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文檔簡介
1、專題10 手拉手模型一、單選題1如圖,在OAB和OCD中,OAOB,OCOD,OAOC,AOBCOD40,連接AC,BD交于點M,連接OM下列結(jié)論:ACBD;AMB40;OM平分BOC;MO平分BMC其中正確的個數(shù)為()ABCD【答案】D【分析】由證明得出,正確;由全等三角形的性質(zhì)得出,由三角形的外角性質(zhì)得:,得出,正確;作于,于,如圖所示:則,由證明,得出,由角平分線的判定方法得出平分,正確;由,得出當時,才平分,假設(shè),由得出,由平分得出,推出,得,而,所以,而,故錯誤;即可得出結(jié)論【詳解】解:,即,在和中,正確;,由三角形的外角性質(zhì)得:,正確;作于,于,如圖2所示:則,在和中,平分,正確;
2、,當時,才平分,假設(shè),平分,在和中,與矛盾,錯誤;綜上所述,正確的是;故選:D【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),三角形的外角性質(zhì),角平分線的判定等知識,熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵2如圖,AB=AD,AC=AE,DAB=CAE=50 ,以下四個結(jié)論:ADCABE;CD=BE;DOB=50;點A在DOE的平分線上,其中結(jié)論正確的個數(shù)是( )A1B2C3D4【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定及角平分線的性質(zhì)即可依次判斷【詳解】DAB=CAEDAB+BAC=CAE+BACDAC=EABAB=AD,AC=AEADCABECD=BE,故正確;ADCABEADC =ABE設(shè)AB與CD交于G點,AG
3、D =BGCDOB=DAB=50,故正確;過點A作AFCD于F點,過點A作AHBE于H點,則AF、AH分別是ADC與ABE邊上的高ADCABEAF=AH點A在DOE的平分線上,正確故選D【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)與判定3如圖,和都是等腰直角三角形,四邊形是平行四邊形,下列結(jié)論中錯誤的是( )A以點為旋轉(zhuǎn)中心,逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與重合B以點為旋轉(zhuǎn)中心,順時針方向旋轉(zhuǎn)后與重合C沿所在直線折疊后,與重合D沿所在直線折疊后,與重合【答案】3B【分析】本題通過觀察全等三角形,找旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)角,逐一判斷【詳解】解:A根據(jù)題意可知AE=AB,AC=AD,EAC
4、=BAD=135,EACBAD,旋轉(zhuǎn)角EAB=90,正確;B因為平行四邊形是中心對稱圖形,要想使ACB和DAC重合,ACB應(yīng)該以對角線的交點為旋轉(zhuǎn)中心,順時針旋轉(zhuǎn)180,即可與DAC重合,錯誤;C根據(jù)題意可EAC=135,EAD=360EACCAD=135,AE=AE,AC=AD,EACEAD,正確;D根據(jù)題意可知BAD=135,EAD=360BADBAE=135,AE=AB,AD=AD,EADBAD,正確故選B【點睛】本題主要考查平行四邊形的對稱性:平行四邊形是中心對稱圖形,對稱中心是兩對角線的交點二、填空題4如圖,點B、C、E在同一條直線上,與都是等邊三角形,下列結(jié)論:AE=BD;線段AE
5、和BD所夾銳角為80;FGBE其中正確的是_(填序號)【答案】【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)證明可判斷,利用,可得利用三角形的外角的性質(zhì)可得 從而可判斷, 再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)證明可判斷, 由可得:,結(jié)合可得,從而可判斷【詳解】解:如圖,記與的交點為,與都是等邊三角形, AC=BC,CD=CE,BCA=DCE=60 點B、C、E在同一條直線上, ACD=60,BCD=ACE=120 在和中, 所以結(jié)論正確; ,BDC=CEA, AHB=DBE+BEA=DBE+BDC=180BCD=60, 所以錯誤; 在和中, ,所以正確; ,CG=CF,ACD=60,GFC=60, 又DCE=60,GFC=D
6、CE, GFBC,所以正確 故答案為:【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定,平行線的判定,解決本題的關(guān)鍵是找到判定三角形全等的條件5如圖,C為線段AE上一動點(不與點A,E重合),在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連結(jié)PQ以下結(jié)論:PQAE;AOE120;CO平分BCD;CPQ是等邊三角形,OC+BOAO恒成立的是_【答案】【分析】由“”可證,可得,由“”可得,利用全等三角形的性質(zhì)依次判斷可求解【詳解】解:等邊和等邊,即 ,在與中,又,即,又,又,為等邊三角形,故正確;,故正確;,故正確;
