第十一屆全國(guó)“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題解答（初一組）

1、第十一屆全國(guó)“華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題解答初一組填空 計(jì)算：=( ).答：解：原式.當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值是0，那么多項(xiàng)式 .答：5. 解：根據(jù) ，即，故原式的值為5.將假設(shè)干本書(shū)籍分給幾名小朋友，如果每人分4本書(shū)，就還余下20本書(shū)，如果每人分8本書(shū)，就有1名小朋友雖然分到了一些書(shū)，但是缺乏8本, 那么共有 名小朋友.答：6.解：設(shè)共有名小朋友，由題意，推出，得.圖16圖16中的長(zhǎng)方形ABCD是由四個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形EFGH拼成. 長(zhǎng)方形ABCD的面積是120平方厘米，那么正方形EFGH 的面積等于 平方厘米. 答：10.解法1：如圖16a，延長(zhǎng)BF交DC于N點(diǎn)，延長(zhǎng)EH交BC于M

2、點(diǎn)，由條件可知圖16a，所以 CM=MBCE=EN =ND. 將長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)邊3等分，短邊2等分，如圖1a所示，連接對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，分成網(wǎng)格圖形， 數(shù)一數(shù)，長(zhǎng)方形ABCD恰好等于12個(gè)正方形EFGH 的面積，由于長(zhǎng)方形ABCD的面積為120平方厘米，所以正方EFGH 的面積等于10平方厘米.解法 2：設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意，圖1中的四個(gè)三角形為等腰直角三角形，那么三角形EHC的直角邊長(zhǎng)為，三角形CGB的直角邊長(zhǎng)為，三角形ABF的直角邊長(zhǎng)為，三角形ADE的斜邊長(zhǎng)為.并且，正方形EFGH的面積，三角形EHC的面積，三角形CGB的面積，三角形ABF的面積，三角形ADE的面積三角形CG

3、B的面積.因此120=，故，即正方形EFGH 的面積等于10平方厘米.滿足方程的所有的和為 .答： 4012.解：根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，逐步去除等式絕對(duì)值符號(hào)，得到， ，或由表達(dá)式可以看到，有2個(gè)不同的解，它們的和是：.一個(gè)存有一些水的水池，有一個(gè)進(jìn)水口和假設(shè)干個(gè)口徑相同的出水口, 進(jìn)水口每分鐘進(jìn)水3立方米.假設(shè)同時(shí)翻開(kāi)進(jìn)水口和三個(gè)出水口, 池中水16分鐘放完; 假設(shè)同時(shí)翻開(kāi)進(jìn)水口與五個(gè)出水口, 池中水9分鐘放完. 池中原有水 立方米.答: 288.解: 設(shè)每個(gè)出水口每分鐘放出水x立方米, 池中原有水y立方米， 那么，解上面二元一次方程組，立方米，立方米.，小于S的最大的整數(shù)是 .解答：因?yàn)?，因?/p>

4、小于S的最大的整數(shù)是0.如圖17，數(shù)軸上標(biāo)有個(gè)點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的整數(shù)是:.為了確保從這些點(diǎn)中可以取出2006個(gè)，其中任何兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不等于4，那么的最小值是 .圖17答： 2005.解： 將數(shù)軸上的個(gè)點(diǎn)，自左端開(kāi)始，連續(xù)8個(gè)點(diǎn)為一組，每組僅取右邊4個(gè)點(diǎn)，這樣就可以確保所取出的點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)之間的距離不等于4. 從多少組中才能取出2006個(gè)點(diǎn)？既然，即從501組可以取出2004個(gè)點(diǎn)，另外，再?gòu)牡?02組中取出2個(gè)點(diǎn)，就得到2006個(gè)點(diǎn). 所以，.即數(shù)軸上至少有4010個(gè)點(diǎn)，就能夠確保從這4010個(gè)點(diǎn)中取出2006個(gè)，其中任意兩點(diǎn)之間的距離不等于4.，.當(dāng)n=2005時(shí)，可以取 -2005，-

5、2004，-2003，-2002，-1997，-1996，-1995，-1994，-2005+8k，-2004+8k，-2003+8k，-2002+8k，1995，1996，1997，1998，2003，2004, 共2006個(gè)，其中任何兩個(gè)數(shù)所代表的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不等于4. 當(dāng)時(shí)，數(shù)軸上連續(xù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是. 此時(shí)，將距離是4的2個(gè)點(diǎn)配對(duì)，共有2004對(duì)，另外還有單獨(dú)的一個(gè)點(diǎn)，從每個(gè)配對(duì)中只取一個(gè)點(diǎn)，否那么一定有2個(gè)點(diǎn)的距離是4, 連同單獨(dú)的一個(gè)點(diǎn)，一共可以取出2005個(gè)點(diǎn)，但是要求取出2006個(gè)點(diǎn)，不得不將某個(gè)配對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)都取出，它們的距離是4. 所以，當(dāng)時(shí)，任取2006個(gè)點(diǎn)，一定有2個(gè)點(diǎn)，

