)=2yfx + y ） +f（z + y） 1 dy2對& + b） + f q + 切23y（ + b）+”（工 +例1.7(f (a), x = a 設(shè)函數(shù)fS有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(a) = 0.令g()=心),x ) a lx a求 g(a).【考點(diǎn)】用定義求導(dǎo)數(shù)./（工）一廠）【解lim g&）一 g（a）=怙蘭二）1）= lim /（刃f）（a）Q a）3a ar*ara（jc 一 aV因?yàn)楹瘮?shù)fz)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f（j?y = /（a） + ”（a）（工 一 a） + *（） （無 aC 疋在 a 與工之間恤/（衛(wèi)匚廣（a）y a）=四吉你）=弟（a）（工 一

19、a）2所以 g（a） = */（a）例1.8【評注】本題用到f(z)的泰勒展開，在本書的后面專門有章節(jié)介紹相關(guān)內(nèi)容.設(shè)函數(shù)/()在7 = 0鄰域有定義，/(0) = 1且滿足Iim】n(I二空丄士 22對3 =J00,考察函數(shù)在工=0點(diǎn)的可微性，若可微，求/(0). 2z * (2工)嚴(yán)+。(才)+2巧(刃=lim丁-*o解】ln（l 2P+2（z）=2 lim “ _ 1 2 + 0 = 0,l ojc1存在，函數(shù)才(工在工=0點(diǎn)可微，/)(0) = 1.工*o3a【評注】本題用到In(l 2工的泰勒展開，在本書的后面專門有章節(jié)介紹相關(guān)內(nèi)容.【知識清單填空1】1. 1 導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法

20、則：若/(工)，g(工可導(dǎo)，則/(O)士 g(z) 了 = ;f(z) g() = ;&(刃工0筒=；dj(K) 士 g(z) =；df(x) g(H)=; gQ)H0,叮冊=1. 2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：如果果= f(c)可導(dǎo)，導(dǎo)=f(G、u =可導(dǎo)，導(dǎo)則復(fù)合函1. 3數(shù)夕=甲(工)，且字=dj-初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：(c) =(c 為常數(shù))；(才)=(工 0,為任意實(shí)數(shù))；3)，= (a 0)；(” = (logar) = (a 0) ； (In 工)，=_(sin xY =； (cos xY =；(cot 工Y = ；(csc = ；(In | r | V =(tan jr)(sec 工Y(arc

21、sin _)，= _(arccos 工Y _(arctan 工)= (arccot 工Y = _/&) = _h(工)心=1.4，且*(工)士 g(Q若 y(Q),g(C)均階可導(dǎo)，(工)士 g(C),，c(C)也 ；(工)5)= ，其中(_ w R為常數(shù). 萊布尼茨公式：若/(z) = u(x) &(Q ,其中,v(:r)均n階可導(dǎo)，則 嚴(yán)(工=-1.5與一元函數(shù)一樣，兩個(gè)多元函數(shù)可以作四則運(yùn)算，也有類似的求偏導(dǎo)公式:具*x)士 g(X) =；$-f(X). _(X)=；dXi訂冊，(4)多元函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算.y = f(Ur山2， 為加元函數(shù)，其中Ux = gi(Oi ,?2，(”),(q

22、,：T2,Xn)6 (UR U2 = g2 (工1 ,兀2，工”)，(m】，乞2,z”) G U Rum = gm Cl，忑,(心，比，,z”) 6 O U R,(九=1,2,3) 若函數(shù)/(U1 ,U2 , ,um)和gi(Qi ,#2,，z”)/ = 1,2,，加均為可微函數(shù)，則其復(fù)合 y = fg (鼻1，攵2，力”),g2(Q1，攵2，工”)，,gm (勸，攵2，%”)也為，并且有求偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t；器 =dXi1. 6隱函數(shù)求導(dǎo)：-數(shù)學(xué)二 TOC o 1-5 h z 若函數(shù)y =夕（攵），由方程F（_,y） = 0確定，則j（z） =；如果多元隱函數(shù)y = yO 4= 1,2,3）由方