7、如圖,在上截取,連接, ,又,是等邊三角形,故正確;不一定垂直,不一定等于,不一定等于,不一定平分,故錯誤;故答案為:【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),利用了等邊三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的判定與性質(zhì),能熟練應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵三、解答題6如圖,點C是線段AB上任意一點(點C與點A,B不重合),分別以AC,BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,AE與CD相交于點M,BD與CE相交于點N連接MN證明:(1)ACEDCB; (2)ACMDCN; (3)MNAB【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)得出
8、ACCD,BCCE,ACDBCE60,得出DCBACE,由SAS即可得出ACEDCB;(2)由全等三角形的性質(zhì)得出EACBDC,再證出ACDDCE,由ASA證明ACMDCN即可;(3)由全等三角形的性質(zhì)得出CMCN,證出MCN是等邊三角形,得出MNCNCB60,即可得出結(jié)論【詳解】(1)ACD和BCE是等邊三角形,ACCD,BCCE,ACDBCE60,ACDDCEBCEDCE,DCBACE,在ACE與DCB中,ACEDCB(SAS);(2)由(1)得:ACEDCB,EACBDC,ACDBCE60,DCE60,ACDDCE,在ACM與DCN中,ACMDCN(ASA)(3)由(2)得:ACMDCN
9、,CMCN,又MCN180606060,MCN是等邊三角形,MNC60NCB,MNAB【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定;熟練掌握等邊三角形的性質(zhì),證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵7如圖,兩個正方形ABCD與DEFG,連結(jié)AG,CE,二者相交于點H(1)證明:ADGCDE;(2)請說明AG和CE的位置和數(shù)量關(guān)系,并給予證明;(3)連結(jié)AE和CG,請問ADE的面積和CDG的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由【答案】(1)答案見解析;(2) AG=CE,AGCE;(3) ADE的面積=CDG的面積【分析】(1)利用SAS證明ADGCDE;(2)利用ADGCDE得到
10、AG=CE,DAG=DCE,利用DAG+AMD=90得到DCE+CMG=90,即可推出AGCE;(3)ADE的面積=CDG的面積,作GPCD于P,ENAD交AD的延長線于N,證明 DPGDNE,得到PG=EN,再利用三角形的面積公式分別表示出ADE的面積,CDG的面積,即可得到結(jié)論ADE的面積=CDG的面積.【詳解】(1)四邊形ABCD與DEFG都是正方形,AD=CD,DG=DE,ADC=EDG=90,ADC+CDG=EDG+CDG,ADG=CDE,ADGCDE(SAS),(2)AG=CE,AGCE,ADGCDE,AG=CE,DAG=DCE,DAG+AMD=90,AMD=CMG,DCE+CMG
11、=90,CHA=90,AGCE;(3)ADE的面積=CDG的面積,作GPCD于P,ENAD交AD的延長線于N,則DPG=DNE=90,GDE=90,EDN+GDN=90,PDG+GDN=90,EDN=PDG,DE=DG,DPGDNE,PG=EN,ADE的面積=,CDG的面積=,ADE的面積=CDG的面積.【點睛】此題考查正方形的性質(zhì),三角形全等的判定及性質(zhì),利用三角形面積公式求解,根據(jù)圖形得到三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.8在ABC中,BAC=90,AC=AB,點D為直線BC上的一動點,以AD為邊作ADE(頂點ADE按逆時針方向排列),且DAE=90,AD=AE,連接CE(1)如圖1,若點D在
12、BC邊上(點D與BC不重合),求證:ABDACE;求證:(2)如圖2,若點D在CB的延長線上,若DB=5,BC=7,則ADE的面積為_(3)如圖3,若點D在BC的延長線上,以AD為邊作等腰RtADE,DAE=90,連結(jié)BE,若BE=10,BC=6,則AE的長為_【答案】(1)見解析;見解析;(2);(3)【分析】(1)根據(jù)BAC=DAE,推出BAD=CAE,再結(jié)合AB=AC,AD=AE,即可證明ABDACE,根據(jù)ABD=ACE,可得ABD+ACB=ACE+ACB=BCE,根據(jù)BD=CE,即可證明結(jié)論;(2)過點A作AFDE于點F,利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì),易得AFDE,利用全等三
