模型18 雙A字形相似模型

1、專題18 雙A字形相似模型一、單選題 1如圖，ABO的頂點A在函數(shù)y（x0）的圖象上，ABO90，過AO邊的三等分點M、N分別作x軸的平行線交AB于點P、Q若ANQ的面積為1，則k的值為（）A9B12C15D18【答案】D【分析】易證ANQAMPAOB，由相似三角形的性質：面積比等于相似比的平方可求出ANQ的面積，進而可求出AOB的面積，則k的值也可求出【詳解】解：NQMPOB，ANQAMPAOB，M、N是OA的三等分點，四邊形MNQP的面積為3，SANQ=1，SAOB=9，k=2SAOB=18，故選：D【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質以及反比例函數(shù)k的幾何意義，正確的求出SANQ=1

2、是解題的關鍵2如圖，ABC中，AB=AC，點D、E分別是邊AB、AC的中點，點G、F在BC邊上，四邊形DEFG是正方形若DE=2cm，則AC的長為 ( )AcmB4cmCcmDcm【答案】D【解析】點D、E分別是邊AB、AC的中點，DE=BC，DE=2cm，BC=4cm，AB=AC，四邊形DEFG是正方形BDGCEF，BG=CF=1，EC=，AC=2cm故選D3如圖，在ABC中，點D在BC邊上，連接AD，點G在線段AD上，GE/BD，且交AB于點E，GF/AC，且交CD于點F，則下列結論一定正確的是（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)平行線截得的線段對應成比例以及相似三角形的性質定理，逐一判斷選

3、項，即可得到答案【詳解】AEGABDDFGDCAA錯誤，B錯誤，DFGDCA， AEGABD，C錯誤，D正確，故選D【點睛】本題主要考查平行線截線段定理以及相似三角形的性質定理，掌握平行線截得的線段對應成比例是解題的關鍵4如圖在ABC中，DEBC，B=ACD，則圖中相似三角形有（）A2對B3對C4對D5對【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結論【詳解】B=ACD，A=A，ACDABC，DEBC，ADEABC，ACDADE，DEBC，EDC=DCB，B=DCE，CDEBCD，故共4對，故選：C【點睛】本題考查了相似三角形的判定注意掌握數(shù)形結合思想的應用，注意平行于三角形的一邊的直線

4、與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似5如圖，已知若的面積為，則的面積為（ ）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質得出，代入求出即可【詳解】解：ADEABC，AD：AB1：3，ABC的面積為9，SADE1，故選：A【點睛】二、解答題6如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、B的坐標分別為A(4，0)、B(4，3)，動點M、N分別從點O、B同時出發(fā)，以1單位/秒的速度運動(點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動)，過點N作交AC于點P，連結MP（1）直接寫出OA、AB的長度；（2）試說明；（3）在兩點的運動過程中，求的面積S與運動的時間t的函數(shù)關系式，并求出時，運

5、動時間t的值 【答案】（1）；（2）見解析；（3），2【分析】（1）根據(jù)點A、B的坐標即可得；（2）先根據(jù)平行線的性質可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得；（3）先根據(jù)矩形的性質、線段的和差可得，再根據(jù)相似三角形的性質可得，從而可得，由此可得的AM邊上的高為，然后利用三角形的面積公式可得與的函數(shù)關系式，最后解一元二次方程可得的值【詳解】（1），；（2），；（3）由題意得：，且，則，四邊形OABC是矩形，即，解得，的AM邊上的高為，即，當時，解得，故的值為2【點睛】本題考查了矩形的性質、平行線的性質、相似三角形的判定與性質、求二次函數(shù)的自變量等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵7如圖

