第7章有限長(zhǎng)單位抽樣響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)ppt課件

1、第7章 有限脈沖呼應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) .IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)：可以利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果IIR數(shù)字濾波器的缺陷：非線性相位假設(shè)需線性相位，要采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)展相位校正.FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)：1可以做到嚴(yán)厲線性相位2可以具有恣意的幅度特性3對(duì)一個(gè)信號(hào)濾波，相當(dāng)于 可以用FFT計(jì)算 4總可以用一個(gè)因果系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)5 無反響運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。.FIR數(shù)字濾波器的缺陷 1不能用模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法，無解析設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)； 2由于沒有極點(diǎn)，同樣幅頻特性，要獲得較好的過渡帶特性，需較高的階數(shù)做為代價(jià)。 .FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法： 窗函數(shù)法 頻率采樣法 切比雪夫等波紋逼近法設(shè)計(jì)義務(wù)

2、：選擇有限長(zhǎng)度的脈沖呼應(yīng)h(n)，得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)，使幅頻特性滿足技術(shù)目的，同時(shí)使相頻特性到達(dá)線性相位。.7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性 本節(jié)主要引見FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點(diǎn)、網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造的特點(diǎn)。 FIR濾波器的單位沖激呼應(yīng)：系統(tǒng)函數(shù)：在 z 平面有N 1 個(gè)零點(diǎn)在 z = 0 處是N 1 階極點(diǎn) .7.1.1. 線性相位的定義 FIR濾波器的頻率呼應(yīng)函數(shù)幅度呼應(yīng)+， 實(shí)函數(shù)幅度函數(shù)可+可-， 實(shí)函數(shù)相位函數(shù).線性相位是指()是的線性函數(shù)滿足第一類線性相位第二類線性相位群延時(shí)為常數(shù).7.1.2. 線性相位的條件第一類線性相位成立的充分必要條件 第二類線性相位成立

3、的充分必要條件 .證明第一類線性相位條件：充分性 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù).證明第一類線性相位條件：z=e j.證明第一類線性相位條件：.幅度函數(shù)相位函數(shù)嚴(yán)厲的線性相位0證明第一類線性相位條件：.證明第一類線性相位條件：必要性實(shí)部、虛部分別相等兩式相除.關(guān)于 奇對(duì)稱h(n)關(guān)于 偶對(duì)稱證明第一類線性相位條件：.經(jīng)過類似的推導(dǎo)，可以得到滿足第二類線性相位條件的系統(tǒng)函數(shù)頻率呼應(yīng)函數(shù)函數(shù).幅度函數(shù)相位函數(shù)廣義的線性相位0.結(jié)論、第一類線性相位、第二類線性相位.7.1.3 線性相位FIR濾波器幅度特性1、h(n)為偶對(duì)稱，N為奇數(shù)關(guān)于 偶對(duì)稱關(guān)于 偶對(duì)稱以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項(xiàng)進(jìn)展合并.2

4、、h(n)為偶對(duì)稱，N為偶數(shù).n=1,2, 3, , N/2 =時(shí)， ， H()對(duì)=呈奇對(duì)稱=0時(shí)， ， H()對(duì)=0呈偶對(duì)稱H()對(duì)=2呈偶對(duì)稱不適宜設(shè)計(jì)高通濾波器、帶阻濾波器.3、h(n)為奇對(duì)稱，N為奇數(shù).=0.不適宜低通濾波器、高通濾波器、帶阻濾波器 .4、h(n)為奇對(duì)稱，N為偶數(shù).不適宜于低通濾波器、帶阻濾波器 h(n)為奇對(duì)稱時(shí)，有90o相移，適用于微分器和90o移相器，而選頻濾波器采用h(n)為偶對(duì)稱.結(jié)論：P267表7.1.1 偶對(duì)稱：N為奇數(shù)時(shí)， 對(duì) 呈偶對(duì)稱。N為偶數(shù)時(shí)， 對(duì) 呈偶對(duì)稱。 奇 奇對(duì)稱：N為奇數(shù)時(shí)， 對(duì) 呈奇對(duì)稱。N為偶數(shù)時(shí)， 對(duì) 呈奇對(duì)稱。 偶 在 處，兩