23、程F（3，乜，耳，夕）=0確定，則夕; O） =-反函數(shù)求導(dǎo)：羋=.參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)，則孚=b =曲）山【知識清單答案1（本答案僅供參考，知識清單多數(shù)問題是開放性的，答案不唯一.）1 (1) /(,) 士 g(g)/(v)g(v)于Q)g(z). g&)了(5)g(z)dj(;c) + /(?)dg(z)；/(工)g(z) +(2) g(z)；dj(c) 士 dg(c); g(z)d/(z)/(pdlgQ) g(M-2可導(dǎo)，導(dǎo)您半dw dr1. 3(1)0; (2)嚴(yán)廠1 ； (3)/11 a；e；(4)】丄丄 In a，x x(5)cos x ； sin z ； (6) sec2x； csc2z

24、 ； (7)sec (ttan x ； csc _cot x ；1 1H 卅1K?人(h) 1A(x) J*（44可微函數(shù)，工學(xué)+d u ojCj工牛.d%0工i(10)f(j)| g(H)ln (,) + g(z) 14 ” 階可導(dǎo)，JS（Q）士 g（Q）；cf（Z）.2CM”F（Q）嚴(yán)（Q）.& = 0（1 也/（X）土士右g（X）；（2）民（*X） Jg（X）+（X）嗟g（X）p(3)任(Fg(-*()譙g(x)g(x)了6 E（S） fx.（勸，工2,，2”，歹） fy（HQ） fy（Oi ,02,，2”，y）曠1?djr d;rdv dr db*dz二、極限的計(jì)算初等函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)

25、,所以在定義域的內(nèi)部，初等函數(shù)的極限值就是函數(shù)值.值得討論的 極限都是當(dāng)自變量趨于定義域的邊界，也就是所謂不定式的極限.下面是常見的幾類不定式.2.1 #型不定式： TOC o 1-5 h z 如果(1) lim/Xz) = limgQ) = 0； (2)在極限點(diǎn)某個(gè)空心鄰域內(nèi),g(Q)都存在，且 r-*n-f g(_)H0；(3) lim人(小存在或?yàn)闊o窮大彳則lim存在或?yàn)闊o窮大，且一口 g (小工口 gkx)于(工)_ 1/(攵) m - 11 mr-L口 g(2)L口 g (z)【評注】 這里工一可以是趨于一個(gè)實(shí)數(shù)(左極限或右極限)或趨于無窮.22 型不定式:如果(1) limg(z)

26、 = oo； (2)在極限點(diǎn)某個(gè)空心鄰域內(nèi)，#Q) ,gQ)都存在，且gQ) H0；x-*Dlim存在或?yàn)闊o窮大，則lim馬毛存在或?yàn)闊o窮大，且工-口 g kx)工一口 g()lim 供供|：m fG)lim - lim 口 g(z) 口 g (元)3 08型，0-00型，0型，型型不定式:化成半型或H型不定式來計(jì)算.例2. 1設(shè)函數(shù)F(Q =0T1攵工,其中/為一階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),*0) = 0.A,求A的值，使FQ)在x = 0處連續(xù)；證明此時(shí)F(h)在工 = 0處可導(dǎo)，且F(z)在工 = 0處連續(xù).(I )(D)【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的定義，變上限積分求導(dǎo)數(shù)，洛必達(dá)法則.【解】(I ) limF(z

27、) = lim J。羅)=lim 厶工0 x)*0XxfO=0,所以當(dāng)A = 0時(shí)F(c)在工=0處連續(xù)；(f )F)(0) = lim 理) 二 F(0)t-*OJClimxfOx，-/(jt)1/()=lim 氣一=lim 丄；=一rfO 3工3 工一ox 03【評注】最后一個(gè)等式是用導(dǎo)數(shù)定義得到的，而不是由洛必達(dá)法則得到的.畸陣產(chǎn)搶-數(shù)學(xué)二z 工 0 時(shí)，F(xiàn)（h）=0 x2x2/(x) 20心、limF(z) = lim戶 =r,x-0 x*0C3所以一階導(dǎo)函數(shù)FQ)在工 = 0處連續(xù).:-*0例2. 2i m J + Hsin J cos h + / warctan jcx0【考點(diǎn)】J