6、，在平面直角坐標系中，點為坐標原點的頂點、的坐標分別為，頂點在軸的正半軸上，（1）求的長度（2）動點從出發(fā)，沿軸負方向以每秒個單位的速度運動，設的運動時間為秒，的面積為，請用含的式子表示，并直接寫出相應的取值范圍（3）在（2）的條件下，在射線上取一點，使，過作交直線于點，當時，求值和點坐標【答案】（1）10；（2）時，；t10時， ；（3）當時，；當t10時，【分析】（1）由勾股定理解得AO的長，即可求得AC的長；（2）分兩種情況討論：當時或當t10時，根據(jù)三角形面積公式解題即可；（3）分兩種情況討論，當時，作作，交DG于N，交BC于M，由等腰三角形三線合一的性質，解得，進而證明，根據(jù)相似三角

7、形對應邊成比例的性質，設DN=m，解得AD=，OD=，當時根據(jù)勾股定理解得BH、DH的長，在中，由勾股定理得，即可解得m的值，從而解得AD的長，即可求得t的值，最后由，結合面積比等于相似比的平方，即可解得點G的坐標；當t10時，方法同上【詳解】（1）在中（2）由于D在x軸上，故以CD為底邊，高h=OB=6當時，CD=AC-AD=10-t，；當t10時，CD=AD-AC=t-10, ；（3）如圖：當時，作，交DG于N，交BC于M，又設DN=m，則AD=OD=，當時BH=，同理在中，即解得(舍去)或當t10時，如圖：作，交DG于N，交BC于M，又設DN=m，則AD=OD=，當時BH=，同理在中，即

8、解得或(舍去)綜上所述，當時，；當t10時，【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合，其中涉及相似三角形的判定與性質、勾股定理、分類討論、三角形面積等知識，是重要考點，難度一般，作出正確的輔助線、掌握相關知識是解題關鍵8如圖已知正方形DEFG的頂點D、E在ABC的邊BC上，頂點G、F分別在邊AB、AC上如果BC=4，ABC的BC邊上的高是3，那么這個正方形的邊長是_【答案】【分析】過點A作AMBC于M，由ABC的BC邊上的高是3可得AM=3，由正方形的性質和相似三角形的性質可得，即可求正方形的邊長【詳解】如圖，過點A作AMBC于M，ABC的BC邊上的高是3，AM=3，四邊形DEFG是正方形，GD=FG,G

9、FBC,GDAM，AGFABC，BGDBAM，GF=故答案為：【點睛】本題考查正方形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的性質與判定為解題關鍵9（教材呈現(xiàn)）下圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第77頁的部分內容（定理證明）請根據(jù)教材內容，結合圖，寫出證明過程（定理應用）如圖，在矩形ABCD中，AC為矩形ABCD的對角線，點E在邊AB上，且AE = 2BE，點F在邊CB上，CF= 2BFO為AC的中點，連結EF、OE、OF（1）EF與AC的數(shù)量關系為_（2）與的面積比為_【答案】【定理證明】證明見解析；【定理應用】（1）EF與AC的數(shù)量關系為；（2）與的面積比為【分析】定理證明：先根據(jù)相

10、似三角形的判定與性質可得，再根據(jù)平行線的判定即可得證；定理應用：（1）先根據(jù)線段的比例關系可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)三角形中位線定理可得，設，再根據(jù)三角形的面積公式分別求出與的面積，由此即可得出答案【詳解】定理證明：點D、E分別是AB、AC的中點，在和中，且；定理應用：（1），在和中，即；（2）如圖，過點O作于點M，作于點N，四邊形ABCD是矩形，即，點O是AC的中點，、是的兩條中位線，設，則，即與的面積比【點睛】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質、矩形的性質等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，運用到三角形中位線定理是解題關鍵1

11、0如圖，在中，點分別在上，且（1）求證：；（2）若點在上，與交于點，求證：【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）直接利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證得結論；（2）根據(jù)相似三角形的性質和平行線的判定方法可得EFBC，于是可得AEGABD，AGFADC，再根據(jù)相似三角形的性質即可推出結論【詳解】解：（1）在AEF和ABC中，AEFABC；（2）AEFABC，AEF=ABC，EFBC，AEGABD，AGFADC，,，【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，屬于常考題型，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題關鍵11陜西省西安市羅漢洞村觀音禪寺內有一棵千年銀杏樹，據(jù)傳是當年唐太

