2020屆福建省泉州市高三第一次質(zhì)量檢查(理)數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)2020屆福建省泉州市高三第一次質(zhì)量檢查（理）數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】B【解析】用列舉法寫(xiě)出集合，再根據(jù)交集的定義寫(xiě)出【詳解】解：因?yàn)樗?，又故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了交集的運(yùn)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題2若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（ ）A0B3C1D4【答案】C【解析】計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復(fù)數(shù)概念得：，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念.3某旅行社調(diào)查了所在城市20戶(hù)家庭2019年的旅行費(fèi)用，匯總得到

2、如下表格：費(fèi)用（萬(wàn)元）/年1.21.41.61.82戶(hù)數(shù)46352則這20戶(hù)家庭該年的旅行費(fèi)用的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）A1.4，1.4B1.4，1.5C1.4，1.6D1.62，1.6【答案】B【解析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義解答即可；【詳解】解：依題意可得則組數(shù)據(jù)分別為：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；故眾數(shù)為：1.4，中位數(shù)為：1.5，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求幾個(gè)數(shù)的眾數(shù)與中位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.4記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，則（ ）A14B12C17D12【答案】B【解析

3、】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意列出方程組，再根據(jù)前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）A10B38C70D240【答案】A【解析】首先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，再令，分別求出系數(shù)，由即可得到展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】解：因?yàn)?，而展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)即時(shí)，當(dāng)即時(shí)，故的展開(kāi)式中的系數(shù)為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題6已知函數(shù)，則，的大小關(guān)系為（ ）ABCD【答案】A【解析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

4、得到，即可得解；【詳解】解：因?yàn)椋x域?yàn)?，故函?shù)是奇函數(shù)，又在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞增，由，所以即故選：A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7松、竹、梅經(jīng)冬不衰，因此有“歲寒三友”之稱(chēng).在我國(guó)古代的詩(shī)詞和典籍中有很多與松和竹相關(guān)的描述和記載，宋代劉學(xué)箕的念奴嬌水軒沙岸的“綴松黏竹，恍然如對(duì)三絕”描寫(xiě)了大雪后松竹并生相依的美景；宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著算學(xué)啟蒙中亦有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等.現(xiàn)欲知幾日后，竹長(zhǎng)超過(guò)松長(zhǎng)一倍.為了解決這個(gè)新問(wèn)題，設(shè)計(jì)下面的程序框圖，若輸入的，則輸出的的值為（

5、 ）A4B5C6D7【答案】A【解析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【詳解】解：當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的值4故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答，屬于基礎(chǔ)題8若時(shí)，則的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【解析】由題得對(duì)恒成立，令，然后分別求出即可得的取值范圍.【詳解】由題得對(duì)恒成立，令，在單調(diào)遞減，且，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在單調(diào)遞增，的取

6、值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式恒成立問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問(wèn)題，可采用參變量分離法去求解.9已知函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）ABCD【答案】D【解析】依題意，利用輔助角公式得到，且是的最大值，從而，取，即可得到，從而一一驗(yàn)證可得；【詳解】解：因?yàn)?，其中?當(dāng)時(shí)，所以是圖象的對(duì)稱(chēng)軸，此時(shí)，函數(shù)取得最大值，從而，取；則，所以，故A正確；，則，故B正確；，故，即C正確；故，即D錯(cuò)誤；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.10將正整數(shù)20分解成兩個(gè)正整數(shù)的乘積有，三種，其中是這三種分解中兩數(shù)差的絕對(duì)值最小

7、的，我們稱(chēng)為20的最佳分解.當(dāng)（且）是正整數(shù)的最佳分解時(shí)我們定義函數(shù)，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（ ）ABCD【答案】D【解析】首先利用信息的應(yīng)用求出關(guān)系式的結(jié)果，進(jìn)一步利用求和公式的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】解：依題意，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：信息題的應(yīng)用，數(shù)列的求和的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題11若雙曲線(xiàn)：繞其對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)可得某一函數(shù)的圖象，則的離心率可以是（ ）ABCD2【答案】AD【解析】利用雙曲線(xiàn)旋轉(zhuǎn)后是函數(shù)的圖象，求出漸近線(xiàn)的斜率，然后求解雙曲線(xiàn)的離心率即可【詳解】解：當(dāng)，時(shí)，由題意可知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的傾斜角為