28、型不定式的極限，分子有理化，洛必達(dá)法則.【分析im ml + Hsin 工一 /cos x + x HYPERLINK l bookmark7 o Current Document ? ioHarctan jc=Hm（丿1 +#sin工一8sz + 7）（ （1；+_空或n+上coy土也（這個(gè)過程稱為分子有理化） io?（ Ji+Zssirs 匚 + /cos 工 + HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 工?）limx01 + H-in x 一 cos x HYPERLINK l bookmark7 o Current Document ?=lim

29、Hf 0sin x + jccos x + sin x 一 2工 _ 1一 T*例2. 3【考點(diǎn)】4工丄lim （cos 工）,= 工f 0型不定式的極限.lim (cos = limir-* 0 x-*0ln(cos z)，而由洛必達(dá)法則lim0ln(cos z)sin 2. cos c=lim -t-0 0所以lim0(cos z)，= e-y例2. 4+ z)，【考點(diǎn)】【分析】設(shè) a 0 ,則 lim （rc HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 2 -z-*o+0型不定式的極限.lim （ HYPERLINK l bookmark7 o Cu

30、rrent Document 才+2） = limef+廠，而由洛必達(dá)法則 0+-*（）+limrraln(j：2 +工)= lim lnm= Hmz-*0+工-o+乂x0+1 . h(2工 + 1) =一 hm vi=a =0+h 十 1=e = 1.2工+ 1 工2 + _az 所以 lim (? + jc)* ho+例2. 5limX*+8/1 X(1+2)【考點(diǎn)】三型不定式極限.【分析】lim 兀 = lim 37 乂x-*+oo px In ( 1+-)1+丄)這是蘭型不定式極限，但是不能直接用洛必達(dá)法則計(jì)算，因?yàn)榉帜负瘮?shù)e角n（+）的導(dǎo)數(shù)OO比其本身還復(fù)雜.因?yàn)閔m 2 若 lim

31、 = x,/(c)工 0,則 lim -y = z珂工一叫)Jjc)2.2 常用等價(jià)無窮小量(工0)(1 )h1 cos x ； 1 (a 0)； ex 1 ； (? + 1)A 1 (A G R);一TT = l+m巳廠1(1+)，所以只要求極限liim無一Hzn(l +_f+8 e In ( l+ )z-+8Z-*+8 L是OO 00型不定式.令/ =丄，則當(dāng)X f + OO時(shí)，t - o+. X所以limX-+oCex丄-訓(xùn)】+“ 卜+ l ln( 1+2 71+2)【評注】數(shù)函數(shù)，arctan x arcs+n H.arccos x洛必達(dá)法則適用于導(dǎo)函數(shù)比函數(shù)本身簡單的函數(shù)的極限計(jì)算.

32、例如，多項(xiàng)式，對 等等.【知識清單填空2】1 函數(shù)極限的運(yùn)算性質(zhì)：下面以X Xq函數(shù)的極限為例，其他極限(工f坊，2 f討，z f + OO ,2 f OO , X i* o)的結(jié)論完全類似. TOC o 1-5 h z 若 lim = A,C 為實(shí)常數(shù)，則 lim CJ(h) = ；若 lim/Q) = A, limg(攵=則 lim /(.z) 土 g(z) = ；LX7()若= A , limgQ) = B,則 lim j(?) g(z) =；工f工)I*%若 limfQ) = A ,g(z) H 0, limg(r) = E 工 0,則 lim 函函=；工f工)工-*工o乂兀 g(H)

33、sin x x 【知識清單答案2】(本答案僅供參考，知識清單多數(shù)問題是開放性的，答案不唯一.)a2. 1 (1)CA；(2)A 士B；(3)AB；(4)害；(5)0.D2. 2 (l)sin z；tan H；ln(+力)；e* 1 等 (2)纟z分；(3)olna； (4)z； (5)血；(6) 疋3.2 6三、稅分旳計(jì)算積分的計(jì)算也是考研的基本計(jì)算，其中重中之重是不定積分的計(jì)算.3.1不定積分與定積分：若F(Q是/(工的一個(gè)原函數(shù)，則原函數(shù)的全體F&) + C稱為不定積分，記作J/XPcLr = F(z) + C兩種不定積分的計(jì)算方法：換元法，分部積分法.第一換元法的基本思路：2(h)dz