5、者完全一樣在 處，當(dāng)N為奇數(shù)，兩者完全一樣；偶數(shù)相反對(duì)稱性與 在 處對(duì)稱性的比較.7.1.4. 線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)分布1、零點(diǎn)的分布原那么假設(shè)z=zi 是H(z)的零點(diǎn)，那么也是H(z)的零點(diǎn)h(n)為實(shí)序列時(shí)線性相位濾波器的零點(diǎn)是互為倒數(shù)的共軛對(duì)即共軛成對(duì)且鏡像成對(duì).4種零點(diǎn).2、零點(diǎn)的位置1零點(diǎn)zi既不在實(shí)軸上，也不在單位圓上4個(gè)零點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn).2零點(diǎn)zi不在實(shí)軸上，在單位圓上2個(gè)零點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)存在共軛對(duì)，但倒數(shù)是其本身.3零點(diǎn)zi在實(shí)軸上，不在單位圓上2個(gè)零點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)存在倒數(shù)，但共軛是其本身.4零點(diǎn)zi在既實(shí)軸上，又在單位圓上4個(gè)互為倒數(shù)、共軛的零點(diǎn)合為1點(diǎn)N為偶數(shù)時(shí)的偶對(duì)稱N為偶數(shù)

6、時(shí)的奇對(duì)稱N為奇數(shù)時(shí)的奇對(duì)稱.1四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于 h(n)的對(duì)稱性，而與h(n)的值無關(guān)；2幅度特性取決于h(n)的取值；3設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器時(shí)，在保證h(n) 對(duì)稱的條件下 ，只需完成幅度特性的逼近即可。.7.2 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法頻域給出目的給出理想濾波器的頻率呼應(yīng) 設(shè)計(jì)FIR濾波器，求其頻率呼應(yīng)逼近設(shè)計(jì)在時(shí)域進(jìn)展hd(n)無限長(zhǎng)，非因果設(shè)計(jì)h(n) ，有限長(zhǎng)，因果逼近.7.2.1 設(shè)計(jì)方法以低通濾波器設(shè)計(jì)為例理想低通濾波器的頻響100為群延時(shí).單位抽樣呼應(yīng)相位hd(n)偶對(duì)稱，對(duì)稱中心hd(n)無限長(zhǎng)的非因果序列.設(shè)計(jì)可實(shí)現(xiàn)FIR濾波器的單位脈沖呼應(yīng)窗函數(shù)先選取最簡(jiǎn)

7、單的窗函數(shù).按第一類線性相位條件，得.7.2.2 加窗處置對(duì)頻譜性能的影響理想低通濾波器的頻響矩形窗的頻響.主瓣寬度.線性相位幅度函數(shù).窗函數(shù)的頻率特性WR(ej) 決議了H(ej)對(duì)Hd(ej)的逼近程度。幅度函數(shù)相位函數(shù)普通情況.正肩峰負(fù)肩峰.加窗函數(shù)的影響：構(gòu)成過渡帶 Hd(ej)在截止頻率處有峻峭的邊沿H()在截止頻率處延續(xù)曲線邊沿加寬，構(gòu)成過渡帶窗頻譜的主瓣越寬，過渡帶也越寬。過渡帶：正肩峰與負(fù)肩峰的間隔過渡帶寬=窗頻譜WR(ej)主瓣寬度.正、負(fù)肩峰位置截止頻率兩側(cè)窗譜函數(shù)旁瓣多起伏振蕩多窗譜函數(shù)旁瓣相對(duì)幅度大起伏振蕩幅度大 H()構(gòu)成正、負(fù)肩峰，肩峰兩側(cè)構(gòu)成起伏振蕩.改動(dòng)N只能改

