考研數(shù)學定理公式專項突破匯總

1、第一篇!高等數(shù)學第一章 !函數(shù)!極限!連續(xù) ! ! ! ! !函數(shù) ! ! ! ! ! ! !極限 ! ! ! ! ! ! 連續(xù) ! ! ! ! ! ! ! #第二章 !一元函數(shù)微分學 ! #!導數(shù) 與微分 ! ! ! ! ! ! ! #!導數(shù) 與微分的計 算 ! ! ! ! ! ! #$微分 中值定理 ! ! ! ! ! ! ! #%導數(shù) 的應用 ! ! ! ! ! ! ! !&第三章 !一元函數(shù) 積分學 ! ! ! ! ! ! !%不定 積分 ! ! ! ! ! ! ! !%定積 分 ! ! ! ! ! ! ! (反常 積分 ! ! ! ! ! ! ! (&第四章 !向量代數(shù) 和空間解析

2、幾何數(shù)一# ! ! ! ! (!向量 代數(shù) ! ! ! ! ! ! ! (!空間 解析幾何 ! ! ! ! ! ! ! ()第五章 !多元函數(shù)微分學 ! $(多元 函數(shù)的極限 !連續(xù) !偏導 數(shù)與全微分 ! ! ! ! $(多元 函數(shù)的微分 法 ! ! ! ! ! ! $%極值 與最值 ! ! ! ! ! ! ! #多元 微分在幾何 上的應用數(shù)一# ! ! ! ! ! 第六章 !多元函數(shù) 積分學 ! ! ! ! ! ! 重積 分 ! ! ! ! ! ! ! 曲線 積分數(shù)一# ! ! ! ! ! ! )曲面 積分數(shù)一# ! ! ! ! ! ! )*場論數(shù)一# ! ! ! ! ! ! ! *#多元

3、 函數(shù)積分學 的應用數(shù)一# ! ! ! ! ! *!第七章 !無窮級數(shù)數(shù)一 !數(shù)三# ! ! ! ! ! *$常數(shù) 項級數(shù) ! ! ! ! ! ! ! *$!考研數(shù)學定理公式專項突破冪級 數(shù) ! ! ! ! ! ! ! *% 傅里 葉級數(shù)數(shù)一# ! ! ! ! ! ! % 第八章 !微分方程 與差分方程 ! ! ! ! ! %) 基本 概念 ! ! ! ! ! ! ! %) 一階 微分方程的 求解 ! ! ! ! ! ! %* 可降 階的高階微 分方程的求 解 ! ! ! ! #-$!#$5!#.% = 5-.-$!#$5!#.&% 狄利克雷函數(shù) 6!# = -#&! 為有理數(shù) 時$! 為無理

4、數(shù) 時&$+反函數(shù)# # 定義設(shè)函數(shù)的定義域為 6$ 值域為7$&對于任意的#7$ 在 6$ 上至少可以確定一個! 與對應$且滿足=$!#&如果把 看作自變量$! 看作因變量$ 就可以得 到一個新 的函數(shù)*! = $#&我們稱這個新的函數(shù)!=$#為函數(shù)=$!#的反函數(shù)$而把函數(shù)=$!# 稱為直接函數(shù)&即若可反解出!=$!#= $# # &!# 反函數(shù)的性 質(zhì)在同一坐標平面內(nèi)$直接函數(shù)%$!#與其反函數(shù)!% #的圖形是關(guān)于直線%!對稱的&%+隱函數(shù)若關(guān)系式8!$#%&$對于任意的!#都由該關(guān)系式唯一 確定一個的值$這樣確定的函數(shù)關(guān)系式%!#稱為由方程 8!$#確定的隱函數(shù)&+由參數(shù)方程定義的函數(shù)

5、若參數(shù)方程-!%9#$確定了與!間的函數(shù)關(guān)系$則稱此 %#9# 時的函數(shù)關(guān)系式為由參數(shù)方程確定的函數(shù)&極限一!極限的概念!數(shù)列極限設(shè)-!3.為一數(shù)列$:為一常數(shù)$則43-%56$!#%: 對任意的$ &$存在正整數(shù);&$使得當3&; 時$有)!3+:)$8函數(shù)極限設(shè)函數(shù)$!#的定義域為!$: 為一個常數(shù)$則4!-%56$!#% : 對任意的$&$存在 &$使得當)!)& 時$有)$!# +:)$8類似可定義!4-5$!#%:$!4-5$!#% :8設(shè)函數(shù)$!#在點!& 的某一去心鄰域內(nèi)有定義$: 為一常 數(shù)$則4!-%5!$!#% : 對 任意的$&$存在!&$當&$)!+!& )$!時$有)