13、角形的判定定理可得ABDACE,由全等三角形的性質(zhì)可得ADBAEC,DBEC,易得EC5,DC12,利用勾股定理可得DE的長,利用三角形的面積公式可得結(jié)論;(3)根據(jù)RtBCE中,BE10,BC6,求得CE8,進而得出CD862,在RtDCE中,求得DE=,最后根據(jù)ADE是等腰直角三角形,即可得出AE的長【詳解】(1)BAC=DAE,BAD=CAE,又AB=AC,AD=AE,ABDACE,ABDACE,ABD=ACE,BD=CE,ABD+ACB=ACE+ACB=DCE=90,;(2)過點A作AFDE于點FADAE,點F是DE的中點,DAE90,AFDE,同理可證ABDACE,ADBAEC,DB
14、EC,DB5,BC7,EC5,DC12,DAE90,ADEAED90,ADCCDEAED90,AECAEDCDE90,即CEDCDE90,ECD90,DE2CE2CD225144169,DE0,DE13,AF,ADE的面積為DEAF13;(3)由(1)可知:ABDACE,BDCE,ABDACE,BCE=ACB+ACE=ACB+ABD=90,RtBCE中,BE10,BC6,CE8,BDCE8,CD862,RtDCE中,DE=,ADE是等腰直角三角形,AE=【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理及性質(zhì)定理,還有等腰三角形的性質(zhì)等,綜合利用定理,作出恰當?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵9如圖,在中,以A
15、B,AC為邊向外作等邊和等邊,連結(jié)BE,CF交于點O求證:(1);(2)AO平分EOF【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析【分析】(1)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,再根據(jù)角的和差可得,然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證;(2)如圖(見解析),先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得,再根據(jù)三角形的面積公式可得,由此即可得證【詳解】(1)和都是等邊三角形,即,在和中,;(2)如圖,過點A作于點D,作于點G,連接AO,由(1)已證:,點A在的角平分線上,即AO平分【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的判定定理等知識點,熟練掌握三角形全等的判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵10如
16、圖,中,中,且,當把兩個三角形如圖放置時,有(不需證明)(1)當把繞點旋轉(zhuǎn)到圖的情況,其他條件不變,和還相等嗎?請在圖中選擇一種情況進行證明;(2)若圖中和交于點,連接,求證:平分【答案】(1)相等,證明見解析;(2)證明見解析【分析】(1)利用SAS證出DCAECB,即可證出結(jié)論;(2)過點C作CMAD于M,CNBE于N,利用SAS證出DCAECB,從而得出CM=CN,然后利用角平分線的判定定理即可證出結(jié)論【詳解】解:(1)相等,證明圖如下在DCA和ECB中DCAECB;(2)過點C作CMAD于M,CNBE于N在DCA和ECB中DCAECBCM=CNCMAD,CNBE平分【點睛】此題考查的是
17、全等三角形的判定及性質(zhì)和角平分線的判定,掌握全等三角形的判定及性質(zhì)和角平分線的判定是解題關(guān)鍵11如圖1,點是線段上除點、外的任意一點,分別以、為邊在線段的同旁做等邊三角形和等邊三角形,連接和BC相交于點Q, (1)求證:(2)求的度數(shù)(3)如圖2所示,和仍為等邊三角形,但和不在同一條直線上,是否成立,的度數(shù)與圖1是否相等,請直接寫出結(jié)論【答案】(1)見解析;(2)60;(3)成立,相等【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PA=PC,APC=60,PB=PD,BPD=60,于是得到APD=CPB,證得APDCPB,即可證明AD= BC;(2)由APDCPB,再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解;(