8、：，所以斜率為：，可得：，所以雙曲線(xiàn)的離心率為：當(dāng)，時(shí)，由題意可知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的傾斜角為：，所以斜率為：，可得：，所以雙曲線(xiàn)的離心率為：故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.二、多選題12如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)，則（ ）A直線(xiàn)平面BC三棱錐的體積為D異面直線(xiàn)與所成的角為【答案】ABD【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一驗(yàn)證即可；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，所以，即，所以，故B正確；，設(shè)異面直線(xiàn)與所成的角為，則，又，所以，故D正確；設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，即，又直線(xiàn)平面，所以直線(xiàn)平面，故A正確；，故C錯(cuò)誤；故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考

9、查空間向量法在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.三、填空題13已知向量，則_.【答案】2【解析】由得，算出，再代入算出即可.【詳解】，解得：，則.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的性質(zhì)，向量的模的計(jì)算.14在數(shù)列中，則_.【答案】【解析】由遞推公式可以先計(jì)算出前幾項(xiàng)，再找出規(guī)律，即可得解；【詳解】解：因?yàn)椋?，即，所以，所以，所以由此可得?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為、所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，.點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不含邊界），則與平面所成角的正切值的取值范圍為_(kāi).【答案】【解析】如圖建立空間直角

10、坐標(biāo)系，設(shè)，由，則，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，連接，則為與平面所成角，從而，即可求出與平面所成角的正切值的取值范圍；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則， 因?yàn)椋?，即，連接，則，所以，依題意可得面，則為與平面所成角，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量法解決立體幾何問(wèn)題，線(xiàn)面角的計(jì)算，屬于中檔題.四、雙空題16設(shè)是拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，光線(xiàn)經(jīng)軸反射后交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)，的最小值為_(kāi).【答案】 【解析】首先由拋物線(xiàn)的解析式直接得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，則，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用以及基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，故焦點(diǎn)的

11、坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)恰在直線(xiàn)上，且，設(shè)，則，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立得，化簡(jiǎn)的，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，綜上可得的最小值為故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交問(wèn)題，焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.五、解答題17在平面四邊形中，.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，由已知條件求出相關(guān)的邊與角，由倍角關(guān)系推導(dǎo)求出為等邊三角形，再利用余弦定理即求出的長(zhǎng)度.（2）由題目已知條件，可將所要的角轉(zhuǎn)化到中，再將用中邊角來(lái)表示，利用正弦定理及三角

12、恒等變換求解即可得.【詳解】解：（1）在中，由，得，又，所以為等邊三角形，所以在中，由余弦定理得，即，解得（2）設(shè)，則，,在中，在中，根據(jù)正弦定理得，即，解得，即【點(diǎn)睛】本小題主要考查解三角形、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力等，考查數(shù)形結(jié)合思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想等，體現(xiàn)綜合性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的關(guān)注.18如圖1，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，為的中點(diǎn)，以為折痕將折起到的位置，使得平面平面，如圖2.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）依題意可得，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，從而得

13、到，再證，即可得到平面，從而得證；（2）以為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值；【詳解】解：（1）依題意知，因?yàn)?，所以，?dāng)平面平面時(shí)，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，由已知，是等邊三角形，且為的中點(diǎn)，所以，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量由得；令，解得，所以，由得；令，解得，所以，.易得所求二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題考查線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)、二面角的求解及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

14、等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀(guān)想象等核心素養(yǎng)的關(guān)注.19已知是橢圓：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）斜率為的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知可得，再點(diǎn)在橢圓上得到方程組，解得即可；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓，列出韋達(dá)定理，由，解得，再由點(diǎn)到線(xiàn)的距離公式及勾股定理計(jì)算可得；【詳解】解：（1）由己知得，因點(diǎn)在橢圓上，所以所以，所以橢圓的方程為：（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，消去得，解得，由，即，所以（）.將，代