8、動(dòng)窗譜的主瓣寬度，但不能改動(dòng)主瓣與旁瓣的相對(duì)比例。其相對(duì)比例由窗函數(shù)外形決議。主瓣幅度添加，旁瓣幅度也添加.吉布斯效應(yīng)：截?cái)嘈?yīng)在矩形窗情況下，最大相對(duì)肩峰為8.95%，N 添加時(shí)， 減小，故起伏變密，而最大相對(duì)肩峰卻總是8.95%，這種景象稱為吉布斯效應(yīng)。肩峰值的大小，直接影響通帶特性和阻帶衰減。h(n)替代 hd(n) 引起的誤差，在頻域上表現(xiàn)為.圖7.2.4 增大增大N對(duì)矩形窗幅度特的影響 .引出緣由：矩形窗阻帶最小衰減在工程上，衰減量不夠要加大阻帶衰減，需求改善窗口函數(shù)外形改善窗口函數(shù)外形的規(guī)范窗函數(shù)不僅起到截?cái)嘧饔?，還能起到平滑作用。7.2.3 幾種典型的窗函數(shù) .窗函數(shù)的要求： 1

9、窗譜主瓣盡能夠窄以獲得較陡的過渡帶 2盡量減少窗譜最大旁瓣的相對(duì)幅度，以減小肩峰和波紋.1最大旁瓣峰值 dB。2主瓣寬度 ，窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度。3過度帶寬 ，窗函數(shù)設(shè)計(jì)得到FIR濾波器的過度帶寬，即通帶截止頻率與阻帶截止頻率之差。4阻帶最小衰減 dB。窗函數(shù)設(shè)計(jì)得到FIR濾波器的阻帶最小衰減。窗函數(shù)參數(shù)：.1. 矩形窗(Rectangle Window) 傅里葉變換幅度函數(shù)主瓣寬度最窄：旁瓣幅度大.矩形窗及加窗處置后波器波形 .頻率呼應(yīng) 2. 三角形窗(Bartlett Window)主瓣寬度寬：旁瓣幅度較小.利用歐拉公式 3. 漢寧(Hanning)窗升余弦窗利用DTFT的頻移特性.幅度函

10、數(shù)三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣相互抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度添加1倍。.主瓣寬度寬：旁瓣幅度小.4. 漢明(Hamming)窗改良的升余弦窗 幅度函數(shù)主瓣寬度寬：旁瓣幅度更小.5. 布萊克曼(Blackman)窗在升余弦窗的定義式中再加上一個(gè)二次諧波的余弦分量得到的，故又稱二階升余弦窗?？蛇M(jìn)一步抑制旁瓣的效果.幅度函數(shù)主瓣寬度最寬：旁瓣幅度最小.6. 凱塞貝塞爾窗(Kaiser-Basel Window)前面引見的窗函數(shù)統(tǒng)都是固定窗，即用每種窗函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器的阻帶最小衰減是固定不變的，而且都是以犧牲主瓣寬度來換取對(duì)旁瓣的抑制的，這兩個(gè)目的不能同時(shí)兼顧。而凱塞窗是一種可調(diào)整的

11、窗函數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)以同一種窗函數(shù)類型來滿足不同性能需求的目的。在一樣的性能目的下，經(jīng)過調(diào)整控制參數(shù)可以到達(dá)不同的阻帶最小衰減，同時(shí)可以保證最小的主瓣寬度，即有最峻峭的過渡帶，實(shí)如今主瓣寬度和旁瓣峰值之間的平衡。反之，給定目的，凱塞窗可以使濾波器的階數(shù)最小。因此，凱塞窗是一種近似最正確的窗函數(shù)。. 是一個(gè)可選參數(shù)，用來選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，普通說來， 越大,過渡帶越寬，阻帶越小衰減也越大。I0()是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。普通取1525項(xiàng)就可滿足精度要求。. 參數(shù)可以控制窗的外形。普通加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4 9。當(dāng) =5.44時(shí)，窗函數(shù)接近哈明窗。 =7.86

