滬教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

1、九 年 義 tt R U *八年級(jí)第一學(xué)期（試用本） 上海教育出版社上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有第十六章二次根式第一節(jié)二次根式的概念和性質(zhì) HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 16.1 二次根式216.2最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式 6二次根式的運(yùn)算1016.3二次根式的運(yùn)算10本章小結(jié)20探究活動(dòng)一組二次根式問(wèn)題的探索21第二節(jié)第十七章一元二次方程-元二次方程的概念17一元二次方程的概念.一元二次方程的解法一元二次方程的解法.一元二次方程根的判別式一元二次方程的應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用.本章小結(jié)閱讀材料關(guān)于一元二次方程的求根公式探究活動(dòng)解-個(gè)特殊的方程

2、第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)242427II上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有代教式是用運(yùn)算符號(hào)和括號(hào)把數(shù)或表示教的字母連接而成的式子其實(shí)，就是運(yùn)用符號(hào)構(gòu)成的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.例如：代數(shù)式(a+6)(i-6),表示兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積;代數(shù)式0,得.所以，當(dāng)時(shí)，忌二I有意義.由 2-x0.得 zM2.所以，當(dāng)z2時(shí).7F石有意義.由丄工0以及rHO,可知j與1同號(hào).得x0.JT所以當(dāng)王AU時(shí)、圧有意文.金餐U)因?yàn)椴徽摬抛闶裁磳?shí)數(shù)，都有駿1鷄淳0.所 以，當(dāng)；r是任何實(shí)數(shù)時(shí)、/FF7都有意義.巒誌2 第十六章二次根式系得到了下列等式.現(xiàn)在把這兩個(gè)等式作為二次根式的性質(zhì):上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有a310SV根攥填表

3、的結(jié)果，你認(rèn) 為N與|a有什么樣 的關(guān)承？問(wèn)廁1當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí)與|有什么關(guān)系？試填寫(xiě)下表：一般來(lái)說(shuō)，由小=|“2,得 Q=VW，其中|a|0.利用二 次根式的性質(zhì)1.可知jCT=|a|,所以ia (a0),v;，ai = a = 0 (a = 0).a (a/3 1)=用+1. 所以當(dāng)工=一扭時(shí).原二次根式的值是v/34-l.一節(jié)二次根式的様念和性質(zhì)練習(xí) 16. 1( 1)上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有題i 潢足什么條件時(shí)* F列各式有恿義?-2r；2.求下列二次根式的值:(1)it角形三邊的氏，化簡(jiǎn)：皿一厶我們把以前實(shí)數(shù)運(yùn)算中已經(jīng)得出的兩個(gè)等式也作為二次根式 的性質(zhì)：性質(zhì) 3 Jab=Ji Jb (

4、a O.dO).(a0,fr0).-敷來(lái)說(shuō).知呆二次抿 式工秋開(kāi)方敘是兒個(gè) 因式的耒積.其中有的 因式是丸仝平才式.邢 么這樣杓因式可用它 的非負(fù)平方爪代掙后 移列根號(hào)外6./II與3施相等嗎？為什么將18分解索因數(shù)，得18 = 2X3?.利用二次根式的性質(zhì)3和性 質(zhì)1 可知它們相等./18= J2X3； =QX 您=3 J2.一般地設(shè)a0,A0.那么上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有、乜?jī)叶∠囵B(yǎng)鑿勃什么？P 3X2y/676數(shù)是分式（交分?jǐn)?shù)幾那V 8 V8X2 _ Jal _ ,而使分母變?yōu)橥枞椒絍 式再將分冊(cè)用它的正把二次根式里被開(kāi)方數(shù)所含的完全q卩方因式移到根號(hào)外或平方根代督后移到根號(hào) 外面作新

5、的分母.斤化2：被開(kāi)方數(shù)的分母的過(guò)程，稱為“化簡(jiǎn)二次根式”.二次根式中破開(kāi)方辭I】分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)以及：次根式的性質(zhì)4和性質(zhì)1,町知它通常把形如m y/aa X 0）的式子也叫做二次根式.如3 72, y3,2aTT等也是二次根式.化簡(jiǎn)：次根式:J0).本索給出的二;/:糧式 （或其他代釵式中幷 含字琴的取值都能境 保二次抿式（或其他代 敘式 有盤(pán)艾.6 /90.町知a(=石b: _ II） ax7/ a b Ja ,礦E =濟(jì)7（60）主的戕練習(xí)H乩上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有1.下列馨封需成暫?jiǎn)?？如要戒?需要添加什么錨件？Jin * 五t彩化簡(jiǎn)下列二次根式：frn _ V,H n 厶1) 73

6、2；(3) 丿243.化簡(jiǎn)下列二次根式:最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式1.最簡(jiǎn)二次根式q觀察觀察下列二次根式及其化簡(jiǎn)所得結(jié)果比較毎組兩個(gè)二次根 式里的被開(kāi)方數(shù)前后發(fā)生了什么變化./18 3V2披療方數(shù)中的國(guó)丸是 A分解和歡珂數(shù) 分解焙的W式和因戟./I (60)7 9a可以看到化簡(jiǎn)后的二次根式里被開(kāi)方數(shù)中各因式的指數(shù)都為h被開(kāi)方數(shù)不含分母.被開(kāi)方數(shù)同時(shí)符合上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做量簡(jiǎn)二次根式.如二次根式75亦、+、丿喬匸F萬(wàn)d等都是最簡(jiǎn)二次根式.例題1判斷下列二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式：修 (1)厲強(qiáng)4 ；(4) J3)(心一1.上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有根式.上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有次根式.舔

7、因咎蘿雒方數(shù)含因式2、” .它們的指數(shù)不為J.所以 蘇需二次根式將被開(kāi)方數(shù)分解因式：3(a24-2a4-l) = 3(a4-l)其中因式(a+1)的指數(shù)為2 所以不是最簡(jiǎn)二次 根式.如果一個(gè)二次帳K不 是最簡(jiǎn)二次根貞.那么 可以利用上一節(jié)化簡(jiǎn) 次銀式的方法.把它 化成最簡(jiǎn)二次報(bào)犬.想一想例題1(1)、(3)、(4)中的二次根式能化成最簡(jiǎn)二次根式嗎?例題2將下列二次根式化成啟簡(jiǎn)二次根式：VyT (0)；v(a )(u 十 b亍(abO)；zOX /w + n z .、,、人(加并0. w w解(1由已知二次根式中y0,可知工鼻0/ 4工$=十 6)(“一方)3 + “)= /(a4-6p(a 6