6、$!#+:)$8# 函數(shù)左!右極限若存在常數(shù):$對于任意給定的正數(shù)$&$總存在!&$使 得&$!+!& $!時$有)$!#+:)$恒成立$則稱常數(shù):為 $!#當! %!&/ 時的右極限$記為4!-%5!/$!#%:$或$!&/#%:$或$!& /-$,） $-） $!#） $!）$+ $!3）.% 最小值 % 5-.-$,） $-） $!#） $!）$+ $!3）.& !）若$!）在區(qū)間,$-）內(nèi)只有一個極值$則此極大小）值就是$!#在區(qū)間&,$-上的最大小#值 是曲線上不同的兩點,弧(；的長為$ ,當(點沿曲線到達N點! 定義 時,(點處的切線所轉(zhuǎn)過的角為*%,則稱極限N% 115 * 為該

7、曲線在點(處的 *M%o *M 曲率計 算公式曲率(如圖#-！-#所示)&若曲線方程為% $!)，則N% - 士若 曲 線 由 參 數(shù) 方 程 -”%”(99)$給 出$ 則 NI / I=)力+ y # 不)% + .!#!曲率半徑O % N&(#曲率圓在( 點的法線上$凹向這一邊取一點D,使)(6 )%O$則稱6為曲率中心，以6 為圓心O為半徑的圓周稱為曲率圓(如圖 1-2-2 所示).四!導數(shù)的物理應用設(shè)變量！與y之間的函數(shù)關(guān)系y %$!) & $.(.!& )表示 y % $!)在！ % !& 處 隨!的變化率&實際生產(chǎn)生活中除了速度是路程函數(shù)的導數(shù)之外,常用的 還有*一根桿從一端&點

8、算起, &,!段桿的 質(zhì)量為 % (!) ,則桿在點!處的線密度/(!) % .(!) &根導線在0,這段時間內(nèi)通過導線橫截面的電量為 P% Q),則導線在t時刻的電流強度#) % P ) &(3#某單位質(zhì)量的物體從某確定的溫度升高到溫度1時所需的熱量為q1),則物體在溫度1時的比熱C(1) % Q(T)&某力在0 ,時間內(nèi)所做的功R % r)，則t時刻的功 率為R) &五!導數(shù)的經(jīng)濟意義%數(shù)三&!+邊際及相關(guān)概念設(shè)某產(chǎn)品的產(chǎn)量為!單位時所需的總成本為C % C(!)，則 C(! 為總成本函數(shù),設(shè)某產(chǎn)品的銷售量為!單位時的總收入為 R % R),則O!)為總收益函數(shù)，當C!)和O!)可導時，其

9、導 數(shù)C!)和O!)分別稱為邊際成本和邊際收益，記為當(C % C !)和(O % O!)&由以上定義，則總利潤函數(shù)為S! % O!) C!)%邊際利潤為(S % S!) %(R(C %O !) Cf!)(邊 際利潤為邊際收益與邊際成本之差#&+彈性及相關(guān)概念設(shè)！和y是兩個變量,y對！的彈性記為|,當y % y!)可導時$其計算公式為H _ ! 7H! 7!#需求的價格彈性設(shè)某商品的市場需求量為Q$價格為需求函數(shù)P %P（P）可導，則該商品需求對價格的彈性（簡稱需求彈性）為HQ % T 7PHp Q 7p其經(jīng)濟意義是*當價格為p時，若提價（降價）#%，則需求量減少（增加 #hq| .（!# 收

10、益的價格彈性 由彈性的定義$則商品收益對價格的彈性（簡稱收益彈 性# 為EO % t OHp O dp 因為 R% 于是有 g%#7 %# （Q/Pd ）%# + HP，其經(jīng)濟意義是：當價格為p時，若提價（降價）#%，則收益將 增加（減少）H &第三章 ! 一元函數(shù)積分學/不定積分一!原函數(shù)與不定積分的概念及基本性質(zhì)!+原函數(shù)的概念如果對任一! # #$都有8.!#% $!#$或78!#% $!#7!$則稱8!#為$!#在區(qū)間#上的一個原函數(shù)&+不定積分的概念函數(shù)$!#在區(qū)間#上的全體原函數(shù)稱為在區(qū)間#上的不定 積分$記作*$!#7!$即$!#的不定積分就是函數(shù)族8!#/*& 其中 稱為積分號