34、= 2&)+CJ X(卩(刃)卩(z)dx = y(卩(工)+ C第二換元法的基本思路：若j/(卩/)(山=F()+C,且乞=心 有反函數(shù) t = pl (z),貝j = F(0 (工)+ C.分部積分法的基本思路：u(.z)dv(a?) = |v(x)du(x)其中中工)，譏(?)為可微函數(shù).兩類函數(shù)的不定積分:分式有理函數(shù)，三角有理函數(shù)的不定積分.有理分式積分一定可以用初等函數(shù)表示有理分式R3 = 翳，其中PQ)和Q(Q是多項(xiàng)式.中學(xué)知識告訴我們,r(q)= 只(工)+ 帶:其中Pl (工是多項(xiàng)式，卩2(工是次數(shù)低于Q(&)的多項(xiàng)式.有理分式式纟黑可以表示成一些最 簡有理分式的和(簡稱為有

35、理分式的最簡分解).(i ) Q(&)的一次因子Q a)使得有理分式式纟黑有-型的最簡有理分式；jc a(ii ) QQ的怡重因子a 界使得有理分式有理有分-,式 労 卑 有 ( -兒-vQ(x) o)= a x = a)(- a)型的最簡有理分式；（iii）QQ）的二次因子因子八+ q（其中佃 ）使得有理分式式豁有-性丁十型的最簡有理分式;x 十p乂十qM“ + NiM2x + N2（）g）的的重二次因子X 5 +M其中中-鈿 ）使得有理分式式器有F千左二血+ ”“+舛+ ”型的最簡有理分式;p? 4q 0 時(shí)，x? + px + q =(% + ) + 紐可因此上述三類最簡有理分式可以化歸

36、為1_1x2+a，j+a 戶djr x a 9（工a）m，的形式.前三類顯然可以用初等函數(shù)表示其不定積分，令幾=J （&鳥2）”，則由分部積分法,2瓷一 3%2（加 一1）（工2 +a2）“T 十 2/（加一j）這是遞推公式，h =丄arctan + C,最終能推到結(jié)果. aa3.2定積分的計(jì)算（牛頓-萊布尼茨公式）若 皿 是也，刃上的連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)&）為/（工）在a上的一個(gè)原函數(shù)，則7（刃山=F（b） 一 F（a） - FQ） I例3. 1【解】+丄+ + , -1 + J n + 1 2 + 22n 1 + 代=（一1產(chǎn)利用定積分的定義，可知 原式=lim 齊而一士1求極限lim”f8n8=

37、lim工LOO- ir n=卄廿吐COS 丫 /、:at (z = sin t) sin t 十 cos t=Jsin usm u + cos udu (% = TZ)Tt:數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)二X +1則/Q）在（一8,+）上的所有原函數(shù)為T 0【分析】 當(dāng)龍 $ 0 時(shí)，J fa)dx = J(/ +l)dc = + z + C1；當(dāng) e V 0 時(shí) J*H)d x = J ex d 工=ex + C2.原函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以lim ( + z + Ci ) = lim ( ex + G ) , G o+ 3/x_o-r召+ 工 + C, 心心0| fx&x = f 3e + C 1, x V 0原

38、函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)，一定連續(xù).積分sin | 工一1 | dr = .2 1 2sin | x 1 | dd= sin(l 一 dOddr + I sin(H l)dc = 2(1 cos 1). J 0J oJ 1分段函數(shù)的定積分分段計(jì)算.設(shè) fjc) = ffG 一 兀)+ sin 且當(dāng) 乂 C時(shí)，/Xh) = h,求 | fxAx.3nf3x3P3n【解】/(h)cLz = 7)+ sin 幻山=fG 7t)dz 令 H 7T = ,3*f2*t2k22兀/(x 7t)d.z /(i)dz = I+ I /dt = + I002*f(x 7t) + sin Xj由已知，/(工r2nf2nr2

39、iitC2nI ft)dt = fCt 7r)dk +| sin tAt = | fCt 7r)dz 2 ,令 7T況，fit 7)dz = f(u)du =牙所以 J fr)dx = v HYPERLINK l bookmark10 o Current Document t 2.例3. 5計(jì)算J 0【解】方法一Ajcx + HYPERLINK l bookmark10 o Current Document HYPERLINK l bookmark10 o Current Document x令 h = asin t=F (.丄、J 0 a (sin t + cos t)QCOS t& _ f