8、) = (“ + ) J a b (a$6N0).練習(xí) 16.2(1)判斷F列二次抿式中.哪些是最簡(jiǎn)二次根式：&號(hào)T日 乜瞻dab、2 /2 I . t-z ub、2 fab (a0)Jab (m0) 、匕/赧 把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，得IT 3 J? / _ = /_ s=zJ： 7 27 7 99當(dāng)u V 0 0時(shí).2 yfijC b 與一y/ub1 是同 峯二次樁貞則。-Z、 (J .我們対道.在多項(xiàng)式中遇到同類項(xiàng)就可以合并.類似地，同上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有創(chuàng)題：成夠緇各式中的同類：次根武土+惡+屆參皆(2) 3 +力 s/xya練習(xí) 16. 2(2)I.下列各組二次根式中，屬同類

9、次根式的是(B)(A) 2再與荷(I)/i匸與庾.(C) 與 /亍y Z/7少2-在瓦篤上、一須中，與血是同類二次根式的是判斷卜列各組中的二次根式是不是同類二次根式.合并下列各式中的同類二次根式:根式的播念和性質(zhì)9Ercigenshi De Yunsuan上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有16.3二次根式的運(yùn)算I.二次根式的加法和減法整式的加減歸結(jié)為合并同類項(xiàng) 減類似.歸結(jié)為合并同類二次根式:次根式的加減同幣式的加分析觀察算式中的四個(gè)二次根式它們不都址最簡(jiǎn)二次根 式.它們之中有沒(méi)有同類二次根式要化成赧簡(jiǎn)二次根式后才能 判斷.根播算式中所舍二次 牴式可知a0由&應(yīng)=2&伍、礫阪七上二送，可知這 個(gè)二次根式

10、是同類二次根式可以將它們合井原式= 2/、/五十5a/i v喬是同粧二次根式的 惟式不施合并.保留在 站果中.a* 十5a * ) /2a + 2 Ja,由此J見(jiàn)二次根式相加誠(chéng)的一般過(guò)程是：先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再把同類二次帳式分 別合并./4 Q(1) 3 7754-(2) I /0. 5 2t . V48解3廂+七一上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有2 (!)彳爲(wèi)+冷6和 y /36j + 6 2x 1 :Z7 4 V jt(3丿50( p g) + /-.7 P_q解(1) y/9/n + yTfiw=彳 X 3 sfm + X 4 J m=2丿加+3、/刃=5 v(2)根式中工0.+

11、vz+6 匡-2e 匡2 yV 45/x=3 転+3 后一2 /r =4 Zr.根式中”一g0/50( pq) + /7 P_q= J2(p-q卄啟乎孕 V I p q)“=5時(shí)喬呂2(p=卩+總M(p-g亍55-.yP_q例腳解不等式：加+腭4拝.解由 2r+Jf4z-J|上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有不辛式兩邊同（* 以一牛區(qū)41,不#號(hào)要 故變方向.12 所以，原不等式的解集是練習(xí) 16.3(1)二次根式的乘法和除法丄問(wèn)題2如圖16-1.將一牛正方形分割成面積分別為$（平方單位）和 2,（平方單位）的兩個(gè)小正方形和兩個(gè)長(zhǎng)方形求圖中每個(gè)長(zhǎng)方形 的面積.分析 圖中每個(gè)長(zhǎng)方形

12、的相鄰兩邊的長(zhǎng)分別足面積為5和2$ 的兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)即厶和v.H-中$o.由此知巻妙 方形的詢積是0屁小繪由二次根式的性質(zhì)3,可得JS -/ 6S 7、 S 7 S V *-上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有二次根式的性質(zhì)3也就是二次根式相乘的法則.即上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有解 /12X 732= 712X32 = 5/X3 XF=vT23） X2X3=23X 2X3 = 8血（2）由根式何可知 /46=-Jab *46= -/a 2，廬=2b 石.（3 ）由根式bc 可知必二0,再由根式4abc可知r 0. s/abc 2 /abc2=2 y/abc abc2 = 2 /0):)Ja+blabQ)

13、. 0./2a3/?=* 3b = Jab = y 3A(3h)2 36(2)由除式JIU?石中v0,可知“0, a/6u2 4- vTOtPv=/ZL= /3X5 V7 5uu V (5uv)!如呆二次抿式相除的 址采是根式.瑯么必須 化成最筒抿式.4矽上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有練習(xí) 16.3(2)1.計(jì)算：_范Tx范莎庾一J晉；(3)質(zhì)乂倉(cāng)十占.計(jì)算：754.(x0),一阿+岡V 5x(3)/-7- 1- (xy0).探索：如果圓的面積與正方形的面積相等那么圓的周氏與正方形周氏之比的比值 是多少？?jī)蓚€(gè)根式相除如例題5(1)屁*悩,可以寫(xiě)為；轉(zhuǎn)化為 屈后再化去根式吐被開(kāi)

14、方數(shù)的分母，所得結(jié)果是v,1把，么中的橫釵稱作 y/3b“分敏線”.橫戰(zhàn)下的代 敏式你作分母”這是 浴用分?jǐn)?shù)和分丸中的 說(shuō)決.族法的件質(zhì)以把代數(shù)式務(wù)和野中分?jǐn)?shù)圾下的式子看作分母，前一個(gè)分母 是根式，后一個(gè)分母是整式這兩個(gè)分母之間有什么關(guān)系？怎樣把 分母中的化為36?吧妲的分?jǐn)?shù)線上、下兩式荷作阿個(gè)敎般熠及根式乘法的法則可得上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有-.， _ _ 、 S，-上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有把分PIOJ根卑去,叫做分母有理化（rationalizing denonu na,tlrsk分些#轡爲(wèi)方法一般是把分產(chǎn)和仆母祁乘以同一個(gè)適 芳的代數(shù)菽囁加規(guī)不含根號(hào).計(jì)亀挖十應(yīng)；（2）a 4- y/a-

15、bi（3）Zazb -r y/2a+2b （a60）.一個(gè)二次A 式）險(xiǎn)以一個(gè)二次根 K 可寫(xiě)成分式的母 K 通過(guò)分母有歿化進(jìn) 行達(dá)算解（1） 72-712(3)由已知 a50.得 “60.a r J a + 厶a = _ _ d + bda 十bJa 4A Jah=J4vcT+6.十 v五+_ 7出一& _ y/ab /abJUa+b) J2 _ v u b v2/2(ab)J2.J2 = T例題7如圖16-2.在面積為2a的正方形A BCD中，截得直 角三角形ABE的而積為%，求BE的長(zhǎng).解 因?yàn)橹狗叫蜛 BCD的血積為2a.所以它的邊長(zhǎng)為忌設(shè) BE=；r.根據(jù)題意.得所以*晉“竽=2矗Q

16、 = 2昭u j/乙-器r上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有= JQq上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有BE=3例題8解下列方程和不等式y(tǒng)3 26x 2j2;3行乂十6再岳工解(1)由昶_2屆x=_2罷、2s/6x= 2/273.A者由用=/3v5x.不等式兩邊同除以2揚(yáng)、632 75/155所以.原不等式的解集為工 一練習(xí) 16.3(3)實(shí)數(shù)的運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)以及運(yùn)算順序規(guī)定，在二次根式運(yùn)算中都適用.忌問(wèn)*3(冷+舟)(金知)=?利用平方差公式.得(vCF+jy) (vCr 心、=工丿觀察上面這個(gè)等式.左邊是兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘， 右邊不含二次根式.兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘.如果它們的積不含有