12、5時(shí)，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。圖7.2.13 凱塞窗波形N=21.圖7.2.14 參數(shù)變化時(shí)凱塞窗的傅里葉變換 .表7.2.1 對(duì)濾波器性能的影響.假設(shè)阻帶最小衰減表示為st，確實(shí)定可采用下述閱歷公式.7.2.4 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法總結(jié) (1)確定所希望設(shè)計(jì)濾波器的hd(n)普通以理想線性相位濾波器作為逼近函數(shù)來求hd(n)，即設(shè)Hd(ej)為理想線性相位濾波器，那么單位取樣響運(yùn)用下式求出：求解過程中涉及Hd(ej)的截止頻率.(2)根據(jù)對(duì)過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的方式，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。普通原那么是在滿足阻帶最小衰減的要求下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。(3) 計(jì)算濾波器的單位取樣呼應(yīng)h(n)

13、， h(n) =hd(n)w(n)(4)驗(yàn)算技術(shù)目的能否滿足要求。.低通濾波器的設(shè)計(jì)例7.3.1 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器，要求：通帶截止頻率p=0.3，阻帶截止頻率st=0.5，阻帶最小衰減st50dB。解：1以理想線性相位低通濾波器作為逼近濾波器，即.單位抽樣呼應(yīng)為理想低通濾波器的截止頻率c為為了保證線性相位.2根據(jù)阻帶最小衰減目的選擇窗函數(shù)類型。由于要求st50dB ，查表7.2.1可以看出漢明窗、布萊克曼窗等都滿足要求。但由于漢明窗的主瓣最窄，因此我們選擇漢明窗，其表達(dá)式為由過渡帶寬確定窗的長(zhǎng)度N。設(shè)計(jì)所要求的過渡帶寬為.漢明窗的帶寬為3確定所設(shè)計(jì)濾波器 h(n)。根據(jù)所選

14、窗函數(shù)，得到單位抽樣呼應(yīng)為.4由h(n) 求出H(ej) ，以便驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果能否滿足要求。.例7.3.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器，所希望的頻率呼應(yīng)函數(shù)為假設(shè)長(zhǎng)度N=21，察看加不同窗函數(shù)后濾波器幅度特性的變化。解：.假設(shè)選擇矩形窗函數(shù)，那么有假設(shè)選擇漢寧窗函數(shù)，那么有.矩形窗設(shè)計(jì)的FIR濾波器幅度特性；漢寧窗設(shè)計(jì)的FIR濾波器幅度特性.例7.3.3 利用凱塞窗設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器，要求：通帶截止頻率p=0.4，阻帶截止頻率st=0.6，阻帶最小衰減st60dB。解：1確定凱塞窗的參數(shù)和N。取N=38.2確定理想低通濾波器的截止頻率c3求解hd(n)。.4確定所設(shè)計(jì)濾波器h(n

15、)。.例2 設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為通帶截止頻率為阻帶起始頻率為阻帶衰減不小于-50dB。解：1求數(shù)字頻率.2求hd(n)3選擇窗函數(shù)：由 確定漢明窗.4確定N 值5確定FIR濾波器的h(n).6求 ，驗(yàn)證假設(shè)不滿足，那么改動(dòng)N或窗外形重新設(shè)計(jì).1、線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計(jì)理想線性相位高通濾波器的頻率呼應(yīng)函數(shù)為單位抽樣呼應(yīng)為高通濾波器的長(zhǎng)度N只能取奇數(shù).例7.3.4 利用漢明窗設(shè)計(jì)一個(gè)FIR高通濾波器，所希望的頻率呼應(yīng)函數(shù)為取長(zhǎng)度N=31。解：.選擇漢明窗函數(shù)，那么.2、線性相位FIR帶通濾波器的設(shè)計(jì)理想帶通的頻響其單位抽樣呼應(yīng)：.例7.3.5 利用漢寧窗設(shè)計(jì)一個(gè)

