高考文科數(shù)學(xué)數(shù)列(答案詳解)

1、2012高考數(shù)學(xué)（文科）真題數(shù)列與不等式專(zhuān)題一、選擇題1.（2012安徽卷）公比為2的等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則（ ） . . . .2.（2012北京卷）已知為等比數(shù)列.下面結(jié)論中正確的是（ ）A BC若，則 D若，則3.（2012福建卷）數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則等于（ ）A1006 B2012 C503 D04.（2012江西卷）觀察下列事實(shí)|x|+|y|=1的不同整數(shù)解（x,y）的個(gè)數(shù)為4 ， |x|+|y|=2的不同整數(shù)解（x,y）的個(gè)數(shù)為8， |x|+|y|=3的不同整數(shù)解（x,y）的個(gè)數(shù)為12 .則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為（ ）A.76 B.80

2、 C.86 D.925.（2012遼寧卷）在等差數(shù)列中，已知，則（ ）(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)246.（2012全國(guó)大綱卷）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則=（ ）A B C D7.（2012四川卷）設(shè)函數(shù)，是公差不為0的等差數(shù)列，則（ ）A.0 B.7 C.14 D.218.（2012新課標(biāo)）數(shù)列滿足，則的前60項(xiàng)和為（ ）（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）18309.（2012重慶卷）不等式 的解集是為（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空題1.（2012北京卷）已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和.若，則 ；= .2.（2012福建卷）已知關(guān)于的不等式在上恒

3、成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。3.（2012廣東卷）等比數(shù)列滿足，則=106314.（2012湖北卷）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù). 他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：第17題圖將三角形數(shù)1，3，6，10，記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列. 可以推測(cè)：（）是數(shù)列中的第_項(xiàng)；（）=_.（用k表示）5.（2012湖南卷）不等式的解集為 6.（2012湖南卷）對(duì)于，將表示為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為0或1定義如下：在的上述表示中，當(dāng)中等于1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，；否則（1） ；（2）記為數(shù)列中第m個(gè)為0的項(xiàng)與第m+1個(gè)為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù)，則cm的最大值是

4、7.（2012江蘇卷）已知函數(shù)的值域?yàn)椋絷P(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為 8.（2012江西卷）不等式的解集是_。9.（2012江西卷）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比不為1。若，且對(duì)任意的,都有，則=_。10.（2012遼寧卷）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列.若,且,則數(shù)列的公比= _.11.（2012陜西卷）觀察下列不等式，來(lái)源:ZxxkCom照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_(kāi)12.（2012陜西卷）（不等式選做題）若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的取值范是 13.（2012上海卷）有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng).為公比的等比數(shù)列，體積分別記為，則 .14.（2012天津卷）集合中最小整數(shù)位 .15.（2012新

5、課標(biāo)）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比=_16.（2012重慶卷）首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和= _三、解答題1.（2012安徽卷）設(shè)函數(shù)的所有正的極小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為.（）求數(shù)列；（）設(shè)的前項(xiàng)和為，求。2.（2012福建卷）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，的前10項(xiàng)和。（）求和；（）現(xiàn)分別從和的前3項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng)寫(xiě)出相應(yīng)的基本事件，并求這兩項(xiàng)的值相等的概率。3.（2012廣東卷）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。4.（2012湖北卷）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為.（）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.5.（

6、2012湖南卷）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬(wàn)元.（）用表示，并寫(xiě)出與的關(guān)系式；（）若公司希望經(jīng)過(guò)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金的值（用表式）.6.（2012江蘇卷）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值。7.（2012江西卷）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（其中c，k為常數(shù)），

7、且（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。8.（2012遼寧卷）選修45：不等式選已知，不等式的解集為()求的值 ()若恒成立，求的取值范圍。9.（2012全國(guó)大綱卷）已知數(shù)列中，前項(xiàng)和（）求；（）求的通項(xiàng)公式10.（2012山東卷）已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為105，且()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()對(duì)任意，將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為.求數(shù)列的前項(xiàng)和11.（2012陜西卷）已知等比數(shù)列的公比為（）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）證明：對(duì)任意成等差數(shù)列12.（2012上海卷）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列數(shù)集，記，即為中的最大值，并稱(chēng)數(shù)列是的控制數(shù)列.如1,3,2,5,5的控制數(shù)列是1,3,3,5,5. （1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)

8、的數(shù)列的控制數(shù)列為2,3,4,5,5，寫(xiě)出所有的；（4分） （2）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（為常數(shù)，.求證：；（6分） （3）設(shè)，常數(shù).若，是的控制數(shù)求.13.（2012四川卷）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，常數(shù)，且對(duì)一切正整數(shù)都成立。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和最大？14.（2012天津卷）已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，是等比數(shù)列，.()求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；()記；證明：15.（2012新課標(biāo)）選修45：不等式選講已知函數(shù).()當(dāng)時(shí)，求不等式 的解集；() 若的解集包含，求的取值范圍.16.（2012浙江卷）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足.（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.17.（