17、二次根式.找們就說(shuō)這兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式互為有理*_個(gè)*舍不化因式.如、G+jy與后互為右理化因式.石與廟也互為有 代救天* 理化因式.是一的家想一想a +b Vv的有理化因式是什么？.越矽把下列各式分母有理化:(1)73 + 15 .;上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有（4 /；48-18（加刀）（3）已知式中mn,所以U（3還可以這樣解$m ?!(心 _5丫例題1Q計(jì)算:此時(shí)可以相等.(1)1075才+ V 1 + JT*-10旖一14 (質(zhì)十1)10 75(a/54-I)題（2）也可以襄似分式中的通分來(lái)解這樣更為 Nittt(卄/pppr)(工VH?)(x VI +

18、x)(工+ J1+F)-vT+7- ,二（1+莎工一（1+占例題11已知上=二丄二.求6;+2的Q-4-9 /9工3上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有nA 2 T93 9 /9.C 21*.-L tf 亠 W中再址行計(jì)算.這是基 本才決.而把(x-3) 作酸體，用一2吃代入 再計(jì)算，比較向便.2 72/9例題12解不等式:吃；r3V5x. 解 由 72x-373x.得(y3)j：3(吃+石)(/273) (/2+y3)工一3找一 3盡所以.原不等式的解集是x-3 72-3A練習(xí) 16.3(4)1.寫(xiě)出下列各式的有理化因式：2.將下列各式分母有理化:節(jié)二次根式的運(yùn)尊1916上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有飭在數(shù)的

19、學(xué)習(xí)中我們從整數(shù)到分?jǐn)?shù)（小數(shù)幾再到無(wú)理數(shù)，逐步擴(kuò)大r對(duì)于數(shù)的認(rèn) 識(shí)：從數(shù)的加減到乘除再到乘方和開(kāi)方，逐步完善了對(duì)于數(shù)的購(gòu)本運(yùn)算的認(rèn)識(shí)我們 又運(yùn)用字母表嚇數(shù)的思想.把對(duì)于數(shù)及其運(yùn)算的研究.匕升到關(guān)于式及其運(yùn)算的研充層面.更深入地探索數(shù)及其運(yùn)算的性質(zhì)和規(guī)律數(shù)是研究式的墓礎(chǔ)式是數(shù)的低念和運(yùn)算的發(fā)展學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)及其運(yùn)尊以,ci特別 是掌握了數(shù)的開(kāi)方運(yùn)算我們對(duì)干式的學(xué)習(xí)，自然地就從整式 分式進(jìn)入到根式本臨 學(xué)習(xí)的內(nèi)容是二次根式主要是二次根式的性質(zhì)及鈦加 減、乘、除運(yùn)算涉及別垠簡(jiǎn)二 次根式.同類二次根式、有理化因式的概念其中掌握二次根式的運(yùn)算是匝點(diǎn)珅解次根式的性質(zhì)卮關(guān)縫.把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式不僅是簡(jiǎn)明

20、喪達(dá)的需要而11是研究那些表示形 式不同但實(shí)質(zhì)_樣的二次根式的需要明確了同類二次根式和有理化因式的意嚴(yán)，那 么.實(shí)施二次根式的加減運(yùn)算歸結(jié)為合并同類二次根式；實(shí)施二次根式的除法運(yùn)算: 歸結(jié)為分母有理化從二次根式運(yùn)算的全過(guò)程來(lái)行就是按照一定的法則把二次根式 的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為類似于整式 分式的運(yùn)算體現(xiàn)化1的數(shù)學(xué)思想.本車的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖如卜-：一一!有郎化因式和分母科理化I1_城筒二次帳武同類二次糧式1疝式的加減 一1混合運(yùn)X jiI二次痕式的乘除I：16上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有1y/2 1-桎一 e 11+2一1(1+“2) (7J 1) -._ 1挖一打2-1 1173-72_ 俗,1 +施72+7

21、32-1-3-2 71 十v 3 v2 一v3 一 111一 1十1_V2-1 , 73-72,A731+蠢2+73 73+A2-1 卜 3-24一3=血一i+再一血+yj11I1 1 1 11一z口十一-1+72何丄/T廠JZ 十 J3y/71+ / ” + 15足止施?。?）觀察并填空:1拆一1佰一173-11+73(1 +53 (/3 1)312 *1173 1 ./5_/3 _1 | /5 /3陽(yáng)11+73#+753-1532 2 2 1十1十1-_用一1.11+73站+松75+#3-1 +5-3 +F=T73-1 , 75-73 , /7-T5 77-12 2 2 2=5是正整數(shù)).

22、(3)根據(jù)(1),(2)的歸納.寫(xiě)出下式的計(jì)算結(jié)果再驗(yàn)算: 1,1. 1 . 1-I , I” ”i 一 ”，1+V8 78+/15- /15-f-y/22 慫+ 何驗(yàn)算:上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有J vn + 扭 m_/2 加一1 +通過(guò)一元一次方程（組）的學(xué)習(xí)，我們體會(huì)到，列方程、解方程，是尋找e 知由與未知量間尋量關(guān)系并探求.未知董的重要方法.看下面這幅群假対戲圖：一群猴子在林中歡閹, 不疲倦 不煩_戲5.有數(shù)壁為總數(shù)N分乏一再平方的 在樹(shù)枝上不停地蹦跳；還有12只猴子摘 一邊啼叫一邊亂拋.樹(shù)枝揺果適地，林中猴子共多少？這是古印度的一道有趣的數(shù)學(xué)題炸采用X勢(shì)薛中擔(dān)子

23、的總 委員會(huì)版權(quán)所有 8 /題歸結(jié)為解這個(gè)方程，本章 就來(lái)探腹這一類方程的解 法.，你能求出猴子的總數(shù)嗎？Yiyuonercifan gchengDe Gainian-元二次方程的概念上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有17.1 一元二次方程的概念我們知道“含有未知數(shù)的等式”叫做方程運(yùn)用等式性質(zhì)和數(shù) 的運(yùn)算性質(zhì)町以得到_元_次方程的解法任此庭礎(chǔ)上可以解 有關(guān)次方:程組的問(wèn)題以及一些實(shí)際問(wèn)題但是由實(shí)際何題列出 的方程不一定是-元一次方程 問(wèn)題1一塊長(zhǎng)方形緣地的面積為1 200平方米并且長(zhǎng)比寬多10那么長(zhǎng)和寅:各為務(wù)少米？分析設(shè)這塊長(zhǎng)方形綠地的寬為7米.可知它的長(zhǎng)就是10)米.閃為綠地面積為1 200平方米.