16、FIR帶通濾波器，所希望的頻率呼應(yīng)函數(shù)為取長(zhǎng)度N=31。解：.所設(shè)計(jì)帶通濾波器的單位抽樣呼應(yīng)為.3、線性相位FIR帶阻濾波器的設(shè)計(jì)理想帶阻的頻響：其單位抽樣呼應(yīng)：.例7.3.6 利用矩形窗設(shè)計(jì)一個(gè)FIR帶阻濾波器，所希望的頻率呼應(yīng)函數(shù)為取長(zhǎng)度N=31。解：.所設(shè)計(jì)帶阻濾波器的單位抽樣呼應(yīng)為.7.4 頻率抽樣設(shè)計(jì)法頻率抽樣設(shè)計(jì)法那么是在頻域內(nèi)，以有限個(gè)頻率呼應(yīng)抽樣，去近似所希望的理想頻率呼應(yīng)Hd(ej)的設(shè)計(jì)方法。窗函數(shù)設(shè)計(jì)法：.對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度為N的序列h(n)，假設(shè)知道其頻域的N個(gè)抽樣值H(k)，那么h(n)就可以由H(k) 獨(dú)一地確定。同時(shí)，也就可以獲得其系統(tǒng)函數(shù)H(z)或頻率呼應(yīng)函數(shù)H(ej

17、) 。設(shè)所希望得到的頻率呼應(yīng)為Hd(ej) 普通為理想頻率呼應(yīng)，在頻域的=02之間對(duì)其等間隔抽樣N點(diǎn)或?qū)d(z) 在單位圓上進(jìn)展等間隔抽樣，得到 個(gè)抽樣值為7.4.1 設(shè)計(jì)的根本思想.那么重構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)H(z)(7.4.1).將z=ej代入H(z)表達(dá)式可得式中，內(nèi)插函數(shù)(7.4.2).從式7.4.2可以看出，在個(gè)頻率抽樣點(diǎn)上，濾波器的實(shí)踐頻率呼應(yīng)時(shí)嚴(yán)厲和理想頻率呼應(yīng)數(shù)值相等，但是在抽樣點(diǎn)之間的頻率呼應(yīng)那么是個(gè)抽樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而構(gòu)成的，因此有一定的逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率呼應(yīng)的曲線外形，理想頻率呼應(yīng)特性變化越平緩，那么內(nèi)插越接近理想值，逼近誤差越小；反之，假設(shè)抽樣點(diǎn)之間的

18、理想頻率呼應(yīng)變化越陡，那么內(nèi)插與理想值之間誤差就越大。.抽樣點(diǎn)上，頻率呼應(yīng)嚴(yán)厲相等抽樣點(diǎn)之間，加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加 變化越平緩，內(nèi)插越接近理想值，逼近誤差較小.7.4.2 H(k)滿足的條件關(guān)于線性相位FIR濾波器的時(shí)域、頻域特性，我們?cè)?jīng)將其歸納于表7.1.1中。下面將以該表內(nèi)容為根據(jù)，討論當(dāng)H(k)的幅度和相位滿足什么條件時(shí)，才干使所設(shè)計(jì)的FIR濾波器具有線性相位。為了討論方便，將所設(shè)計(jì)濾波器的H(ej) 、H(k)分別表示成以下方式：(7.4.3)(7.4.4).比較上述兩式，可知下述關(guān)系成立：(7.4.5)(7.4.6).從表7.1.1中看到，此時(shí)幅度函數(shù)關(guān)于=偶對(duì)稱，即那么即相位抽

19、樣(k)1h(n)偶對(duì)稱，N為奇數(shù)(7.4.7)(7.4.8).此時(shí)幅度函數(shù)關(guān)于=奇對(duì)稱，即即相位抽樣(k)2h(n)偶對(duì)稱，N為偶數(shù).3h(n)奇對(duì)稱，N為奇數(shù)3h(n)奇對(duì)稱，N為偶數(shù).7.4.3 設(shè)計(jì)公式頻率抽樣的兩種方法.1第一種頻率抽樣系統(tǒng)函數(shù)：頻率呼應(yīng)：.2第二種頻率抽樣系統(tǒng)函數(shù)：頻率呼應(yīng)：.線性相位第一種頻率抽樣根據(jù)式7.4.8而當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，N-1為偶數(shù)，由于 ，那么可取.當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)， 為N-1奇數(shù)，由于 ，那么可取但此時(shí)A(k)=-A(N-k)，那么所以此時(shí)可以將幅度抽樣和相位抽樣改寫為.綜合上述分析過程，可得到如下設(shè)計(jì)公式：1N為奇數(shù)2N為偶數(shù)(7.4.9)(7.4.10

