§4.2換元積分法(第二類換元法)

1、4.2換元積分法 #4.2換元積分法 4.2換元積分法(第二類)I授課題目(章節(jié))：4.2換元積分法(第二類換元積分法)II教學(xué)目的與要求：了解第二類換元法的基本思想掌握幾種典型題的第二類換元積分法解法III教學(xué)重點與難點：重點：第二換元法中的三角代換及根式代換難點：積分后的結(jié)果進行反代換W講授內(nèi)容：第一類換元積分法的思想是：在求積分g(x)dx時，如果函數(shù)g(x)可以化為f,(x),(x)的形式,那么4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #所以第一換元積分法體現(xiàn)了“湊”的思想把被積函數(shù)湊出形如f,(x),(x)函數(shù)來對于某些函數(shù)第一換元積分法無能為力，例如a2-x2dx.對于這樣的無理函數(shù)的

2、積分我們就得用今天要學(xué)習(xí)的第二類換元積分法。4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #4.2換元積分法 4.2換元積分法 #若上面的等式右端的被積函數(shù)f中(t(t)有原函數(shù)(t)，貝f中(t)M(t)dt(t)+C,然后再把(t)中的t還原成中-1(x)，所以需要一開始的變量代換x中(t)有反函數(shù)。定理2設(shè)x(t)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且中(t)豐0,又設(shè)f中(t)中(t)有原函數(shù)(t)，則f中(t)中(t)dt(t)+C中-i(x)+C分析要證明f(x)dxOV-1(x)+C，只要證明N-1(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x),中-i(x)ddxdtdxdtdx證明x=(t)單調(diào)、可導(dǎo)，,x=(t)存在反函數(shù)

3、t=-1(x)，且dd=dx1dxdt=1中(t)一1(x)=葺$dxdtdx1=f(t)(t)(t廠f(x)，x)是f(x)是一個原函數(shù)Jf(x)dx=中-1(x)+C.第二換元法，常用于如下基本類型c，兀兀、類型1：被積函數(shù)中含有a2-x2(a0)，可令x=asmt(并約定t0)兀兀解令x二asint，t(一22)，則a2-X2=aC0Std=Za2a2.,.Ja2一x2dx=Jacostacostdt=a2J(+cos2t)dt=t+sin2t+C2224a2a2a2.xx小=t+sintcost+C=arcsin+a2一x2+C.222a2借助下面的輔助三角形把sint,cost用x表

4、示.x2例2求Jdx4-x2兀兀解令x=2血t，t0)可令x=atant并約定t(),則4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #a2+X2asect；dx=asec4sin214sint4tdt；可將原積分化為三角有理函數(shù)的積分.4.2換元積分法 4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #dx(a0)x2,a24.2換元積分法 #4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #解令x=atant，t(22)，則x2十a(chǎn)2=asect，dx=asec2tdtJ=Jsectdt=lnsect+tant+C=lnx2+a2,x,C

5、=lnx,x2,a2,C.aaJ1dsint=-1-1,C=-14.2換元積分法 4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #dx解令x=2tant，t(22)，則4十x2=2sect，dx=2sec2tdt4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #dx2sec212sec2t,1sectr1=dt=dt=J4tan21-2sect4tan2141costdt2sint2cost4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #=1Jcostdt=4sin214.2換元積分法 #4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #例5求J(x

6、(x2,9)2（分母是二次質(zhì)因式的平方）4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #解令x3tant，貝yx2+9=9sec21，dx=3sec2tdtdx3sec2t.1=dt=cos2tdt(x2,9)281sec41274.2換元積分法 4.2換元積分法 #545454t1t1+sin2t=+:=542,545454=1x13x小arctan+C=54354x2+9sintcost+CJcos2td2t=1J(1+cos2t)dt=t+1Jcos2tdt=+1542,544.2換元積分法 4.2換元積分法 #練習(xí)：求J1(x2一2x+5)2dx(第二換元積分法分)解(x2-2x+5)222+

7、(x-1)22，令x1二2tant/兀兀、te(一22)則Jdx=J2sec2tdt=(x2一2x+5)224sec411J(1+cos2t)dt=+1sintcost+C16161x-11x-1=arctan+1628x2-2x+5類型3被積分函數(shù)中含有x2-a2(a0),當(dāng)xa時，可令x兀te(0,)，貝yx2-a2=atant，dx=asecttantdt，當(dāng)xa，可(a0)解被積函數(shù)的定義域為(-,-a)U(a，+),兀當(dāng)xe(a,+)時，令x=asect,te(0,),2貝yx2一a2=atant，dx=asecttantdt有dxx2一a2Jasecttantatantdt=Jse

8、ctdt4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #)+C=ln(x+x=ln(sect+tant)+C=ln(+aii4.2換元積分法 4.2換元積分法 #當(dāng)x（一,-a）時，令x=_u，貝yu（a,+，）有dxx2一a2du=ln（ux2a2一x一x2一a2x2一a2）（一x一=Inx一x2一a2+C=ln（xa21x2a2一Ina2）i=ln（一x一x2一a2）+C2x（,a）（a,+，）時,dxi=lnx+x2a2dxx21解x（1,+，）時,令x=sect,t（0,x2一1=tant,dx=secttantdt,有dxsecttant=Jdt=Jcostdt=sint+C=x2x2一1s

9、ec21tantii4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #ii4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #dx.無論x1均有dxii4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #ii4.2換元積分法 #4.2換元積分法 #注意：(1)以上三種三角代換，目的是將無理式的不定積分化為三角有理函數(shù)的不定積分在利用第二類換元積分法時將積分的結(jié)果還原為x的函數(shù)時，常常用到同角三角函數(shù)的關(guān)系，一種較簡單和直接的方法是作“輔助三角形”在既可用第一換元法也可用第二換元法的時候，用第一換元法就使計算更為簡潔.4.2換元積分法 4.2換元積分法 #例8求xx2一a2dx(a,0)解法一(用第一換元法)x,a時dxxx2一

10、a2dxdxx2a21x21-(a)2x丄arccos#+C,axx-a時，令u-x貝yu,adx=xx2a2(-u)u2a21arccos+au1Carccos，adx1兩式合并Jarccosxx2一a2adxa+Cx解法二(第二換元法)當(dāng)x,a時，xasect,te(0,)則Jx2-a2atant,dxasecttantdtdxasecttant1t1adt1dt+C=_arccos+CxJx2一a2asectatantaaax當(dāng)x0)，可令x，asint(并約定t(-2，2)則a2-%2，acost；dx，acostdx可將原積分化作三角有理函數(shù)的積分.類型2：被積函數(shù)中含有a2+x2(a0)可令x=atant并約定t(，)，則a2+x2，asect；dx，asec2tdt；可將原積分化為三角有理函數(shù)的積分.類型3被積分函數(shù)中含有x2a2(a0)，當(dāng)xa時，可令x，ase