18、2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PA=PC,APC=60,PB=PD,BPD=60,于是得到APD=CPB,證得APDCPB,即可證明AD= BC,再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求得AQC=60【詳解】(1)APC是等邊三角形,PA=PC,APC=60,BDP是等邊三角形,PB=PD,BPD=60,APC=BPD,APD=CPB,在APD與CPB中,APDCPB(SAS),AD= BC;(2)由(1)得:APDCPB,PAD=PCB,QAP+QAC+ACP=120,QCP+QAC+ACP=120,AQC=180-120=60;(3)AD= BC成立,AQC=60,理由如下:APC是等邊三角形,PA=
19、PC,APC=60,BDP是等邊三角形,PB=PD,BPD=60,APC=BPD,APD=CPB,在APD與CPB中,APDCPB(SAS),AD= BC;PAD=PCB,QAP+QAC+ACP=120,QCP+QAC+ACP=120,AQC=180-120=60【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì),正確證明兩個三角形全等是解題的關(guān)鍵12B,C,D三點在一條直線上,ABC和ECD是等邊三角形求證:BE=AD【答案】證明見解析【分析】證簡單的線段相等,可通過證線段所在的三角形全等來得出結(jié)論觀察所求和已知條件,可證ACDBCE;這兩個三角
20、形中,已知的條件有:BC=AC,EC=CD,而ACD和BCE同為60角的補角,由此可根據(jù)SAS證得兩三角形全等,即可得證【詳解】解:ABC和ECD是等邊三角形,ACB=ECD=60,BC=AC,EC=CDACB+ACE=ECD+ACE,即BCE=ACD在BCE和ACD中,BCEACD(SAS)BE=AD13如圖,ABD和BCE都為等邊三角形,連接AE、CD求證:AEDC【答案】見解析【分析】先由ABD和BCE是等邊三角形,可知AB=BD,BE=BC,ABD=CBE,從而得到ABE=CBD,即可證明ABEDBC,從而得到結(jié)論【詳解】解:證明:ABD和BCE都為等邊三角形,AB=BD,BE=BC,
21、ABD=CBE,ABE=CBD,ABEDBC(SAS),AE=DC【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)題意判斷出ABEDBC是解答此題的關(guān)鍵14如圖,C為線段AE上一動點(不與點A,E重合),在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE(正三角形也叫等邊三角形,它的三條邊都相等,三個內(nèi)角都等于60),AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連結(jié)PQ試說明:(1)AD=BE; (2)填空AOE= ;(3)CP=CQ;【答案】(1)見解析;(2)120;(3)見解析【分析】(1)由于ABC和CDE是等邊三角形,可知AC=BC,CD=CE,ACB=
22、DCE=60,從而證出ACDBCE,可推知AD=BE;(2)由(1)推出CAD=CBE,利用三角形內(nèi)角和定理可求得BOP=ACP=60,從而求得AOE的度數(shù);(3)由ACDBCE得CBE=DAC,加之ACB=DCE=60,AC=BC,得到CQBCPA(ASA),從而證明CP=CQ【詳解】(1)ABC和CDE為等邊三角形,AC=BC,CD=CE,BCA=DCE=60,ACD=BCE,在ACD與BCE中,ACDBCE(SAS),AD=BE;(2)ACDBCE,CAD=CBE,APC=BPO,BOP=ACP=60,AOE=18060=120,故答案為:120;(3)ACDBCE,CAD=CBE,AC
23、B=DCE=60,BCQ=60,在CQB和CPA中,CQBCPA(ASA),CP=CQ【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),全等三角的判定與性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題15如圖1,等邊ABC中,AO是BAC的角平分線,D為AO上一點,以CD為一邊且在CD下方作等邊CDE,連結(jié)BE(1)求證:ACDBCE;(2)圖2,延長BE至Q,P為BQ上一點,連結(jié)CP,CQ使CPCQ5,若BC8時,求PQ的長【答案】(1)見解析;(2)【分析】(1)由題意易得,然后根據(jù)題意可進行求證;(2)作交于,則,由(1)易得,然后根據(jù)勾股定理求解即可【詳解】(1)和均為等邊三角形,且
24、,(2)作交于,則,在中,由已知和(1)得,在中,【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理、含30角的直角三角形,關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的全等,然后根據(jù)勾股定理及直角三角形的性質(zhì)進行求解問題即可16如圖,在ABC和ADE中,BAC=DAE=90,點P為射線BD,CE的交點(1)問題提出:如圖1,若AD=AE,AB=ACBD與CE的數(shù)量關(guān)系為 ;BPC的度數(shù)為 (2)猜想論證:如圖2,若ADE=ABC=30,則(1)中的結(jié)論是否成立?請說明理由如果不正確請寫出正確結(jié)論(3)拓展延伸:在(1)的條件中,若AB=3,AD=1,若把ADE繞點A旋轉(zhuǎn),當EAC=90時,直接寫出PB的長 【