20、).例如：設(shè)計(jì)所希望的濾波器是理想低通濾波器，要求截止頻率為c，抽樣點(diǎn)數(shù)N為奇數(shù)，那么A(k) 、(k)可以以下公式計(jì)算：kc為小于或等于 的最大整數(shù)。.7.4.4 逼近誤差1、逼近誤差的特點(diǎn)例7.4.1 用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一個(gè)具有第一類線性相位FIR低通濾波器，要求截止頻率c =0.4，繪制出當(dāng)頻域抽樣點(diǎn)數(shù) 分別為15、65時(shí)的設(shè)計(jì)結(jié)果波形，并分析逼近誤差的特點(diǎn)。解：以理想低通濾波器作為希望逼近的濾波器，那么頻率呼應(yīng)函數(shù)為.1對(duì)Hd(ej) 進(jìn)展抽樣。先計(jì)算在通帶內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù)kc +1 =0 。根據(jù)所要求的截止頻率，得那么接下來，從=0開場(chǎng)對(duì)Hd(ej) 在 =0 2抽樣15點(diǎn)，得到幅度抽樣A

21、(k)，如圖7.4.1(a)所示。 .圖7.4.1 例7.4.1波形 .由于N為奇數(shù)，所以根據(jù)式(7.4.9)的設(shè)計(jì)公式，此時(shí)相位抽樣為由此得頻率抽樣H(k)為.2求解h(n)3求解設(shè)計(jì)所得濾波器的頻率呼應(yīng)H(ej)由于A(k)=A(N-k)，(k)=-(N-1)k/N，所以滿足線性相位條件。.當(dāng)N=65時(shí)，幅度呼應(yīng)如圖7.4.2所示，為了便于比較，與N=15的曲線繪制在一同。其中，由黑圓點(diǎn)所描畫的曲線是N=65時(shí)繪制出的 波形，空心圓表示N=15時(shí)的 波形。.由上圖看出，抽樣點(diǎn)數(shù)N越大，Hd()平坦區(qū)域的誤差越小，過渡帶也越窄，通帶與阻帶的波紋變化越快。本例中當(dāng)N=15時(shí)，阻帶最小衰減st約

22、為15.2dB, 當(dāng)N=65時(shí)， st約為16.6dB, 可見N的增大對(duì)阻帶的最小衰減并無明顯改善。2逼近誤差產(chǎn)生的緣由(頻域和時(shí)域頻域：從式7.4.2可以看出， H(ej)在各頻率抽樣點(diǎn)上等于本抽樣點(diǎn)出的H(k)，但是在抽樣點(diǎn)之間那么由各抽樣值H(k)乘以相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。這樣，在各抽樣點(diǎn)處，二者的逼近誤差為零；而在各抽樣頻率點(diǎn)之間存在逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率呼應(yīng)的曲線外形和N的大小。.時(shí)域：根據(jù)頻域抽樣知識(shí)假設(shè)Hd(ej)是分段的，那么hd(n)是無限長(zhǎng)的。這樣，hd(n)在周期延拓時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生時(shí)域混疊，從而使所設(shè)計(jì)的h(n)與所希望的hd(n)之間出現(xiàn)偏向。同時(shí)，頻域抽

23、樣點(diǎn)數(shù)N越大，h(n)越接近于hd(n)。.3減小逼近誤差的措施1添加過渡帶抽樣點(diǎn)加大過渡帶寬，即在不延續(xù)點(diǎn)的邊緣添加值為0到1之間不包含0和1的過渡帶抽樣點(diǎn)，可以緩和階躍突變，使所希望的幅度特性Hd()由通帶比較平滑的過渡到阻帶，從而使波紋幅度大大減小，同時(shí)阻帶衰減也得到改善，如圖7.4.3所示。圖7.4.3添加過渡帶抽樣表示圖 留意：這時(shí)總抽樣點(diǎn)數(shù)N并未改動(dòng)，只是將原來為零的幾個(gè)點(diǎn)改為非零點(diǎn).添加過渡帶抽樣點(diǎn)，可加大阻帶衰減，普通取過渡帶的抽樣點(diǎn)數(shù)為13點(diǎn)即可得到稱心的效果。不加過渡抽樣點(diǎn)：加一點(diǎn)：加兩點(diǎn)：加三點(diǎn)：.2增大抽樣點(diǎn)數(shù) N假設(shè)在要求減小波紋幅度、加大阻帶衰減的同時(shí)，又要求不能添