11、$! 稱為積分變量 $!#稱為被積函數(shù)$ $!#7!稱為被積表達式W ) *AW $記1為這3 個小 區(qū)域 直徑的最大者$若極限4-52 1%& W%#存在,則稱此極限值為函數(shù)$gy$)在區(qū)域4上 的三重 積分 記作:$ (! y D)7A 即6:$(! y D) 7A % 4-1%5& 2 $()W 6W ;W)*AW4W%#其中7。叫體積元素&! 重積 分的存 在定 理!若函數(shù) 在區(qū) 域上 連 續(xù)則 三重 積 分 存在& 三重積 分的性質(zhì)!三重積 分 具有與二 重 積分相似的 性質(zhì)&+物理意義如果$(! y D) 表示某物體在(! y D) 處的體密度 4 是該物體所占有的空間區(qū)域，且f(

12、；H$#在4上連續(xù)，則:$4刃du表示該物體的質(zhì)量&特別地$當$(!$) = #時，：7巴 44 的體積坐標面對稱且函數(shù)有相應奇函性有完全類似的結(jié)論&$#利用變量對稱性若將表示積分域4的方程中的工和y對調(diào)后方程不變，則將 被積分函數(shù)的m和y對調(diào)積分值不變，即:$M$y $s#77 %:$ y $M$s#778 44二三曲線積分數(shù)一）一!第一類曲線積分%對弧長的線積分&!+定義設(shè)L為MOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧$#在L上有界，用 （將L分成3小段.，任取一點）# *w % #$,$+,3# ,作和 2 $）$W*MW，令 A % 5axM# *! , + *3.,當 1 % & W%#時4-52

13、$）W 6W #*MW1%& W%#存在$稱此極限值為$ $ y#在S上的第一類曲線積分（對弧長 的曲線積分#&記為*S$ M$y#7M % 4-1%5& 2$ ）W $6W # *M W &類似地可定義三元函數(shù)$）在空間曲線廠上的第一類 曲線積分*S$ M $ y $ s#7M % 4-115& 2$ ）W $ 6W $2W#*MW8如果積分弧段S是封閉曲線，則相應的曲線積分記為 $ M$y#7M 或 $ M$y$s#7M&SS+性質(zhì)當$）在曲線弧S（2）上連續(xù)時，第一類曲線積分I fC.xy）7s必存在且與積分路徑方向無關(guān)，即* f,y）7s =SS:2B #+計算#直接法% #9#設(shè)$!

14、$#在弧L上有定義且連續(xù)丄方程-% #( 9(d無+ 7ZS% 名師講解【答案】三!兩類曲線積分的關(guān)系平面曲線S上的兩類曲線積分之間有如下聯(lián)系:ldx + Qdy % * (Ic0s%+Qcos&)ds,其中 %! $# $!$# 為有向曲線弧 S在點5)處的切向量的方向角&空間曲線4上的兩類曲線積分之間有如下聯(lián)系:ldx + Qdy % * (Pc0s + Qcos/?+Kc0sy) ds,其中 %(!$, d) $&(.!$ D 2$D為有向曲線弧4在點(!,$)處的切向量的方 向 角 &二占曲面積分數(shù)一)一!第一類曲面積分%對面積的面積分&!+定義設(shè)曲面9是光滑的 $!$D) 在9上有界

15、$ 把9分成3小塊$ 任取()? 6 ? ；# #，作乘積/() 6 , W *5 99/9#+7$等式右端第一項用高斯公式計算$第二項用直接法計算& 9#三!兩類曲面積分的關(guān)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系如下*I7yd.z/P7z7!/Odj：dy7 Io% / Po&/ Ocos2# dS,其中 cos% $ 0s&, os2 是有向曲面 Y 在點Z#處的法向量的方向余弦& 兩類曲面積分之間的聯(lián)系也可以寫成如下的向量形式J7 / 7S / J7 / *7S 或J7 / dS % 7： 3 dS$其中:% (P ,Q,R# ,* % (cos%cos&,cos2)為有向曲面 Y 在點 !$z# 處