25、答案】(1)相等,90;(2)結(jié)論不成立,結(jié)論成立;(3)或【分析】(1)依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,依據(jù)同角的余角相等得到,然后依據(jù)“”可證明,最后,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到;由三角形內(nèi)角和定理可求的度數(shù);(2)先判斷出,即可得出結(jié)論;(3)分為點在上和點在的延長線上兩種情況畫出圖形,然后再證明,最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行證明即可【詳解】解:(1)和是等腰直角三角形,故答案為:相等;故答案為: (2)(1)中結(jié)論不成立,;結(jié)論成立,理由:在中,在中,;(3)解:如圖,當點在上時,同(1)可證又,如圖,當點在延長線上時,同(1)可證,綜上所述,的長為或【點睛】本題是三角形綜合題,主要考查的是
26、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定,證明得是解題的關(guān)鍵17如圖所示,已知AEAB,AFAC,AE=AB,AF=AC判斷線段EC與BF數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系, 并給予證明【答案】EC=BF,ECBF,理由詳見解析【分析】先由條件可以得出EAC=BAE,再證明EACBAF就可以得出EC=BF,再利用角度之間的轉(zhuǎn)化可得BMD=90,即可證明ECBF【詳解】解:EC=BF, ECBF證明如下:AEAB,AFAC,BAE=CAF=90,BAE+BAC=CAF+BAC,即EAC=BAF,在ABF和AEC中,ABFAEC(SAS),EC=BF,AEC=ABF,AEAB,
27、BAE=90,AEC+ADE=90,ADE=BDM(對頂角相等),ABF+BDM=90,在BDM中,BMD=180-ABF-BDM=180-90=90,ECBF【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)的運用,垂直的判定的運用解答時注意證明三角形全等的手拉手模型18如圖,B,C,E三點在一條直線上,ABC和DCE均為等邊三角形,BD與AC交于點M,AE與CD交于點N(1)求證:AEBD;(2)連接MN,求證:MNBE;(3)若把DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角度,(1)中的結(jié)論還成立嗎?說明理由【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)成立,理由見解析【分析】(1)根據(jù)等邊三角形邊長相等的性質(zhì)和各內(nèi)角
28、為的性質(zhì)可求得,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可求得(2)是等邊三角形,由可知,根據(jù)可證明,得到,又,可知是等邊三角形,得到,由,得到,所以(3)根據(jù)題意畫出圖形,證明方法與(1)相同【詳解】解:(1)證明:如圖1中,與都是等邊三角形,即在和中,(2)證明:如圖1中,連接,在和中,是等邊三角形,(3)成立;理由如下:如圖2中,、均為等邊三角形,即,在和中,【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用及全等三角形的判定和性質(zhì)的運用解決本題的關(guān)鍵是證明三角形全等,屬于中考??碱}型19在ABC中,AB=AC,點D是直線BC上一點(不與BC重合),以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE,使AD=AE,DAE=
29、BAC,連接CE(1)如圖1,當點D在線段BC上,如果BAC=90,則BCE= 度;(2)如圖2,說明:ABDACE說明:CE+DC=BC設(shè)BAC=,BCE=當點D在直線BC上移動,則,之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論【答案】(1)90;(2)詳見解析; 詳見解析;(3)相等或互補【分析】(1)要求BCE的度數(shù),可將它轉(zhuǎn)化成與已知角有關(guān)的聯(lián)系,根據(jù)已知條件和全等三角形的判定定理,得出ABDACE,再根據(jù)全等三角形中對應(yīng)角相等,最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論;(2)根據(jù)已知條件和全等三角形的判定定理,得出ABDACE即可;問要求BCE的度數(shù),可將它轉(zhuǎn)化成與已知角有關(guān)的聯(lián)系,根據(jù)已知條