24、加過渡帶寬，那么可以增大抽樣點(diǎn)數(shù)N 。添加N，使抽樣點(diǎn)變密，減小過渡帶寬度，但添加了計(jì)算量?jī)?yōu)點(diǎn)：頻域直接設(shè)計(jì)缺陷：抽樣頻率只能是 或 的整數(shù)倍， 截止頻率c不能恣意取值。(7.4.11).7.4.5 設(shè)計(jì)步驟及舉例1確定過渡帶抽樣點(diǎn)數(shù)m。根據(jù)給定的st ，結(jié)合表7.4.1確定。2估算抽樣點(diǎn)數(shù)N 。根據(jù)給定的過渡帶寬B，利用式7.4.11來確定。3確定所希望逼近的頻率呼應(yīng)函數(shù)Hd(ej) 。普通選擇Hd(ej)為理想頻率呼應(yīng)，留意應(yīng)確保相位()為線性相位，而要Hd()滿足線性相位要求。4對(duì)Hd(ej)進(jìn)展頻域抽樣，得到H(k) 。首先確定在通帶內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù)kc +1 =0 ;然后進(jìn)展抽樣，并參與

25、過渡帶抽樣點(diǎn)。.5求解所設(shè)計(jì)濾波器單位抽樣呼應(yīng)h(n)。對(duì)H(k)做N點(diǎn)離散傅里葉反變換即得，即6設(shè)計(jì)結(jié)果驗(yàn)證。.例7.4.2 運(yùn)用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通數(shù)字濾波器，要求截止頻率c =0.4，阻帶最小衰減st 40 dB，過渡帶寬B 0.1，所設(shè)計(jì)的濾波器應(yīng)具有第一類線性相位。解：1確定需添加的過渡帶抽樣點(diǎn)數(shù)m根據(jù)所要求的st ，由表7.4.1看出，當(dāng)m=1時(shí)，滿足st 40 dB的要求。2估算頻域抽樣點(diǎn)數(shù)，根據(jù)式(7.4.11)，得留一點(diǎn)的裕量，取N=41.3構(gòu)造所希望的頻率呼應(yīng)函數(shù)。根據(jù)題意選擇以下理想函數(shù)：4頻域抽樣，求得H(k)先求kc，根據(jù)所要求的截止頻率，得所以在通帶內(nèi)抽樣9

26、點(diǎn)=0.此題是h(n)偶對(duì)稱，N為奇數(shù)的情況。所以從 =0開場(chǎng)對(duì)Hd()在 =02內(nèi)抽樣41點(diǎn)，得到幅度抽樣A(k)在A(k)原為零的k=9、32處參與值為0.38的過渡帶抽樣點(diǎn)，即A(9)=A(32)=0.38，那么.又根據(jù)式(7.4.9)得到相位抽樣(k)為由此得到頻率抽樣.5求解h(n)。對(duì)H(k)做41點(diǎn)離散傅里葉反變換即得，即6分析所設(shè)計(jì)濾波器的頻域性能。將H(k)表達(dá)式帶入內(nèi)插公式7.4.2化簡(jiǎn)，得.根據(jù)上式分析濾波器的性能，從而驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果能否滿足目的要求。設(shè)計(jì)過程及結(jié)果波形如圖7.4.4所示。.圖7.4.4 例7.4.2波形阻帶衰減：-42.2dB.例：利用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一個(gè)頻