24、所以 不(丁 + 10= 1 200.去括號(hào)得F十10才=1 200觀察上面的毎式，其中有一個(gè)用字母T表示的未知數(shù)，可知它 是_個(gè)_元方程；方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式，這樣的方程 是_個(gè)整式方程.任這個(gè)整式方程中，未知數(shù)的最高次數(shù)是求 出這個(gè)方程中的未知數(shù)X的值就可以求得長(zhǎng)方形綠地的寬.現(xiàn)在.我們來(lái)研究這-類型的方程只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最髙次數(shù)是2的整式方程叫做 元二次方程(quadratic equation with one unknown).例如，x2 - 16 = 0. 2$ + 3y + 1 二 0, 3F _ 2工=0,亠4#=32.-.r； 2 = 5才等都是一元二次方

25、程 方程z： + 10_r=l 200,經(jīng)過(guò)移項(xiàng)可以化成1-lOx1 200 = 0.元二次方程鄙可以化成卜處+卞=0任何-個(gè)關(guān)于的形項(xiàng)皿數(shù)項(xiàng)和這種闿式簡(jiǎn)稱-元二次方程的一般式癌癒曾叫做二次 堆：次頂系數(shù)*上叫做-次項(xiàng)*好堀決騷系數(shù)叫做常上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有fiHLli把卜列兀二次方程化成般式并寫(xiě)出方程中的各上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有丨： / rr$址鄱翁V 解料Wfe括號(hào).得2卡一 2工=3工一耳, 化簡(jiǎn)得 2jt2 5工 + 4=0.參修可知方程中的二次項(xiàng)是2p.二次項(xiàng)的系數(shù)是2； 次項(xiàng)是 5.r 次項(xiàng)的系數(shù)足一5;常數(shù)項(xiàng)是I.睿培？，耳“養(yǎng)弼EI2 + 3H+n-丄2於圭肚0？胃.第二

26、節(jié)一元二次方程的解法上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有未知It為JT的一元二 次方後的兩個(gè)根通常 ffl 4 表示.所以原方程的根是上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有修您2 無(wú)二次方程的解法特殊的一元二次方程的解法我們從特殊形式的一元二次方程著手.討論解一元二次方程 的問(wèn)題.F問(wèn)通1怎樣解方程疋=4?分析 川=4是一元二次方程，它表達(dá)的竽凰關(guān)系是未知數(shù)丄 的平方等于4.根據(jù)平方根的意義.可知.r是4的平方根.所以.解 方程+ = 4就是求4的平方根.由此可見(jiàn)，這個(gè)方程有兩個(gè)實(shí) 數(shù)根.方程P=4的解迭如下：因?yàn)镮的平方根是2,所以方程土 = 4的根是像這樣解一元二次方程的方法叫做開(kāi)平方法.對(duì)于_元二次方程工:d.如

27、果那么就可以用開(kāi)平方 法求它的根.當(dāng)d0時(shí).方程冇兩個(gè)不相等的根：口=屈.孔= 一宙;當(dāng)d = 0時(shí)得j-2=0.這時(shí)就說(shuō)方程有兩個(gè)相等的根，記作： 門(mén)=#2=0例題用開(kāi)平方法解下列方程:9才2 4=0；2.r+ = 0. 解(1)移項(xiàng).得 兩邊同除以9.得利用開(kāi)平方法.得(2)移項(xiàng)，得 2, = 5.上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有 -唸惣因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)的平方不可能是負(fù)數(shù)，所以原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根：二次方程.其-般來(lái)說(shuō).解形如a.r?+c = O(其中aHO)的一 步驟是：(1)通過(guò)移項(xiàng)、兩邊同除以宀把原方程變形為X a(2)根據(jù)平方根的盤(pán)義可知當(dāng)“、c異號(hào)時(shí).-0,方程的根是 當(dāng)心同號(hào)時(shí).-J (x

28、1)(2x4-5) =0. 解(1)原方程可變形為把上面方程的左邊分解因式，方程化為 (乂一5)(工+1) =0. 得X5=0 或 z+l = o.解得工=5或x= 1.所以，原方程的根是巧=5,工2 = 】. = 0, (2jt+5)(x4-1)=0.2z+5 = 0或 x+l = 0.解得_ _ 52或-r= 1.先將這個(gè)方程變形.化 成右邊為0的形式I再 看左邊.可用十字楓栗 法分解因式.現(xiàn)察這牛才程.它的右 邊為o,左邊可用提取 公因式法令解因式.0所以，原方程的根是4 -練習(xí) 17.2(2)1)( jt+ 15)=0;上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有 l. t口答)說(shuō)彗圖方程的椒：(14 )

29、 012)=0(xaXx+AJO；(5) 12F+8_r=(h用因式分解法解下列方程:P-x-2 = 0jr28t+12 = 0;(3) jz + 2 = 3xt用因式分解法解下列方程：(1) 13= + 36!(3) 3j(2x 5) 4(5 2x)=0；下列方程的解法對(duì)不對(duì)？為什么？(1) x(3x+2)-6(3x+2)=0.解：(3x+2Xx-6)=0.3x+2=0 或 x6=0.(4)(2) (xF3)(jr10) 解：z+3= 1 或 JT- 解得x=-2或；)=()10=1IL解得工工二所以才】=所以Xi2. 一般的一元二次方程的解法在上一節(jié)的例題4(1)中，采用因式分解法解方程土

30、+8工=0是 比較簡(jiǎn)便的.試冋：能用開(kāi)平方法解這個(gè)方程嗎？分析觀察方程的左邊”+8工,它與(工+仍？的展開(kāi)式相差一 個(gè)常數(shù)16.如果在方程的兩邊同加上6,那么方程卡+8工=0可化 成(x+4)I = 16.再利用開(kāi)平方法，得工+4 = 4或工+4 = _4.所以原方程的根是x,=0,xt = 一&在上面解方程的過(guò)程中，利用了兩數(shù)和(差)的平方公式把工+& 配成(x+4)1時(shí).實(shí)際上就楚在方程兩邊同加上“一次項(xiàng)系數(shù)一響辭 方”.像這樣通過(guò)添項(xiàng)(或拆項(xiàng))配完全平方式的過(guò)程簡(jiǎn)稱翳越-般來(lái)說(shuō)方程F + pz = 0的兩邊同姒) = (的形式，這時(shí)方程左邊辱爭(zhēng)工的完全平方式，右上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有例

31、題7解尸列方程：上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有Q竈巒兩邊同加卜-“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”，即（2）4j 4 1 2.t?t7 = o解14方程廣 0 皆利用開(kāi)平方法，協(xié)工一=碼 或 X1 = 75. 解得x=l+7S 或 x=l75.所以原方程的根是4 = 1+島,耳=1 一岳（2）原方程可變形為4T2 +12工=7.兩邊同除以4,得再在購(gòu)邊同加上“_次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”，即（多），方程町 化為（工+汀=4.利用開(kāi)平方法，得jr-4= 22或.3 十=解得1T* =2或7工=2*所以原方程的根足4 =1石57像上面這樣解一元二次方程的方法叫做配方法.對(duì)于_般的一 元二次方程，都可以用配方法來(lái)解.解方