12、宗李世民親手裁種，距今已有1400多年歷史，已被國家列為古樹名木保護名錄小華是一位數(shù)學愛好者，想利用所學的知識測量這棵銀杏樹的高度陽光明媚的一天，小華站在點D處利用測傾器測得銀杏樹頂端A的仰角為39，然后著DM方向走了19米到達點F處，此時銀杏樹的影子頂端與小華的影子頂端恰好重合，小華身高EF1.7米，測得FG3米，測傾器的高度CD0.8米，已知ABBG，CDBG，EFBG請你根據(jù)以上信息，計算銀杏樹AB的高度（參考數(shù)據(jù)：sin390.6，cos390.8，tan390.8）【答案】40.8米【分析】由題意過C作CHAB于N，則四邊形BDCN是矩形，根據(jù)矩形的性質得到CNBD，BNCD08，設

13、BDCNx，則BG22+x，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到ANCNtan3908x，求得AB08x+08，根據(jù)相似三角形的性質求出x，即可得到結果【詳解】解：過C作CHAB于N，如圖所示：則四邊形BDCN是矩形，CNBD，BNCD08，設BDCNx，則BGBD+DF+FGx+19+322+x，小華站在點D處利用測傾器測得銀杏樹頂端A的仰角為39，ACN39，在RtACN中，ANCNtan3908x，ABAN+BN08x+08，ABBG，EFBG，EFAB，EFGABG，即，解得：x50，AB40.8（米）【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題以及相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是學會

14、添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題12如圖，矩形中，為原點，點在軸上，點在軸上，點的坐標為（4,3），拋物線與軸交于點，與直線交于點，與軸交于兩點.（1）求拋物線的表達式；（2）點從點出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度的速度向點運動，與此同時，點從點出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度的速度向點運動，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動.連接，設運動時間為（秒）.當為何值時，得面積最小？是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2） ；【分析】（1）根據(jù)點B的坐標可得出點A，C的坐標，代入拋物線解析式即可求出b，c的值，求得拋物線的解析式；（

15、2）過點Q、P作QFAB、PGAC，垂足分別為F、G，推出QFACBA，CGPCBA，用含t的式子表示OF，PG，將三角形的面積用含t的式子表示出來，結合二次函數(shù)的性質可求出最值；由于三角形直角的位置不確定，需分情況討論，根據(jù)點的坐標，再結合兩點間的距離公式用勾股定理求解即可【詳解】解：（1）由題意知：A(0,3),C(4,0)， 拋物線經過A、B兩點，解得，拋物線的表達式為：(2) 四邊形ABCD是矩形，B=90O， AC2=AB2+BC2=5；由，可得，D（2,3）過點Q、P作QFAB、PGAC，垂足分別為F、G，F(xiàn)AQ=BAC， QFA=CBA，QFACBA，同理：CGPCBA，當時，D

16、PQ的面積最小.最小值為 由圖像可知點D的坐標為(2,3)，AC=5,直線AC的解析式為：三角形直角的位置不確定，需分情況討論：當時，根據(jù)勾股定理可得出：，整理，解方程即可得解；當時，可知點G運動到點B的位置，點P運動到C的位置，所需時間為t=3；當時,同理用勾股定理得出：；整理求解可得t的值由此可得出t的值為：,【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)與幾何圖形的動點問題，掌握二次函數(shù)圖象的性質是解此題的關鍵13（1）如圖1，在ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于點P，求證：；（2） 如圖，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四個頂點在ABC的邊上，連接A

17、G，AF分別交DE于M，N兩點如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；如圖3，求證MN2=DMEN【答案】（1）證明見解析；（2）；證明見解析【分析】（1）易證明ADPABQ，ACQADP，從而得出；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質和勾股定理，求出BC邊上的高，根據(jù)ADEABC，求出正方形DEFG的邊長從而，由AMNAGF和AMN的MN邊上高，AGF的GF邊上高，GF=，根據(jù) MN：GF等于高之比即可求出MN；可得出BGDEFC，則DGEF=CFBG；又DG=GF=EF，得GF2=CFBG，再根據(jù)（1），從而得出結論【詳解】解：（1）在ABQ和ADP中，DPBQ，ADPABQ，同理在ACQ和