15、入（）式，解得，由于圓心到直線(xiàn)的距離為，所以直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展邏輯推理、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的關(guān)注.20冬天的北方室外溫度極低，若輕薄保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，可愛(ài)的醫(yī)務(wù)工作者行動(dòng)會(huì)更方便.石墨烯發(fā)熱膜的制作：從石墨中分離出石墨烯，制成石墨烯發(fā)熱膜.從石墨分離石墨烯的一種方法是化學(xué)氣相沉積法，使石墨升華后附著在材料上再結(jié)晶.現(xiàn)在有材料、材料供選擇，研究人員對(duì)附著在材料、材料上

16、再結(jié)晶各做了50次試驗(yàn)，得到如下等高條形圖.（1）根據(jù)上面的等高條形圖，填寫(xiě)如下列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為試驗(yàn)成功與材料有關(guān)？材料材料合計(jì)成功不成功合計(jì)（2）研究人員得到石墨烯后，再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個(gè)環(huán)節(jié)：透明基底及膠層；石墨烯層；表面封裝層.第一、二環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為，第三個(gè)環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為，且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨(dú)立.已知生產(chǎn)1噸的石墨烯發(fā)熱膜的固定成本為1萬(wàn)元，若生產(chǎn)不合格還需進(jìn)行修復(fù)，第三個(gè)環(huán)節(jié)的修復(fù)費(fèi)用為3000元，其余環(huán)節(jié)修復(fù)費(fèi)用均為1000元.如何定價(jià)，才能實(shí)現(xiàn)每生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜獲利可達(dá)1萬(wàn)元以上的目標(biāo)？附：參考公式：，其中.0.1500.1000.0500.0

17、250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表見(jiàn)解析；有99%的把握認(rèn)為試驗(yàn)成功與材料有關(guān)（2）定價(jià)至少為萬(wàn)元/噸【解析】（1）寫(xiě)出列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表求出的觀(guān)測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得；（2）生產(chǎn)1噸的石墨烯發(fā)熱膜，所需的修復(fù)費(fèi)用為萬(wàn)元，易知可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，然后根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式計(jì)算概率，寫(xiě)出分布列后求出期望即可【詳解】解：（1）根據(jù)所給等高條形圖，得列聯(lián)表：材料材料合計(jì)成功453075不成功52025合計(jì)5050100的觀(guān)測(cè)值，由于，故有99%的把握認(rèn)為試驗(yàn)成功與材料有關(guān).（2）

18、生產(chǎn)1噸的石墨烯發(fā)熱膜，所需的修復(fù)費(fèi)用為萬(wàn)元.易知可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5.，則的分布列為：00.10.20.30.40.5修復(fù)費(fèi)用的期望：.所以石墨烯發(fā)熱膜的定價(jià)至少為萬(wàn)元/噸，才能實(shí)現(xiàn)預(yù)期的利潤(rùn)目標(biāo).【點(diǎn)睛】本小題主要考查等高條形圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)、分布列與期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)等，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想等，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性.21已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若為的極小值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）【解析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記，則，分析

19、的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）依題意可得，記，則.再令，則，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，即可得到在有零點(diǎn)，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，再對(duì)分類(lèi)討論可得；【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，記，則，當(dāng)時(shí)，所以，在單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椋栽跒樵龊瘮?shù)；當(dāng)時(shí)，所以，所以在為減函數(shù).綜上所述，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）由題意可得，.記，則.再令，則.下面證明在有零點(diǎn)：令，則在是增函數(shù)，所以.又，所以存在，且當(dāng)，所以，即在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，又，所以，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，存在，所以當(dāng)，又，所以，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.當(dāng)，恒成立，所以，即為增函數(shù)，又，所以當(dāng)，為減函數(shù)，為增函數(shù)，是的極小值點(diǎn)，所以滿(mǎn)足題意.當(dāng)，令，因?yàn)?，所以，故在單調(diào)遞增，故，即有故，又在單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一實(shí)數(shù)，當(dāng)，單調(diào)遞減，即遞減，所以，此時(shí)在為減函數(shù)，所以，不合題意，應(yīng)舍去.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和零點(diǎn)等問(wèn)題，考查抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解能力，考查應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，綜合考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、有限與無(wú)限思想以及特殊與一般思想，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).22在平面直角坐標(biāo)系中，已知