32、程aj* 4-6x+c=O（a?tO）的一般步驟足：（1）通過(guò)移項(xiàng)、兩邊同除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將原方程變形為 ：/+虹+=03 E+Pz=q（P、q是已知數(shù)）的形式.0）,把c移到尋式右邊.（2通過(guò)方程兩邊同加上*一次項(xiàng)系數(shù)_半的平方”，將方程 再兩邊同陽(yáng)以s得 P + r=g的左邊配成一個(gè)關(guān)于才的完全平方式，方程化為”+乂=_子（+）r纖護(hù)夠（3）當(dāng)（壬）+gA時(shí)，再利用開(kāi)平方法解方程；當(dāng)（2）Z+?巒戀時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根.rn pi1 fi /上海市教育委員會(huì)版權(quán)兩邊同除以2.得兩邊同加上利用開(kāi)平方法，得_0.（1）當(dāng)夕一心豪0時(shí)，與半鼻0.4a/滬一4如,y/ff 4ac當(dāng) a0 時(shí) 4a

33、f = 2a |當(dāng) a V 0 時(shí)，yia1 =利用開(kāi)平方法，得1 b. /ft2 4ac七-士則=誥士異,（想一想，為什么?）因此總有Ilf 4ac 土 Qwi_4ac士一nn6 士 4ar即工2Z（2）當(dāng)l/-4ac0時(shí)?21C 0.這時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取 任何值都不能使方程+纖=訂件左右兩邊的值相等，所以 原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.由上述討論可以得到：兀二次方程 aF + &r+c=O（aHO），當(dāng) 4ac0 時(shí). 它有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：_ 一6+ y/b2 4acb jD 4dc2a2a*在求根公式中，如果，_4ac = 0,那么4 =上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有-i兒丨巧丨肓Tn：1.在解-元二次方程時(shí)

34、，只要把方程化為一般式 aF+hr+c=O (aO) 如果護(hù)一4心),杷a、6、c的值代入求根公式就可以求得孕程的 實(shí)數(shù)根：如果b2-4ac0.那么原方程無(wú)實(shí)數(shù)根這種解一元二次 方程的方法稱為公式法例題9用公式法解下列方程:5x2+6t+1=0；解(1)原方程中，a = 5,6=6,c=l.6* 4ac= 6 4X5X1 = 16.6 /16_ 64工=2X510*即x=-| 或 z=_l.所以，原方程的根是xl = -y.xJ = -l.方ft時(shí).蟲(chóng)帳攜方程的 一般丸亂a、b、c的 ci2所以原方程的根是.門(mén)=血+25=短一2.用公式法解下列方程:/2(x2 1)=工(工一2)十 1(1)把

35、原方程化成一般式得工22 75工+5 = 0其中,a = 1.6= 2 /5 tc5廬上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有所以，原方程的根是4上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有（釣 12+2 工一剛T=0. _J2孔_ -S+1-l)(V2 + l)= -(72+1)*= -3-2 雄其中慮一1.竊帝昭-4處=2好4（雄-W+l）= 8.z = 一2士再=-22j2_ 一1 士施2（72-1） 2（72-1） *工=1 或工=3 2網(wǎng)所以原方程的根是工L1 工2=3 2吃練習(xí) 17.2(4)求下列方程中，一4ar的值:(2) 3x2 + fcr = 11吃”=屁+2憶(2) F 2 站才一4 =0$(42F+3工+

36、10 = 8工一1.(2) 9P 12乂+4 = 0：4) y-A=-lP5丁+2 = 0：6r 5 = 3x?用公式法解F列方程：2xz+x-6 = o；jx2 x=6用公式法解下列方程：(1)X24-2 = 2,/2j-jx(x5) = (2x3)1 6解一元二次方程，公式法是通用的方法，它是利用配方法總結(jié) 出來(lái)的.有一些特殊的一元二次方程，采用開(kāi)平方法或因式分解法 顯得比較簡(jiǎn)便.例題們用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1) x2 4-(v3+l)x=0；（攵 + 3）（工一5） = 1 ；工（工一6） = 2（工一8）；（r+3）2 = 1.4（1把原方程的左邊分解因式方程化為得上海市教育委員會(huì)

37、版權(quán)所有 丸分解進(jìn)鳥(niǎo)紙所以，原方程的根是勸=0,比=一丁3(2)原方程可變形為x1 一2x16 = 0.方程的右邊是1而不是 本.先折方程螯理!后再 觀察，可JL不宜用因式 分解法，所以逸擇公式 法.其中,0=1,6=2,c= 16.624ac=( 2)1 4X( 16) = 4 + 64 = 68.午呼吟J士皿才=1+丿17 或 x=i-/n. 所以，原方程的根是Tl = l+/17.x2 = l-vT7. (3)原方程可變形為解一元二次方1時(shí).如 能注老方法的逸擇.解 題過(guò)程可銘金簡(jiǎn)便些.所以，原方程的根是q=4 = 4.(4)= 1.4方法一(用開(kāi)平方法)：原方程可變形為 (工+3嚴(yán)=4

38、.利用開(kāi)平方法得工+3=2或z+3=_2. 解得x=l或工=一5.所以，原方程的根是工1 = 一1，工2 = 一5. 方法二(用因式分解法)： 原方程可變形為(x+3)x 4 = 0.把方程左邊分解因式方程化為(工 + 3)十2(工+3) 2 = 0,得工+5=0 或 J： 4-1=0.解得工=一5或工=_1.所以，原方程的根是4 = 一5,孔=一1.例題12解下列方程：(1) x(x4)=2(t_ 4) t解(1)由一x(x4)=2(x4) 整理.得2(z4)+jt(z4)把方程左邊分解因式方程化為2(j上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有參紐得b1 4a其中，“ = 2.6= 3 c= 4.4X2X(

39、-3土屈一 3士局1X24“吐妙或午屮所以，原方程的根是,ri = 3t/4T-Tn例題用計(jì)算器求2工_1=0的近似根(楷確到o. 1). 解原方程中,tl = l,6=-2,c=-l.A用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1)y(xH-2), = 4j(3) (2x3)2 =xz j (1)求當(dāng)工為何值時(shí),二次式3x2 6的值等于21；求當(dāng)x為何值時(shí).二次式3x2-6的值與x-2的值相等. 用計(jì)算器求下列方程的近似根(精確到o. 1):4a0,由求根公式.得_2 /4 4X1X( 1JX 2X1用計(jì)算器計(jì)算.得原方程的根是練習(xí) 17.2(5)17. 3 元二次方程根的判別式上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有總當(dāng)