18、APE中，；（2）作AQBC于點QBC邊上的高AQ=，DE=DG=GF=EF=BG=CFDE：BC=1：3又DEBCAD：AB=1：3，AD=，DE=，DE邊上的高為，MN：GF=：，MN：=：，MN=故答案為：證明：B+C=90CEF+C=90，B=CEF，又BGD=EFC，BGDEFC，DGEF=CFBG，又DG=GF=EF，GF2=CFBG，由（1）得，GF2=CFBG，MN2=DMEN【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質以及正方形的性質，是一道綜合題目，難度較大14矩形ABCD中，AB8，AD12將矩形折疊，使點A落在點P處，折痕為DE（1）如圖，若點P恰好在邊BC上，連接AP，求

19、的值；（2）如圖，若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點F，求BF的長【答案】（1）；（2）BF3【分析】（1）如圖中，取DE的中點M，連接PM證明POMDCP，利用相似三角形的性質求解即可（2）如圖中，過點P作GHBC交AB于G，交CD于H設EG=x，則BG=4-x證明EGPPHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在RtPHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再證明EGPEBF，利用相似三角形的性質求解即可【詳解】解：（1）如圖中，取DE的中點M，連接PM四邊形ABCD是矩形，BADC90，由翻折可知，AOOP，APDE，23，D

20、AEDPE90，在RtEPD中，EMMD，PMEMDM，3MPD，13+MPD23，ADP23，1ADP，ADBC，ADPDPC，1DPC，MOPC90，POMDCP，（2）如圖中，過點P作GHBC交AB于G，交CD于H則四邊形AGHD是矩形，設EGx，則BG4xAEPD90，EGPDHP90，EPG+DPH90，DPH+PDH90，EPGPDH，EGPPHD，PG2EG3x，DHAG4+x，在RtPHD中，PH2+DH2PD2，（3x）2+（4+x）2122，解得：x（負值已經舍棄），BG4，在RtEGP中，GP，GHBC，EGPEBF，BF3【點睛】本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質

21、，矩形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題15如圖，在中，平分，交邊于點，過點作的平行線，交邊于點（1）求線段的長；（2）取線段的中點，聯(lián)結，交線段于點，延長線段交邊于點，求的值【答案】（1）4；（2）【分析】（1）分別求出CD，BC，BD，證明，根據(jù)相似性質即可求解；（2）先證明，再證明，根據(jù)相似三角形性質求解即可【詳解】解：（1）平分，在中，在中，（2）點是線段的中點，【點睛】本題考查了含30角的直角三角形性質，相似的判定與性質，解題的關鍵是能根據(jù)題意確定相似三角形，并根據(jù)相似性質解題16如圖，在中，以為直徑的交于點，交于點，過點作，垂足為，連

22、接（1）求證：直線與相切；（2）若，求的長【答案】（1）證明見解析；（2）9【分析】（1）連接，利用，證得，易證，故為的切線；（2）證得，求得，利用求得答案即可【詳解】證明： 連接ODAB=AC，B=C，OD=OC，ODC=C，ODC=B，ODAB，DFAB，ODDF，點D在O上，直線DF與O相切；（2）解：四邊形ACDE是O的內接四邊形，AED+ACD=180，AED+BED=180，BED=ACD，B=B，BEDBCA，ODAB，AO=CO，又AE=7，BE=2，AC=AB=AE+BE=7+2=9【點睛】此題考查了切線的判定，三角形相似的判定與性質，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，