27、率特性為矩形的理想低通濾波器，截止頻率為0.5，抽樣點(diǎn)數(shù)為N=33，要求濾波器具有線性相位。解：理想低通頻率特性按第一種頻率抽樣方式，N=33，得.得線性相位FIR濾波器的頻率呼應(yīng)：過渡帶寬：阻帶衰減：-20dB.添加一點(diǎn)過渡帶抽樣點(diǎn)，令H(9)=0.5過渡帶寬：阻帶衰減：-40dB.添加兩點(diǎn)過渡帶抽樣點(diǎn)，且添加抽樣點(diǎn)數(shù)為N=65，令H(17)=0.5886 H(18)=0.1065過渡帶寬：阻帶衰減：-60dB. 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率抽樣設(shè)計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單直觀、易于實(shí)現(xiàn)。但同時(shí)二者存在以下缺乏：所設(shè)計(jì)濾波器的通帶和阻帶的截止頻率不易準(zhǔn)確控制；通帶和阻帶內(nèi)的波紋幅度不能分開控制；由于所設(shè)計(jì)的濾波

28、器普通在阻帶的截止頻率附近剛好滿足衰減要求，而在大于該截止頻率的頻段，衰減加大，因此存在很大的衰減裕量，即這兩種設(shè)計(jì)方法存在較大的資源浪費(fèi)，所設(shè)計(jì)的濾波器性價(jià)比不高。.7.5 等波紋最正確逼近設(shè)計(jì)法 針對(duì)窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率抽樣設(shè)計(jì)法存在的缺陷，我們希望有一種方法，在濾波器長(zhǎng)度 給定的情況下，設(shè)計(jì)出的濾波器是所能得到的一切濾波器中性能最正確的，即尋求一種最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法，而等波紋最正確逼近設(shè)計(jì)法就是這樣一種方法。.7.5.1 設(shè)計(jì)思想 設(shè)計(jì)濾波器的過程，其實(shí)就是用一個(gè)實(shí)踐的頻率呼應(yīng)函數(shù)H(ej)或?qū)?yīng)的h(n) 對(duì)所希望的頻率呼應(yīng)函數(shù)Hd(ej) 或?qū)?yīng)的hd (n) 的一個(gè)逼近過程。而最優(yōu)化設(shè)

29、計(jì)過程那么是根據(jù)某一優(yōu)化準(zhǔn)那么，改動(dòng)一組變量值，進(jìn)展迭代運(yùn)算，尋求一種最正確逼近的過程。.函數(shù)逼近準(zhǔn)那么1均方誤差最小準(zhǔn)那么：窗函數(shù)設(shè)計(jì)法2插值逼近準(zhǔn)那么：頻率抽樣設(shè)計(jì)法這兩種逼近有一個(gè)共同的缺陷：在整個(gè)要求逼近的區(qū)間0內(nèi)誤差分布是不均勻的，特別是在幅度特性具有躍變點(diǎn)的過渡區(qū)附近，誤差最大。3最大誤差最小化準(zhǔn)那么：等波紋最近逼近設(shè)計(jì)法，使得在要求逼近的整個(gè)范圍內(nèi)，逼近誤差分布是均勻的，所以也稱為最正確一致意義下的逼近。. 在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，對(duì)通帶和阻帶的性能要求是不同的，為了一致運(yùn)用最大誤差最小化準(zhǔn)那么，那么采用誤差函數(shù)加權(quán)的方法，使得不同頻段如通帶和阻帶的加權(quán)誤差最大值是相等的。 設(shè)所希望的幅度頻率呼應(yīng)為Hd() ，實(shí)踐設(shè)計(jì)得到的頻率呼應(yīng)為H() ，誤差的加權(quán)函數(shù)為W() ，那么定義加權(quán)逼近誤差函數(shù)為7.5.1.使式(7.5.1)所定義的加權(quán)逼近誤差函數(shù) 的最大絕對(duì)值在各個(gè)要求逼近的頻帶內(nèi)到達(dá)最小，即式中，|E()|為得到的最小值，A為所要求逼近的通帶和阻帶。.7.5.2 交錯(cuò)點(diǎn)組定理假設(shè)H()是r個(gè)余弦函數(shù)的線性組合，即A是0,內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)間包括通帶、阻帶，但不包括過渡帶，Hd()是A上的一個(gè)延續(xù)函數(shù)，那么Hd()的獨(dú)一和最正確一致逼近的充要條件是：加權(quán)逼近誤差函數(shù)E()在A中至少存在r+2個(gè)交錯(cuò)