40、-4ac0時(shí)方程的根是鎊W-b+J護(hù)一總2a當(dāng)&2-4ac=0時(shí)，方程的根是4=?。寒?dāng)療_仏的 根的判別式通常用符號(hào)“”(讀作/delta/)來(lái)表示記作卜 4ac.利用根的判別式，不必解方程，就可以判斷一個(gè)一兀二次方程 是否有實(shí)數(shù)根以及有實(shí)數(shù)根時(shí)兩根是否相等一元二次方程 aF+bz+c=O (aMO),當(dāng)A = -4ac0時(shí).方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=F 4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=F4acV0時(shí).方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.匕述判斷反過(guò)來(lái)說(shuō)，也是止確的即當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)A。； 當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)仏二。； 當(dāng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí)0例題1不解方程，判別下列方程的根的情況:(

41、1) 4x!-5.r-3 = 0i2工+ = 2辰鈕矽解岡為=(-5)*-IX 4X03)=發(fā)鬱隊(duì) 所以此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根密戀因?yàn)?ii = 4s-4X2X3-8上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有（3）把原方程變形為MR 關(guān)于J的方程才+（加一,“=0（其中m是實(shí)數(shù)） 實(shí)數(shù)根嗎？為什么？解 =（ 1 ）3 4 1 （ m）=皿+ 21 + 1 =（加 + 1？.因?yàn)閙是實(shí)數(shù).所以（加+ l）2o.即AN0.所以此方程一定有實(shí)數(shù)根.練習(xí) 17.3(1)1不解方程判斯下列方程的根的情況:了F 3才+9=0(3) 0 2F+0 6工+0 05 =0$5) 9工2 = 4(3工一1)；2.關(guān)于的方程-1

42、-（ w+1 ）x4-1 =0（其中刃H0一定有實(shí)數(shù)根嗎？為什么？例題3當(dāng)力取何值時(shí)，關(guān)于工的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根？解 =（丹一2）z_4（扌腫_）=_4加+&（1當(dāng)一4加+80,即m2時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）當(dāng)一4加+ 8 = 0.即加=2時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.3）當(dāng)一4力+82時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.例題4當(dāng)怡為何值時(shí).關(guān)于z的方程X1 4 化r+ (2A 1 尸=解 = ( _4上)2 _4(2/r1)上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有當(dāng)16/?4彳0,即AN ；時(shí)方程有實(shí)數(shù)根這時(shí)方程的根是4上士 /16點(diǎn)一4工=2，勸=2A+ Jhk_

43、 19工2 = 2k _ /IA _ 1.例題5已知關(guān)于丄的方程4F （& + 2）z + A=l有兩個(gè)相等 的實(shí)數(shù)根求點(diǎn)的值及這時(shí)方程的根解把原方程變形為心一（斤+ 2）工+怡一1=0. =（A4-2）24 4 Ct1）=&2+4怡+4 16人十16 =/一12 卄 20.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根所以由疋_12&+20=0,得（&一 2）（怡一10）=0.解得k=2或K10.把k = 2代入原方程得4工一4工+1=0即（2工一1 ）2 =0 這時(shí)原方程的根是4 =業(yè)=把4 = 10代入原方程得4F 12+9 = 0即（2 工一3）2=0.這時(shí)原方程的根是工|=竝=豆練習(xí) 17.3（2）pr

44、*當(dāng)k取何值時(shí)，關(guān)于X的方程J 虹z+1+h = 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？已知關(guān)于H的方程 + 2+（-2）2=.當(dāng)點(diǎn)取何值時(shí)此方程參修(3)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？ 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？ 沒(méi)有實(shí)數(shù)根？第三節(jié)一元二次方程的應(yīng)用上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有-元二次方程的應(yīng)用二次三項(xiàng)式的因式分解我們?cè)?jīng)在有理數(shù)范圍內(nèi)討論過(guò)多項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題例 如下列二次多項(xiàng)式的因式分解：F-4 = (z+2)(（2）+4工一12 = （工+6）（才一2）；（3）2F十4工一6 = 2（工2 + 2-3=2（工+3）（乂一1）.但是對(duì)于有些二次多項(xiàng)式，如x2 -3這樣簡(jiǎn)單的二次二項(xiàng) 式在有理數(shù)范圍內(nèi)卻不能分解因式.而在實(shí)

45、數(shù)范圍內(nèi).這個(gè)二次二項(xiàng)式可以分解因式：當(dāng)加、刃為正敏時(shí).M.T rr= （+ 廟H 7務(wù)工一3 =云-（箱）?=（上+松）（一血）.又如9#一5 = （3工）2 （島卩=（3乂+站”3才一阿）. 現(xiàn)在我們?cè)趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)討論二次三項(xiàng)式的因式分解. 在上面（2）、（3兩例中，可以看出衛(wèi)+ 4x 12 = 0的兩根是 町=一6.匕=2；2云+4工_6=0的兩根是百=_3,總=1.在二次三頊?zhǔn)降姆纸?式中兩個(gè)一次式（一 次項(xiàng)廉救為1）的常釵 項(xiàng)分別是這小二次三 項(xiàng)式相應(yīng)方程的實(shí)4t 根的相反敏般來(lái)說(shuō).如果二次三項(xiàng)式ax2 4-6x + c（a#0）通過(guò)因式分 解.得ax2+6x+c=a（jxi）（xx2

46、）那么蟲(chóng)才+力廠+c = 0,工：+6工2+e = 0所以，工=工】，工=工？都是 一兀二次方程aj2 +.”+ = 0的根.思考對(duì)二次三項(xiàng)式aF+6z+r（aH0）進(jìn)行因式分解.是否可以通 過(guò)求一元二次方程a.rJ4-6x+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根來(lái)解決？如果一元二次方程ajr2 +6；r + c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根:2a那么寫(xiě)出代數(shù)式a（xaxX）（x工2）門(mén)）（.一）得=aF （.口 + 工2）r+因?yàn)閬V上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有L.UT 廠=_6+ yTr -上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有上述等式逆過(guò)來(lái)就是把a(bǔ)F+bz+c分解因式.因此，把二次三項(xiàng)式a.T: +處+&工0）分解因式時(shí).如果夕_4“二（）

47、，那么先用公式醫(yī)求出方程a”+/u + c = o （aHO）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根心、衛(wèi).再寫(xiě)出分解式“廠+方丁+c=a（H才】）（才_(tái)包）$如果/-4c0,那么方程a+bx-hc = OaQ）沒(méi)有實(shí)數(shù) 根,ajc1+bx+c在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式.例題1分解因式：（1）2疋一9z+7；- = 0看柞咲于工越鞫匕二次方稗*上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有*y 丿 v 口jmi頭釵TK足1-想一想如果把2a2-3xy-y看作關(guān)于y的二次二項(xiàng)式那么分解因 式的結(jié)果是什么？練習(xí) 17.4(1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1) *一8 =4X2 7 =分+彳工一28=x2-llx-F30 =在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1)