40、于 丄(sin t + cos )+ (cos t sin )& Jo 2sin t + cos td(sin 學(xué) cos )=予 + l.ln | 血 t + 沁” | ： sin t + cos t】）=A方法二 + j HYPERLINK l bookmark10 o Current Document a HYPERLINK l bookmark10 o Current Document x= fh (sin t + cos ) sin o sm t + cos t Josin t + cos tcos t_ =f+ (2 (cos sin ) cos 匕2 J osin t + cos

41、 tcos t例3. 6【考點(diǎn)】cos t+ In 1 In 1 f.書dt, ZJ o sin t 十 cos t計(jì)算J工(工2 + 2工+ 2) *分式有理函數(shù)的積分.:【解】 _ 丄一蟲 丁以,所以Z (# + 2力 + 2)J石2心*+工+ 2)業(yè)!ln 1H 1!ln(x2+2+2務(wù) 嚴(yán) + 1 山*ln | 工 | - #lnQ2 + 2工 + 2)齊rctanQ + 1) + C例3. 7計(jì)算dx(2 + cos H)sin x【考點(diǎn)】三角有理函數(shù)的積分.dx解】J (2 + co；)sin x= _(2 + cos；(,一cos弓)令t = c沁小(2 + cos z)sin

42、x(2+o(i+t)(i/) j(l rh+f 占一&= ln(2 + cos 工)+ -ln( 1 一 cos x)吉 In (cos 工 + 1) + C 0o6【評注】常見的三角有理函數(shù)化為分式有理函數(shù)的變換有t = sin xt = cos xt = tan z,# + x =tan 號.三角有理分式的不定積分一定可以用初等函數(shù)表示三角有理分式R(siin工,coo工)，其中 R(u，p)是分式有理分式記t = tan辛，利用三角函數(shù)的萬能公式sin x =? ? ,cos x =+產(chǎn)，以及c山=+產(chǎn)曲可將三角有理分式R (sin h,cos工)的不定積分JiRsin z,cos H)

43、dz化為關(guān)于/的分式有理分式積分占T，打呂匸需山山.若 R( sin x,cos x) = R(sin z,cos x),則變換 t = cos x 會簡單一些;若 R(sin 2, cos x) =一 K(sin a,cos 無)，則變換 = sin jc 會簡單一些； 若 R(一 sin 4 cos 工)=R(sin jc, cos 工)，則變換 t = tan x 會簡單一些.x(sc2 + 2無 + 2) 2x 2Q2 + 2rc + 2)數(shù)學(xué)例3. 8d;rJ o 1 + e（1）直角坐標(biāo)系二重積分化為累次積分如果積分區(qū)域 D = （工，夕）| jc b,a（jc） W 0（攵） ,

44、則jjr爪工）j/（y：,y）drdy = If（j：,：y）dyJJJ a J a（x）D如果積分區(qū)域 D = （久，夕） | c 夕 d,g（y） t sin 0cos Or drJ 0 J 0【考點(diǎn)】反常積分.【分析】J當(dāng)=S缶+ C,所以嗇=In啟= In 2.3.3二重積分的計(jì)算jjf(H，3)d：rdy = J dy Dx = rcos 0 極坐標(biāo)系.,廠$0,00V2兀.y = rsin d若區(qū)域D在極坐標(biāo)下的表達(dá)形式為Dt =| 心 (0) 廠廠廠2(0)池 0 =冊，則/(sjOclrdy = d& fGcos 0,廠 sin 9)rdrJJJ a Jr(0)D1二重積分交換

45、積分次序：如果積分區(qū)域D = a 工 b,a(H)W y W 0(工) = (),) I c y d,g(y) W 工 W h(y) ,則4a sin Odsin 0 =與例 3. 10JoL0COSD【考點(diǎn)】【分析】x + jf （:x2 + y ）d.zdy =.函數(shù)的奇偶性在二重積分上的應(yīng)用.積分區(qū)域。=（工,夕）|工2 +b W 1關(guān)于工軸上下對稱，函數(shù)ycos 2關(guān)于變量設(shè)/（）為閉區(qū)間0,1上的連續(xù)函數(shù)，記D = （&,）I* +夕2 1,則積分y為奇函數(shù)，所以JJycos xdxdy =/，0.積分區(qū)域0= （工，夕） |T +護(hù)M 1關(guān)于夕軸左右對稱，函數(shù)工/（/十$2）關(guān)于變