9、2012重慶卷）已知為等差數(shù)列，且（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記的前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，求正整數(shù)的值。2012高考數(shù)學(xué)（文科）真題數(shù)列與不等式專(zhuān)題（答案）選擇題1.A【解析】2.B【解析】當(dāng)時(shí)，可知，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，與D選項(xiàng)矛盾。因此根據(jù)均值定理可知B選項(xiàng)正確。3.A【解析】 所以。即。4.B【解析】本題主要為數(shù)列的應(yīng)用題，觀察可得不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，則所求為第20項(xiàng)，可計(jì)算得結(jié)果.5.B【解析】，故選B6.B【解析】由可知，當(dāng)時(shí)得當(dāng)時(shí)，有 可得即，故該數(shù)列是從第二項(xiàng)起以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列通項(xiàng)公式為故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故選

10、答案B7.D【解析】依題意，函數(shù)的圖像可視為由函數(shù)的圖像按向量平移所得到的，函數(shù)是遞增的奇函數(shù)。 由已知等式得，若，則有，又是遞增的奇函數(shù)。，同理，這與相矛盾，因此也不可能，故，因此8.D【解析】有題設(shè)知 ，得，+得，同理可得，是各項(xiàng)均為2的常數(shù)列，是首項(xiàng)為8，公差為16的等差數(shù)列，的前60項(xiàng)和為.9.C【解析】填空題1.1，【解析】，所以。2.【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為一元二次函數(shù)的圖像，開(kāi)口朝上，無(wú)根即可。令，所以。3.【解析】4.（）5030；（）【解析】由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10,的一個(gè)通項(xiàng)公式為，寫(xiě)出其若干項(xiàng)有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,

11、78,91,105,110,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故.從而由上述規(guī)律可猜想：（為正整數(shù)），故,即是數(shù)列中的第5030項(xiàng).5.【解析】由x2-5x+60，得，從而的不等式x2-5x+60的解集為.6.（1）3；（2）2.【解析】（1）觀察知；一次類(lèi)推；，；（2）由（1）知的最大值為2.7.9【解析】由值域?yàn)?，?dāng)時(shí)有，即， 。 解得，。不等式的解集為，解得.8.【解析】不等式可化為采用穿針引線法解不等式即可.9.11【解析】由已知可得公比，則可得。10.【解析】或因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且，所以，11.【解析】觀察不等式的左邊發(fā)現(xiàn)，第個(gè)不等式的左邊=， 右邊=，

12、所以第五個(gè)不等式為12.【解析】表示在數(shù)軸上，a到1的距離小于等于3，即， 則13. 【解析】由正方體的棱長(zhǎng)組成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，可知它們的體積則組成了一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因此， .14.-3【解析】不等式，即，所以集合，所以最小的整數(shù)為。15.【解析】當(dāng)時(shí)，由得，與是等比數(shù)列矛盾，故，由得，解.16.15【解析】：三、解答題1.【解析】 = 1 * ROMAN I） 得：當(dāng)時(shí)，取極小值 得： （ = 2 * ROMAN II）由（ = 1 * ROMAN I）得： 得： 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，2.【解析】（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為 則 得：（），各隨機(jī)抽

13、取一項(xiàng)寫(xiě)出相應(yīng)的基本事件有 共個(gè) 符合題意有共個(gè) 這兩項(xiàng)的值相等的概率為3.【解析】（1）在中，令 （2），相減得： ，相減得： ，得 得：數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列 4.【解析】：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，或.故，或. （）當(dāng)時(shí)，分別為，不成等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，分別為，成等比數(shù)列，滿足條件.故 記數(shù)列的前項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， . 當(dāng)時(shí)，滿足此式.綜上， 5.【解析】（）由題意得 ， ， .（）由（）得.整理得.由題意，解得.故該企業(yè)每年上繳資金的值為繳時(shí)，經(jīng)過(guò)年企業(yè)的剩余資金為4000元.6.【解析】：（1），。 。 。 數(shù)列是以1

14、 為公差的等差數(shù)列。（2） 。（）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明若則，當(dāng)時(shí)，與（）矛盾。 若則，當(dāng)時(shí)，與（）矛盾。 綜上所述，。 又，是公比是的等比數(shù)列。 若，則，于是。 又由即，得。 中至少有兩項(xiàng)相同，與矛盾。 。 。7.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，即，解得，,當(dāng)時(shí)，綜上所述(2) ，則 （1）-（2）得 8.【解析】()由得，又的解集為，所以 ，當(dāng)時(shí)，不合題意當(dāng)時(shí)，得 ()記，則，所以，因此 9.【解析】：（1）由與可得，故所求的值分別為。（2）當(dāng)時(shí)， 可得即故有而，所以的通項(xiàng)公式為10.【解析】(I)由已知得：解得,所以通項(xiàng)公式為.(II)由，得，即.，是公比為49的等比數(shù)列，.11

15、.【解析】（）由及，得， 所以數(shù)列的前項(xiàng)和 （）證明：對(duì)任意， ， 由得，故 所以，對(duì)任意，成等差數(shù)列12.【解析】（1）數(shù)列為：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. （2）因?yàn)椋?所以. 因?yàn)椋?所以，即. 因此，. （3）對(duì)，； ；. 比較大小，可得. 因?yàn)椋?，即?，即. 又，從而 因此 = = = 13.【解析】取,得 若,則, 當(dāng)時(shí)，所以 若，則, 當(dāng)時(shí)，上述兩個(gè)式子相減得：,所以數(shù)列是等比數(shù)列綜上，若,則 若，則 （2）當(dāng),且時(shí)，令，所以，所以，單調(diào)遞減的等差數(shù)列（公差為-lg2）則