48、 x*+4z+l；(3) 3jtj 6丁+1；在實(shí)數(shù)范國(guó)內(nèi)分解因式:(1) X2 2axu2;(2) 2x2 +3r一11(4) 3.(2) 2F 8zy+5y.2.實(shí)際問(wèn)題現(xiàn)在我們來(lái)解決17. 1節(jié)開(kāi)頭提出的問(wèn)題：一塊長(zhǎng)方形綠地的面積為1 200平方米，并且長(zhǎng)比寬多10米,那么長(zhǎng)和寬各為多少米？解：設(shè)這塊長(zhǎng)方形綠地的寬為米，根據(jù)題意得方程x(x+10) = 1 200.整理.得 即F + lOz-l 200 = 0.(j30)(x+40=0.x =30皿=40 解得負(fù)數(shù)根不符合實(shí)際意義應(yīng)舍去所以工+10=40答僅地的怏和寬分別是40米W 30.上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有

49、籟柵欄國(guó)一個(gè)所占地面為長(zhǎng)方形的臨時(shí)倉(cāng)庫(kù)，鐵柵欄只圍二邊按下列要求分別求長(zhǎng)方形的兩條鄰邊的長(zhǎng)長(zhǎng)方形的面積是】152平方米；長(zhǎng)方形的面積是1 800平方米；長(zhǎng)方形的面積是2000平方米 分析先看第(1)題根據(jù)題意町以得到等式長(zhǎng)方形面積=1 152二_,|一！ ：I1 一邊長(zhǎng)|X|另一邊長(zhǎng)|知數(shù)丄:1202第(2),(3)題類似.鶴 設(shè)長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)為J米，則另_條邊氏為(120_2云米.根據(jù)題意,得方程(120 2工)工=1 152.整理得F 60工+576 = 0.解得4 = 12,帀= 48.經(jīng)檢驗(yàn).xi .X：都符合實(shí)際意義當(dāng)工=12 時(shí),1202x=96,當(dāng) j=48 時(shí).1202x=2

50、4.答：長(zhǎng)方形相鄰兩邊的氏分別是96米和12米.或24米和 48米.根據(jù)題意.得方程(120 2乂)工=1 800.整理.得X860 x+900 = 0.解得J：i=J：2 = 3O.經(jīng)檢驗(yàn).#=30符合實(shí)際意義當(dāng) x=30 時(shí),1202x=60.答；長(zhǎng)方形相鄰購(gòu)邊的氏分別是30米和60米根據(jù)題意.得方程 (1202j).t = 2 000.樂(lè)理*得H一GtXr+l 000=0* 晶因?yàn)锳= 400 數(shù)開(kāi)平方也可以實(shí)施.這樣，不僅給出了現(xiàn)在所見(jiàn)的關(guān)于一元二次方程口+方丫丁鋸辭工 0）的求根公式，而且在數(shù)的范圍擴(kuò)大以后.無(wú)論$（）還是A0,方程總是右撫.鄙5閱讀材料49禪磊動(dòng)解-個(gè)特殊的方程解方

51、程：，一2岳12+2工一渥+1=0.分析：這是_個(gè)一元三次方程我們沒(méi)有學(xué)過(guò)它的解法注意到這個(gè)方程的系數(shù)中的住 如果用y代換挖.那么原方程變成x32刃*2 +曠一y+1 =0如果把y看作“未知數(shù)把丿看作“已知數(shù)”那么上述方程就是一個(gè)關(guān)于$的一元二次 方程，即jry2 （2xz + 1 ）y + （.r3 + 1） = 0.嘗試：（1）解關(guān)于y的方程工y （2? + 1），+（工“ + 1） = 0（方程的根用含r的式十表 示）（2）由（1）中關(guān)于y的方程的根的表達(dá)式還$的本來(lái)面目，即用施橋換y就得到兩個(gè) 關(guān)于工的方程，再幣所得的這兩個(gè)方程（3）寫(xiě)出原方程的根（即上述兩個(gè)關(guān)于工的方程的根）反思：對(duì)

52、同一事物從不同的角度進(jìn)行觀察和分析.往往會(huì)有不同的認(rèn)識(shí).解尊卿労 程的過(guò)程，給予我們有益的啟示你在本題的活動(dòng)經(jīng)歷中，有什么體會(huì)？ 啟狐Q一譌J的多個(gè)數(shù)量.而且這些數(shù)量之間相互聯(lián)系、相互影響.例如在汽車勻速行駛過(guò)程中，如果車速”不變，那么行駛的路程S隨著行車時(shí)間/的變化而變化，關(guān)系 式$=M反映了路程隨時(shí)間變化而變化的規(guī)律.又如空中一定范圍內(nèi)的氣溫隨 著距地面高度的増加而逹漸降低，而且也有一定的規(guī)律.這樣的爭(zhēng)例有很多.世界上的事物是處在運(yùn)動(dòng)變化之中的.對(duì)數(shù)量問(wèn)題的研究，也要用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)，從把握相關(guān)數(shù)童之間的關(guān)系及算變化發(fā)展過(guò)程著眼進(jìn)行探索.正是基于這樣的認(rèn)識(shí)，形成了最初的函數(shù)概念及其思想方

53、法.徴甩噩變化過(guò)程中的員會(huì)版權(quán)所有正比例函數(shù)上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有g(shù)分變曼與常f要結(jié) 舍實(shí)際冋題進(jìn)行具體 分析.問(wèn)劃I中的d.r 4 t 量g是常童2打是常 ft.18. 1函數(shù)的概念變與函數(shù)人們?cè)谡J(rèn)識(shí)和描述某一事物時(shí)，經(jīng)常會(huì)用“量”來(lái)具體表達(dá)事 物的某些特征（屬性，同時(shí)用“數(shù)”來(lái)表明量的大小數(shù)與度量單位 合在一起就是“數(shù)ht”.例如我們居住的地球町以用下列數(shù)凰來(lái)描述它的一些 特征：平均半徑喪面積體積質(zhì)貳地心最高溫度自轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間6 371.22 T米 510X10平方千米1 083X109立方千米598X10噸5 000 C23時(shí)56分4. 1秒29.77千米/秒繞太陽(yáng)運(yùn)行的平均速度

54、這里所涉及的Ift 有長(zhǎng)度、而積、體積、質(zhì)訊、溫度、時(shí)間、速度等 ?問(wèn)地球上的赤道是一個(gè)大圓半徑長(zhǎng)r 6. 378X 10氣耒）.設(shè)想 有一個(gè)飛行器環(huán)繞赤道飛行一周.其軌道是與赤道在同一平面且 同圓心的圓E.如杲圓E的周長(zhǎng)比赤道的周長(zhǎng)多a米.那么圓E的 半徑卡是多少來(lái)？在這個(gè)問(wèn)題中相關(guān)的就都是長(zhǎng)度其中赤道的半徑長(zhǎng)f米的 數(shù)值保持不變圓E的周長(zhǎng)比赤道的周氏多d米，即兩圓周氏的差 為a米，圓E的半徑長(zhǎng)為r米.a與r可以取不同的數(shù)值在問(wèn)題研究過(guò)程中可以取不同數(shù)值的駄叫做變（ varia- ble）s保持?jǐn)?shù)值不變的就叫做常（ constant X或常數(shù)）.在問(wèn)題1中由2nr2rr0 : a （米），得