46、量鼻為奇函數(shù)，所以工2 (re2 + J/2 ) dxdy = 0.故Acos x + xf (工？ + y? )d:rdy = 0.DDR苗工Lc J4?例 3. 1100 f(Jcy)d+ Jt呵f(,y)dy在極坐標(biāo)系下的累次積分為【分析】？ = J；dzJ0 fCj：,y）dy+ Jgdzf(.x,y)Ay =/(z,jOdzd;y,D其中積分區(qū)域D = 卜，卅OGW夸,OGW辰u （D）|咼 m,owx 丿便才在極坐標(biāo)系下Q= （廠,0）0 WR .rf嚴(yán)r 后_?所以/ j djr J /(c，Od +J嚴(yán)打f(xyy)dy在極坐標(biāo)系下的累次積分為/ = d0 I /(rcos 0

47、,廠sin 0)廠d廠Jo J 0交換累次積分曲4孟/,&”卄的順序后為J 0 J 0罷ardrlafCr,6d9.aJ arccos-設(shè)函數(shù)/(&)在0,+oo)上連續(xù)，且滿足方程g= e曲+ J /(寺心+b)迪x2+/4z2求 fit）.【考點(diǎn)】二重積分，極坐標(biāo)系，變限積分，微分方程求解.【解】2（0） = 1由于IC /仕心+b）dM =）rdr = 2兀侍）rdr/+/W4/fCt) = e%2 +2寸：/(_|/()= 8 兀圮曲 + 8奴/(/)解方程,/（/） = （4 兀產(chǎn) +C）e 卅代入初始條件，得C = 1,函數(shù)為f（t） = （4 兀 + 1）尹,【評注】此題用到微分

48、方程求解，本書在后面會有相關(guān)章節(jié)，專門討論微分方程求解 問題.數(shù)學(xué)詩陣屢搶數(shù)學(xué)二EBHBHiKIOHffiOIIISHHBHI例 3. 14計(jì)算二重積分J 一dzdj,其中D為由工？+由=1與夕=DI工I圍成的區(qū)域如圖.【考點(diǎn)】二重積分的計(jì)算.【解】積分區(qū)域D關(guān)于y軸左右對稱，函數(shù)丿廠丁關(guān)關(guān)于變量z為偶函 數(shù)，所以I f /-/ L7bdr + 2L d虬兀寧山=2 萬 y j b dy + 2 f （1 3）dy = 2 a/2.JoJ萬【評注】 可以交換積分次序，序丿匸奄山曲=2孑dzj護(hù)如.此時(shí)對變量y的D7J l-x2 例 3. 15求積分J o吋y沖積分LvLbdy麻煩一點(diǎn).【考點(diǎn)】

49、交換積分次序求二重積分.【解】積分求不出來考慮換換分分次序肚尹=J洽抖=乂 尹=詐-1）.例 3. 16求積分 dz.Jo In x【考點(diǎn)】利用二重積分計(jì)算某些特殊的定積分.【解】求不出原函數(shù)所以定積分1詔do不能直接計(jì)算考慮到詔=則X dx = fd&v*In xJo Jo=卜心込 = 土舊=In 2例 3. 17求二重積分（寺+希）血旳,其中D= （2,丿）D【考點(diǎn)】用極坐標(biāo)系求二重積分.jc = rcos 9【解】用極坐標(biāo)系fy = rsin 0sinO、b丿r rArIV_ f2jr /1 + cos 29TJo 2q21 cos 2d * 2甘)d9例 3. 18（2007,數(shù)二）設(shè)