6、距離是4. 當(dāng)時(shí)，補(bǔ)足至4009個(gè)點(diǎn)，就可以說(shuō)明的最小值是2005. 解答以下各題要求寫出簡(jiǎn)要過(guò)程圖18圖18中，ABCD是矩形，AC和BDCD為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么陰影局部掃過(guò)的立體的體積是多少立方厘米？ 取3.14 解: 見(jiàn)小學(xué)組決賽第11題解答將21個(gè)整數(shù)：分為個(gè)數(shù)不相等的六組數(shù)，分別計(jì)算各組的平均值，那么這六個(gè)平均值的和最大是多少？解: 將21個(gè)整數(shù)分為個(gè)數(shù)不相等的6組，各組的個(gè)數(shù)分別為1、2、3、4、5、6個(gè). 既然是求六組個(gè)平均值的和的最大值，應(yīng)當(dāng)將數(shù)值大的分在整數(shù)個(gè)數(shù)少的組中. 所以，可以如下分組：計(jì)算上述六組整數(shù)的平均值的和： 答：最大的和是.評(píng)注和說(shuō)明：下面說(shuō)明理由.六組數(shù)分別為

7、，那么各組數(shù)平均數(shù)的和為我們要使得這個(gè)分?jǐn)?shù)最大，只要使得分子最大. 先考慮讓那一個(gè)字母取10，顯然是，這樣能使總和最大；同理，讓取8，9對(duì)總和的奉獻(xiàn)是最大的以此類推，是我們得到的分組結(jié)果.這一過(guò)程無(wú)非就是把我們的解題過(guò)程用代數(shù)式翻譯了一遍. 為了同學(xué)們能多體會(huì)字母代表數(shù)的抽象性，這里再介紹一種更為一般一些的方法.；因而有該不等式在分別取時(shí)恰好能取到等號(hào)，因此最大值為.當(dāng)時(shí)，從等式可以得到10個(gè)關(guān)于x和y的二元一次方程，問(wèn)這10個(gè)方程有沒(méi)有公共解？如果有，求出這些公共解？解：分別取和，我們得到兩個(gè)方程： 先求兩個(gè)方程的公共解，把它們看作二元一次方程組，解得： . 把代入，值恒為0. 此即意味著：

8、 當(dāng)時(shí)，0成立.所以，是對(duì)應(yīng)的10個(gè)方程的的公共解.答：這些方程的公共解是 .平面上有5條直線，其中任意兩條都不平行，那么在這5條直線兩兩相交所成的角中，至少有一個(gè)角不超過(guò)36度. 說(shuō)明理由.解：在平面上任取一點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)作的5條直線的平行線. 將以O(shè)為中心的周角分為10個(gè)彼此依次相鄰的小的角，記為.每個(gè)小角都等于這5條直線相交的一個(gè)交角.這10個(gè)小角的和恰等于，即.，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)小角不超過(guò).ABACA圖19解答以下各題要求寫出詳細(xì)過(guò)程如圖19，A、B和C是圓周的三等分點(diǎn)，甲、乙、丙三只螞蟻分別從A、B、C三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，甲和乙沿圓周逆時(shí)針爬行，丙順時(shí)針爬行. 甲、乙、丙三只螞蟻爬行的速度之比是8:6:5，求出三只螞蟻所有的會(huì)合地點(diǎn). 解： 設(shè)圓周的周長(zhǎng)為，甲的速度為，乙的速度為，丙的速度為；甲第一次追上乙時(shí)，爬行的時(shí)間和爬行的路程分別是：甲爬行的時(shí)間, 甲爬行的路程，因?yàn)閳A周的周長(zhǎng)為，即甲在k+1(是整數(shù))次追上乙時(shí)，甲爬行的時(shí)間，甲爬行的路程因?yàn)槭菆A周周長(zhǎng)的整數(shù)倍，所以，甲在B點(diǎn)追上乙.在時(shí)刻，(丙爬行的路程，當(dāng)k1時(shí)，上式是因?yàn)楸菑腃出發(fā)順時(shí)針爬行，所以，丙爬行至B處，意味著甲、乙、丙能夠在B點(diǎn)會(huì)合.答；甲、乙、丙僅僅在B處集合.m, n都是正整數(shù)，并且證明：A= F(m+1,m) , ； 假設(shè) 求 m和n的值.解： 同樣，