55、r： r, + %（花召鬱可以看到.圓E的半輕r崎兩圓周氏的差龜相”聯(lián)系 的.由“ r = ”.十#”町知r隨a的變化I醪離.而M當(dāng)變尿*取 上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有a之間存生確定的依賴關(guān)系.-；問(wèn)題上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有道上，汽車油錨里原有汽油120什.每疔駛L輛汽車行戈10千皋耗蟲(chóng)飆.汽車行駛的路程100千米150千東200千來(lái)250千來(lái)油箱里創(chuàng)余的油量02）在汽車行駛過(guò)程中.汽車行駛的路程與油箱里剁余的油 量祁是變量嗎？（3）設(shè)汽車行駛的路程為.r千米，油箱里剌余的油量為，升. 那么y與才之間是否存在確定的依莉關(guān)系？在這個(gè)問(wèn)題中.汽車行駛的路程r（千米）與油箱電剩余的油 扯丁（升）都是

56、變址隨著汽車行駛路程的堆加.油箱業(yè)剩余的油吊 在減少.即變蜃y隨著變球.r的變化而變化；乂在填衣時(shí)可知，y = 120-.r,即y=120-0. 2z,當(dāng)才取一個(gè)確定的數(shù)值時(shí)，y的值也 隨之確定，所以y與/之間存在著確定的依賴關(guān)系.當(dāng)然本題中路程工的取值不是任意的.根據(jù)題意.易知.r 0;又當(dāng)汽車行駛600千米后油箱里就沒(méi)油了.所以.r只能在一定 的范閔內(nèi)取值.即0MzV600.Fl 1中 St量r是交 量a的矗4t.a是自變解析式.在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變址.設(shè)為和y,如果在變斤t r的 允許収值范圍內(nèi)，變帚y隨看.r的變化而變化.它們之間存在確定 的依賴關(guān)系那么變處y叫做變量z的S ft

57、（function）, .r叫做 自變（independent variable）.在問(wèn)題2中.變量，是變htr的函數(shù)是自變赧其中，隨 Wx變化而變化的依轍關(guān)系.是由M.y= 120-0. 2”表達(dá)出來(lái)的.這 種表達(dá)兩個(gè)變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)式子稱為函數(shù)解析式.例題1氣溫的攝氏度數(shù)上與華氏度數(shù)y之間可以進(jìn)行如下 轉(zhuǎn)化華氏度數(shù)y是不足攝氏度數(shù)工的甌數(shù)？為什么？市教育委員會(huì)版權(quán)所有解 在把攝氏度轉(zhuǎn)化為華氏度的過(guò)程中華氏度y隨衿攝氏上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有攝氏度數(shù)c)100100華氏度數(shù).y(下)113295312可見(jiàn)變ht y與之間存在確定的依賴關(guān)系是的函數(shù)32所痕達(dá)的兩個(gè)變 之間妁依H關(guān)系完仝

58、-樣.卜32是這個(gè)函數(shù)的解析式.年份200020012002200320042005忑綠化面駅不一.4 n7.09. 4lkG例題2 下列各變化過(guò)程中，兩個(gè)變ht之間是否存在確定的依 賴關(guān)系？其中-個(gè)變職是另-個(gè)變屜的函數(shù)嗎？菜氣象站測(cè)得當(dāng)?shù)啬骋惶斓臍鉁刈兓臎r如 圖181所示.一I中的/軸上找出I 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Ai I it點(diǎn) 兒作4- t軸的K 妣與圖中為線相交于 點(diǎn)再H. iX A作墾直 于T軸的直線企足為 點(diǎn)時(shí)霹么.雖S對(duì)A 的黃就是時(shí)剣/i的溫 如這天14時(shí)的氣 溫為51?凌晨3時(shí)的 吒溫為 3?圖 18-1近年來(lái)上海市區(qū)的環(huán)境綠化不斷得到改善下表是上海 市區(qū)人均綠化面積變化的一些統(tǒng)計(jì)

59、數(shù)據(jù)：解(1)兩個(gè)變蜀是時(shí)間t和溫度T.可以看到.當(dāng)時(shí)間時(shí)? 變化時(shí)，相應(yīng)的氣溫T( C )也隨之變化；由曲線上-點(diǎn)的坐紮觀 可知時(shí)刻t的氣溫是匚由此町見(jiàn)這腳個(gè)變kt之間存杵鬱歸依賴 關(guān)系(這種關(guān)系是用曲線來(lái)表達(dá)的幾所以丁是r懸羅 兩個(gè)變址是年份利人均綠化fi!腿敘喘知倔著所列年變量之間也存在確定的依賴關(guān)系（通過(guò)列表來(lái)表達(dá)）.所以人均綠上海市教育委員會(huì)版權(quán)所有$議-慾鏗個(gè)值，可以求出這個(gè)代數(shù)式的 + 2也是-個(gè)變僦.試問(wèn)：變弟數(shù)式”卩+ 2 給定f的. 為夠轎如果.r是牛變蚩.那么.r 霍+2是不是變肚才的函數(shù)？練習(xí) 18. 1（1）1-某校學(xué)生總?cè)藬?shù)I 200人，某天實(shí)際到校的學(xué)生人數(shù)與學(xué)生

60、的出勤率p是變曲. 試說(shuō)明P是的函數(shù)并寫(xiě)出這個(gè)岡數(shù)的解析式.舉一個(gè)含有悶個(gè)相關(guān)變lit的實(shí)例.指出其中_個(gè)變駅是否是另_個(gè)變績(jī)的函數(shù).如 果是，請(qǐng)把它們之間的依傾關(guān)系表達(dá)出來(lái).（1）如果速度不變，那么這個(gè)式子里哪兩個(gè)屋是變蚩？這兩個(gè)變駅中哪一個(gè)是自已知物體勻速運(yùn)動(dòng)中，路程$、速度s時(shí)間/之間有關(guān)系式.、=“/.變最？哪一個(gè)是自變fit的函數(shù)？如果時(shí)間不變呢？（2）如果路程不變.試寫(xiě)出速度關(guān)于時(shí)間的丙數(shù)解析式.如圖，線段AB=a.在垂宜于AB的射線DE上冇一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C（C 與垂足D不重合八分別聯(lián)結(jié)A、CB.得到厶ABC.（1）指出ffeAABC的而積的變化過(guò)程中.線段AB、CD的長(zhǎng) 哪一個(gè)是常戰(zhàn)？