30、件和全等三角形的判定定理,得出ABDACE,再根據(jù)全等三角形中對應(yīng)角相等,最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論;問在第問的基礎(chǔ)上,進行分析解答即可【詳解】解:(1)90理由:BAC=DAE,BAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE在ABD與ACE中,ABDACE(SAS),B=ACEB+ACB=ACE+ACB,BCE=B+ACB,又BAC=90BCE=90;故答案為:90(2)BAC=DAE,BAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE在ABD與ACE中, ,ABDACE(SAS);BAC=DAE,BAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE在ABD與ACE中, ,ABDACE(SAS
31、),B=ACEB+ACB=ACE+ACB,BCE=B+ACB,又BAC=90BCE=90,+=180;相等或互補,理由:(1)當點D在射線BC的反向延長線上時,=DAE=BAC,DAB=EAC,在ADB和AEC中, ,ADBAEC(SAS),ABD=ACE,ABD=BAC+ACB,ACE=BCE+ACB,BCE=B+ACB,又BAC=90BCE=90,+=180(2)當點D在線段BC和BC延長線上時,是+=180,在BC的反向延長線上時,是=,綜上所述,+=180或=【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),涉及到三角形全等的判定,以及全等三角形的性質(zhì);兩者綜合運用,促進角與角相互轉(zhuǎn)換,將未知角轉(zhuǎn)化
32、為已知角是關(guān)鍵20如圖,、均是等邊三角形,、分別與、交于點、,求證:(1);(2);(3)為等邊三角形;(4)【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析;(4)見解析【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=DC,EC=BC,ACD=BCE=60,求出ACE=DCB,根據(jù)SAS推出ACEDCB即可;(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CAE=CDB,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=DC,ACM=BCE=60,求出DCE=60,推出ACM=DCN,根據(jù)ASA推出ACMDCN即可;(3)根據(jù)有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形推出CMN為等邊三角形,推出CMN=CNM=DCN=60,求出CMN
33、=ACM=60,即可得出答案;(4)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出CMN=ACM=60,根據(jù)平行線的判定得出即可【詳解】解:證明:(1)DAC、EBC均是等邊三角形,AC=DC,EC=BC,ACD=BCE=60,ACD+DCE=BCE+DCE,即ACE=DCB,在ACE和DCB中,ACEDCB(SAS),AE=BD;(2)由(1)可知:ACEDCB,CAE=CDB,即CAM=CDN,DAC、EBC均是等邊三角形,AC=DC,ACM=BCE=60,又點A、C、B在同一條直線上,DCE=180-ACD-BCE=180-60-60=60,即DCN=60,ACM=DCN,在ACM和DCN中,ACMDCN(A
34、SA),CM=CN;(3)由(2)可知CM=CN,MCN=60,CMN為等邊三角形(有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形);(4)CMN為等邊三角形CMN=CNM=DCN=60,CMN=ACM=60,MNBC【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì)和判定,平行線的判定的應(yīng)用,主要考查學生的運用性質(zhì)進行推理的能力,注意:全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等21如圖,和都是等邊三角形,點分別在邊上,,(1)求證:(2)判斷四邊形的形狀【答案】(1)見解析;(2)平行四邊形【分析】(1)由和都是等邊三角形得到,根據(jù)推出,即可證得結(jié)論;(2)根據(jù)ABDACF得到BD=CF,再根據(jù)等