50、二元函數(shù)計(jì)算二重積分/（無夕）曲,其中，D= （Q,y） |工| + | y丨 0)；Ajc3. 3(10)JAx1+*dj?a 十 zZ(a H 0).不定積分的計(jì)算方法(1)換元法.第一換元法的基本思路：若Jy(x)dH = F(&) + C,華()為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，則 J/(x)(r)d工 = .第二換元法的基本思路：若若若() (f)ck = F()+C9且攵=申()有反函數(shù) t =0、(無)，則 J/XhIcLz = .(2)分部積分法：JuKQchQ) =，其中Q),(工)為可微函數(shù).3. 4有理分式積分的不定積分分式有理分式RQ)= 青號，可以寫成R(q) = P(1 + X)+，

51、其中巴(工是多項(xiàng)式, B(Q)是次數(shù)低于g)的多項(xiàng)式.而器可以寫成若干項(xiàng)形如士，一,廠2 - - 2-、”的線性組合，每一項(xiàng)都可以用初等函數(shù)表示.某些無理函數(shù)可以通過變量代換有理化.例如R (/,品工+6 )可以通過變量代換/ = 7ax + b有理化;rGHJ)可以通過變量代換代=心弟壬有理化定積分的性質(zhì) fQ)f= f(H)dH；J aJ b(2)對積分區(qū)間的可加性:VfG R,y(Qdz =函數(shù)的線性性：A,B為任意常數(shù),A/(h)+ Bg(H)dz =保序性：若可積函數(shù)(-)$ g(z),夂6 _a,b,則 yXQdzg(Q)dz； a作為保序性的應(yīng)用，若于(在在匕，上上上可積，則|/

52、(工|在匕，刃上也可積，且1J f(工)ck(4)J| f(jr) I dj：【評注】 只有當(dāng)a V b時(shí)定積分pf(z)d_關(guān)于被積函數(shù)有保序性.(5)估值定理：若可積函數(shù) g 在a,刃上滿足滿于(乂)足M,則W ()cLr W;進(jìn)一步，若函數(shù)g&)在a上上非負(fù)可積，則W jf(z)g(g)cLc W;中值定理：若函數(shù)于(工在a,小上連續(xù)，gQ )在a,刃上取定號且可積，則存在WC (a,b),使| /(Qg&ldz = gQjdLz；J aJ a特別地，g(H)三 1 時(shí)，3 $ G (a,b),使f(j)dH(7)若/(x)在a,a上可積，且是奇函數(shù)，則| f(x)dj =若/(工)在a

53、,a上可積，且是偶函數(shù)，則| J(?)dx = J a變限積分變上限積分分fCOdt若/()在上可積，則變上限積分|定義的函數(shù)在sb上若 g 在匕，刃上連續(xù)，則變上限積分| fCOd定義的函數(shù)在也，門上加)曲=；(2)變下限積分()山=(3)復(fù)合變限積分半 dr冷)-I/(z)dz = a(x)【知識清單答案3】(本答案僅供參考，知識清單多數(shù)問題是開放性的，答案不唯一 )數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二 (DaJ/aicL士土fg(c)dT； ( 2)/(U； (3)f(z)dr; (4)F(q)+C； (5)F(c)+C.丁 a+1x (1)C； (2)工 + C； (3) - + C；ln|x| + C； (4

54、) + C,e=+C；a 十 1In a(5)sin j： + C； cos h + C；(6) tan a* + C； cot h + C；In | csc x cot x | + C； In | sec x + tan 工 | + C；arcsin x + C；arcsin - + C； (9)ln |J X a? |+ C；a(lO)arctan jc + C ； arctan + C. aa3 (1)F(爭(j)+ C；F(T (工)+C；(2) u(x)v(j:)Ju(H)d)()6 (1) ； (2) f f (Dir； (3)A f j();)(i? + B g(H)djr； (

55、4)；$, WJ aJ aJ a一 a) , M(b a) ； m f g(H)dr, M f(c)d(r ；J aJ a/(?) ；/(f) ；(7)0；2 P7(h)(UJ 0()連續(xù)；可導(dǎo)，于(= /&)；(2) 一 /(工)；于(0(工)0(工 一 y(a(c)a().四、微分方程求解可以求解的常微分方程：1變量可分離型方程（/（Z）= /（x） g（y）,-少、=/Q）d工，兩邊積分g（jy）/忠刃花+C就是方程的隱式解，其中c是任意常數(shù).4 2可化成分離變量方程的方程（1）齊次方程y = /（一），令,y = xuy 原方程化為搭=血二厘，為變量可分離型方程./ = y（嚴(yán)嚴(yán)罐）其