23、連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可17如圖，在ABC中，AB=，B=45，C=60（1）求BC邊上的高線長（2）點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連結EF，沿EF將AEF折疊得到PEF如圖2，當點P落在BC上時，求AEP的度數(shù)如圖3，連結AP，當PFAC時，求AP的長【答案】（1）4;（2）90；【分析】（1）如圖1中，過點A作ADBC于D解直角三角形求出AD即可（2）證明BE=EP，可得EPB=B=45解決問題如圖3中，由（1）可知：AC=，證明AEFACB，推出，由此求出AF即可解決問題【詳解】解：（1）如圖1，過點A作ADBC于點D，在RtABD中，=4. （2）如圖2，AEF

24、PEF，AEEP. 又AEBE ，BEEP，EPBB45，AEP90. 如圖3，由（1）可知：在RtADC中，. PFAC，PFA90.AEFPEF，AFEPFE45，則AFEB.又EAFCAB， EAFCAB，即，AF,在RtAFP中，AFPF，則AP. 【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形的應用，翻折變換，全等三角形的性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型三、填空題18如圖，是內一點，過點分別作直線平行于各邊，形成三個小三角形面積分別為，則_【答案】108【分析】根據(jù)平行可得三個三角形相似，再由它們的面積比得出相似比，再求出

25、最小三角形的邊與最大三角形邊的比，從而得到它們的面積的比，求出結果即可【詳解】解：過P作BC的平行線交AB、AC于點D、E，過P作AB的平行線交AB于點I、G，過P作AC的平行線交AC于點F、H，DE/BC，IG/AB，F(xiàn)H/AC，四邊形AFPI、四邊形PHCE、四邊形DBGP均為平行四邊形，F(xiàn)DPIPEPGHABC，F(xiàn)P：IE：PH=1：2：3，AI：IE：EC=1：2：3，AI：IE：EC：AB=1：2：3：6，SABC：SFDP=36：1，SABC=363=108故答案為:108【點睛】本題考查相似三角形的性質，相似三角形面積比等于相似比的平方19已知，平行四邊形中，點是的中點，在直線上

26、截取，連接，交于，則_【答案】； 【分析】由于F的位置不確定，需分情況進行討論，（1）當點F在線段AD上時（2）點F在AD的延長線上時兩種情況，然后通過證兩三角形相似從而得到AG和CG的比，進一步得到AG和AC的比【詳解】解：（1）點F在線段AD上時，設EF與CD的延長線交于H，AB/CD，EAFHDF,HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，AB/CD，CHGAEG，AG：CG=AE：CH，AB=CD=2AE，CH=CD+DH=2AE+AE=AE，AG：CG=2：5，AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）點F在線段AD的延長線上時，設EF與CD交于H，AB/

27、CD，EAFHDF，HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，AB/CD，AG：CG=AE：CHAB=CD=2AE，CH=CD-DH=2AE-AE=AE，AG：CG=2：3，AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5故答案為：或【點睛】本題考查相似三角形的性質以及分類討論的數(shù)學思想；其中相似三角形的性質得出的比例式是解題關鍵，特別注意：求相似比不僅要認準對應邊，還需注意兩個三角形的先后次序20在平面直角坐標系中，已知，點是軸正半軸上一動點，以為直角邊構造直角，另一直角邊交軸負半軸于點，為線段的中點，則的最小值為_【答案】【分析】根據(jù)AC為直角邊可分CAB=90和ACB=90兩種情況進行討論【詳解】為直角三角形，為直角邊，當時，又，、四點共圓，且為直徑，為中點，則為圓心，連接，則為圓的一條弦，圓心一定在的垂直平分線上，取中點，過做直線，則的運動軌跡為直線，當時，取得最小值，的解析式為，又為中點，的解析式可設為，代入，得：，的解析式為，令，得，又，當時，點交于軸原點處不符合題意，故的最小值為，故答案為：【點睛】本題考查一次函數(shù)與幾何問題的綜合應用，靈活運用一次函數(shù)的圖象和性質以及相似三角形、四邊形和圓的有關性質求解是解題關鍵21如圖，王華晚上由路燈下的處走到處時，測得影子的長為1米，繼續(xù)往前走2米到達處時，測得影子的長為2米，已知王華的身高是1.5