35、邊三角形的性質(zhì)得到,推出即可得到結(jié)論.【詳解】證明:(1)和是等邊三角形,ABDACF(ASA);(2)四邊形是平行四邊形理由如下:ABDACF,又是等邊三角形,四邊形DFCE是平行四邊形.【點睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì),三角形全等的判定及性質(zhì),內(nèi)錯角相等兩直線平行的判定定理,證明四邊形是平行四邊形.22如圖1,是以為直角的直角三角形,分別以,為邊向外作正方形,連結(jié),與交于點,與交于點(1)求證:;(2)如圖2,在圖1基礎(chǔ)上連接和,若,求四邊形的面積【答案】(1)詳見解析;(2)18【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BC=BD,AB=BF,CBD=ABF=90,求出ABD=CBF,根據(jù)全等三
36、角形的判定得出即可;(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BAD=BFC,AD=FC=6,求出ADCF,根據(jù)三角形的面積求出即可【詳解】解:(1)四邊形、是正方形,即在和中,;圖1 圖2(2),【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的面積等知識點,能求出ABDFBC是解此題的關(guān)鍵23(1)如圖1,和都是等邊三角形,且,三點在一條直線上,連接,相交于點,求證:(2)如圖2,在中,若,分別以,和為邊在外部作等邊,等邊,等邊,連接、恰交于點求證:; 如圖2,在(2)的條件下,試猜想,與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說明理由【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;,理由詳見解析【分析】(1)根
37、據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AC,CE=CD,ACB=DCE=60,進而得出BCE=ACD,判斷出(SAS),即可得出結(jié)論; (2)同(1)的方法判斷出(SAS),(SAS),即可得出結(jié)論; 先判斷出APB=60,APC=60,在PE上取一點M,使PM=PC,證明是等邊三角形, 進而判斷出(SAS),即可得出結(jié)論【詳解】(1)證明:和都是等邊三角形, BC=AC,CE=CD,ACB=DCE=60, ABC+ACE=DCE+ACE, 即BCE=ACD, (SAS), BE=AD; (2)證明:和是等邊三角形, AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=60, ACB+BCD=DCE+BCD, 即A
38、CD=BCE, (SAS), AD=BE, 同理:(SAS), AD=CF, 即AD=BE=CF; 解:結(jié)論:PB+PC+PD=BE,理由:如圖2,AD與BC的交點記作點Q,則AQC=BQP, 由知, CAD=CBE, 在中,CAD+AQC=180-ACB=120, CBE+BQP=120, 在中,APB=180-(CBE+BQP)=60, DPE=60, 同理:APC=60, CPD=120, 在PE上取一點M,使PM=PC, 是等邊三角形, ,PCM=CMP=60, CME=120=CPD, 是等邊三角形, CD=CE,DCE=60=PCM, PCD=MCE, (SAS), PD=ME,
39、BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD【點睛】此題是三角形綜合題,主要考查了三角形的內(nèi)角和定理,等邊三角形的性質(zhì)和判定,全等三角形的判定和性質(zhì),構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵24如圖,均為等腰直角三角形,連接AE,CD,AE與CD相等嗎?說明理由【答案】,理由見解析【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得,可得,由“”可證,可得【詳解】解:,理由如下:和均為等腰直角三角形,在和中,【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),熟練運用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵25探究等邊三角形“手拉手”問題(1)如圖1,已如ABC,ADE均為等邊三角形,點D在線段BC上,且不與點B、點C重合,連接CE,試判斷CE與BA的位置關(guān)系,并說明理由;(2)如圖2,已知ABC、ADE均為等邊三角形,連接CE、BD,若DEC60,試說明點B,點D,點E在同一直線上;(3)如圖3,已知點E在ABC外,并且與點B位于線段AC的異側(cè),連接BE、CE若BEC60,猜測線段BE、
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