16、的單位法向 量 dS %*dS % ddz dzd! d!d# 稱為 有向曲面元$:3 為向量: 在向量* 上的投影&斗一/場論(數(shù)一)一!梯度!+定義設(shè)有一個數(shù)量場2 % 2(!Z# , P(!,Z#是該場內(nèi)一點$ 若存在一個向量$該向量所指方向為2 %2(! $ $ Z#在P( $ $ Z# 處方向?qū)?shù)最大的方向，該向量的大小為2 % U(!Z#在點P 處方向?qū)?shù)的最大值，則該向量稱為數(shù)量場U % U(!ZZ在點 I 的 梯 度 $ 記 為 ()*4&+計算真題再現(xiàn)!(! ) 當 / %/ 6 時 $O % & %()當 0 $/ $+ 6 時 $真題再現(xiàn)!0# 年 數(shù)一 !設(shè)數(shù)列-,3.

17、單調(diào)減少#-m,0#G3 % 2,2!3 % #!#(無界#則冪級數(shù) 2,3!#3 的收斂域 為! !*0 #! & #答案$!三!冪級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì) 冪級數(shù) 2，”!的和函數(shù)mM!在其收斂域#上3%&連續(xù)&性質(zhì)# 冪級數(shù)2，!的和函數(shù)M(!)在其收斂域#上可%&積$并有逐項 積分式6 6 6M!#7! % &2，! 7! % 2 ，!7! % 2& & %&%& &%&，!/# ,! # #&/# 逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑& 性質(zhì)3 冪級數(shù)2，!的和函數(shù)M(!)在其收斂區(qū)間MR,%&O# 內(nèi)可導$且有逐項求導公式M % ( 2，! ) % 2 !# % 2，! # $

18、! I $ O&%&%&%#逐項求導后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑& 性質(zhì)4 設(shè)級數(shù)2，!的收斂半徑為O# ,和函數(shù)為M#(!),%&級數(shù)2-!的收斂半徑為O!,和函數(shù)為M!(!)，令O % mmO,%&O!.則當! # (RO)時,(#)2，! /2-! %M# /M!%&%&(!)(2，!)(2-!)%M#/M!%&%&2，! M(3)若-& / &,% 比.2-! M!%&四!函數(shù)的冪級數(shù)展開式 !+泰勒展開式及麥克勞林展開式 設(shè)$(!) 在! %!& 處任意階可導$則冪級數(shù)63# #2 2& ! 一！& ) % $& a2x+Fy+c2 丿解法分兩種情況*若十%-%2 / &

19、 ,則令D %方程化為 若蟲/ ，則方程組% &有唯一解它是變量可分離方程,由變量可分離方程解法即可求其通解&,2-2-,2! /-2/ ?2 % &%, %&令4 % ! +%,A % +&, 則原方程化為它可由齊次微分方程基本形式% $丿的解法求出通解.在求解變量可 分離 的方程 與 齊 次 微 分方 程 時函 數(shù) 方 程 C %&P7% % & ,或$4% % 4的解也是原微分方程的（常數(shù)） 解在求解的時候不要丟掉&三!一階線性微分方程微分方程/ T(! % q!#稱為一階線性微分方程&它的通解公式是%9+*T!#7!*&Q!#9*T!#7!7!/*上式中$t!7x表示原函數(shù)，且不用再加

20、任意常數(shù). 四!伯努利方程%數(shù)一&微分方程./ T !# %Q!#3 其中 3/&$3 /#稱為伯努利方程&將原方程化為3 /T! 3 % q!&令d#+3$得利用一階線性微分方程求通解，之后再代入d % # 3即得原方程 通解&t! 當3% &或#時此 方程變?yōu)橐?階線性方程 或 變量可分 離 方程8方法中沒給出初始條件故積分i丄d無時，必須討論！ & !&與 !$&五!全微分方程%數(shù)一&全微分方程的形式:M（x）!/N（x）d；y % 0,其中（N有 一階連續(xù)偏導數(shù)且滿足;% （&5!5求解方法：在N % （ 的條件下，一定存在原函數(shù)4!# 使得d %（d +Nd從而方程的通解公式由4$）