56、中a,b,c,d均為常數(shù). 為變量可分離型方程.flaxc_by_ c(r + dy /a +以X_c + d工JC，所以方程y = /（#）可以化為齊次方程，從而可以化y=心霽第鳥），其中a,b,c,d,b,l均為常數(shù)且產(chǎn)工夕.設(shè)說必滿足cocq + by。+ k = 0czo + dyo + / = 0作變量代換:畔尋黑原方程化為為（篇豐可）可以化為變量可 分離型方程.（4） = f（ax +by）,（bH 0）.令“=處+眇，原方程化為=a + bf（u）,為變量可分離型方程.階線性常微分方程求解：獸+= q（Q,其通解為化心）= 討心叫C +4.4高階可降階類型方程1：g 型方程可通過

57、”次積分可以得到通解.4.5高階可降階類型方程2：y = “龍,）型方程，令p= p氣工,方程變成薯=/（&,）,這是一階方程，有可能求解.4.6高階可降階類型方程3：y =心,）型方程，令p=誡 ）=霽則a答=字字=p y原方程化為化為為/帛，這是一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)p和自變量y的一階方程.“階線性常系數(shù)齊次方程等+ 二貯+ 一1粵+ a” y = 0,其中a,，”為實(shí)常數(shù).階階線性常系數(shù)齊次方程的特征方程為F + q；T + . + a” = 0.對于二階齊次線性常系數(shù)常微分方程化+ ay + by = 0,其特征方程為;I? + Ox+b = 0. 特征方程的解也稱為特征值.（1）入，入是特

58、征方程的兩不等實(shí)根，則曲工怡產(chǎn)是二階齊次線性常微分方程的兩個(gè)無關(guān)解；（2）幾=入是特征方程的重根，則出2,_0是二階齊次線性常微分方程的兩個(gè)無關(guān)解；（3） A = ai0是特征方程的一對共輒復(fù)根，則cos似，sin偉是方程的兩個(gè)無關(guān)解.例4. 1（2017，數(shù)一）微分方程$ + 2j + 3y = 0的通解為y =【分析】方程的特征方程為A?+2A + 3 = 0,特征值為一 1 士施i,所以該方程的兩個(gè)線性無關(guān)解為e_xcosWin罷c，微分方程的通解為23BE !誨陣搶數(shù)學(xué)二y = 廠 cos x + C2 e_x sin例4. 2(2016，數(shù)二)以y = x2 = e，和=/為特解的一

59、階非齊次線性微分方程為【分析】由線性常微分方程解的結(jié)構(gòu)可知，一 y2 =工2 e x =一 eJ為齊次方程y + p(j)y = 0的解，所以p(j) 北丄=1.夕2 )1將一個(gè)解y二=jc2代入y y = q(z),解得q(z) = 2.x jC，所以一階線性微分方程為y y = 2z a?II 例4. 3 (2016,數(shù)三)設(shè)函數(shù)/(工)連續(xù)，且滿足f(jc )dk = (jc + 一 1J 0J 0求/(工)【解】這是一道比較綜合的題目，在積分的表面下其本質(zhì)還是微分方程求解問題. 作變量代換u = x t則f(戈=)dz = f /Xu) ( Au) = f /(w)dz,原方程改為 T

60、OC o 1-5 h z J 0J 工J 0f(u)du = x f(t)ck (* tf (z)dz + e_x 一 1J 0J 0J 0等式兩端對x求導(dǎo)，/(無)=J /(Z)df e_x( * )J 0等式兩端再對X求導(dǎo)，f= /(*) +9這是一階線性微分方程，代入求解公式，其通解為/(z) = e( ye-2j +C). 將 = 0 代入(*),/(o)= 1 所以 c=*,y(工)=e* +嚴(yán) 一 * ).【評注】1類似于f(a t)dt =(“)d “的方程是披著積分方程外衣的微分方程，其 J 0J 0特點(diǎn)是含有變限積分可以通過求導(dǎo)化為微分方程.2由積分方程化成的微分方程通常隱含