21、% C壬 意常數(shù)） 給出，求原函數(shù)4（!，） 的方法有兩種 的定義域事先選定& 由曲線積分中有關(guān)的定理知道，有下述定理*設(shè)6為平面上的一個單聯(lián)通區(qū)域I!#與Q!,)在6上連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導數(shù)， 則原方程為全微分方程的充要條件為能夠通過觀察法找4!，#，或者在與路徑無關(guān)的條件下找4!， # ，或者區(qū)域6為邊平行于坐標軸的矩形，由折線公式法找 4!，# &六!可用簡單的變量代換求解的某些微分方程%數(shù)一&一般來說，如果方程中出現(xiàn)($!# $,! /- /*# $,!2 +)$!)和$)”等形式時，通常做相應的變換(%! , 4 = !+-+ * , 4 % ! + -y2, =和 4 % ! ”

22、等，化為可求解的方程類型&二三可降階的高階微分方程的求解一!4%*&/5 %6&型微分方程3#%$!#的右端僅含有自變量! 只要把3+# 作為新的未知函數(shù) 那么3#%$!# 就是新未知函數(shù)的一階微 分方程&兩邊積分 就得到一個3+#階的微分方程3+# %*$!#7!+*#同理可 得3+2#%*&$!#7!+*# 7!+*2 對上一個積分結(jié)果繼續(xù)求積分$接連積分3次$便得方程3#% $!#的含有3個任意常數(shù)的通解&二!47/5 %648&型方程E % $（!$.的特點是不明顯含有未知函數(shù)，此時$ 把作為未知函數(shù)，而使用變換.%才，于是有7 %!，這樣 將原方程降階為一階方程半% $#這里T為未知

23、函數(shù)，若7!其解存在，則可以求出其通解T % （,*#,然后根據(jù)關(guān)系式 %T求得原方程的通解為 %*!$*# #7!/*!&三!47/5 %448&型方程E%的特點是不明顯含自變量！，此時可以把暫時作為方程的自變量，做變換% T于是7!7!7!7 7!7這樣可將原方程降階為關(guān)于p與的一階微分方程p T % $,7p# ,若其通解存在,則可解出其通解為p% , *#,換回原來的 變量,便有%（ , *#,此為可分離變量的一階微分方程,對 其積分得通解* （#*#）*%+* &U/二階及高于二階的常系數(shù)線性微分方程的求解一!線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理 設(shè)有二階非齊次線性微分方程E/p!#/

24、Q!# % $!#$#所對應的二階齊次線性微分方程E/p!#/Q!# % &8#!+解的線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)#（!）, !（!）, + , ,!）是方程（5）或方程（6）的S個解函 數(shù)，若存在不全為零的S個數(shù)字4 $!+ $M使得2# !#/2! !#/ + /2MM !#% &$則稱# !#$! !#$+$M !#線 性相關(guān)$反之則稱 線性無關(guān)&+解的性質(zhì)與解的結(jié)構(gòu)定理 定理! 如果函數(shù)#!#與!#是方程 #的兩個解$ 那么 % *# !#/*! !#*# $*! 是任意常數(shù)# 也是 #的解$其中*# $*! 是任意常數(shù)& 定理#!如果#!#與!#是方程#的兩個線性無關(guān)的 特解$那么 % *

25、# !#/*! !#*# $*! 是任意常數(shù)# 就是方程 #的通解&推論 !如果# !#$! !#$+ $3!#是3 階齊次線性方程 3#/,# !#3+#/ + /,3+# !#./,3!# %& 的3個線性無關(guān)的解$那么$此方程的通解為 % *# !#/*! !#/ + /*33!#$ 其中*# $*! $+ $*3 為任意常數(shù)&定理$ 設(shè)是二階非齊次線性微分方程(5)的一個 特解$!#是與$# 對應的齊次線性微分方程# 的通解$那么 %!) /B !) 是二階非齊次線性微分方程5) 的通解&推論!若#!)$!)是二階非齊次微分方程5)的任意兩 個解$則# !) + ! !) 是其對應的齊次微分方程 ) 的解&定理+! 設(shè)非齊次線性方程5) 的右端$!) 是兩個函數(shù)之 和$即E/T!) ./Q!) % $# !) /$! !)$而B!)與B !)分別是方程E/T!) ./Q!) % $# !) 與E/T!)./Q!)% $!